B · Algebra and functions

AQA A-level Mathematics 7357, раздел B (Алгебра и функции), версия 1.3 (первая оценка 2018). Оригинальные учебные заметки.

Предварительные требования: алгебра GCSE: степени, корни, разложение на множители и решение квадратных уравнений.

Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.

Вопрос

• Два студента решают x² − 4x + 1 = 0. Один выделяет полный квадрат и получает точные ответы; другой подставляет значения в формулу и округляет слишком рано, смещаясь на десятую часть. Что отделяет точный метод от метода со смещением?
• Перед чтением далее назовите информацию, необходимую для каждого метода решения, и то, как бы вы проверили окончательный ответ.

Метод

• Квадратное уравнение можно решить разложением на множители, выделением полного квадрата (a(x − h)² + k, дающим вершину (h, k)) или с помощью формулы. Дискриминант b² − 4ac подсчитывает количество действительных корней до начала решения.
• Функция ставит в соответствие каждому входному значению своего области определения ровно один выход. Обратная функция существует только если функция является взаимно однозначной на своей области определения — сначала ограничьте x² до x ≥ 0. Композиция fg(x) = f(g(x)) применяет g первой, и fg и gf обычно различаются. Графические преобразования считываются из факторизованного вида a·f(b(x − h)) + k: масштабирование на 1/b и a, затем сдвиг на h и k.
• Выделение полного квадрата: Переписывание квадратного трехчлена в виде a(x−h)²+k для чтения вершины и точного решения; дискриминант: Величина b²−4ac, определяющая количество действительных корней; функция: Правило, дающее ровно один выход для каждого допустимого входа; область определения: Множество допустимых входов функции.

Проверка своей работы

• Проверьте каждое потенциальное решение в ИСХОДНОМ уравнении, особенно после возведения в квадрат (что может добавить посторонние корни) или деления на выражение (что может потерять случай нуля). Сохраняйте иррациональности точными до требуемого округления; округление на промежуточных этапах — частая причина потери десятой доли.
• Для предполагаемой обратной функции проверьте f(f⁻¹(x)) = x на области определения обратной функции и явно укажите эту область — обратная функция к x² существует только на ограниченном участке.

Разобранный случай

• Known: x² − 4x + 1 = 0. Complete the square: (x − 2)² − 4 + 1 = 0, so (x − 2)² = 3. Rearranged: x − 2 = ±√3. Substitution gives x = 2 + √3 ≈ 3.732 or x = 2 − √3 ≈ 0.268. Check: (2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 7 − 4√3 − 8 + 4√3 + 1 = 0 ✓.

Пример:

Для f(x) = x² − 4 с областью определения x ≥ 0 найдите обратную функцию и ее область определения, используя ту же последовательность: известное соотношение → преобразование → выбор участка → указание области определения и множества значений. (Ответ: из y = x² − 4, x = √(y + 4) при условии x ≥ 0, поэтому f⁻¹(x) = √(x + 4) с областью определения x ≥ −4 и множеством значений y ≥ 0.)

Пределы и ловушки

• Формула всегда применима, но точные формы предпочтительны, когда корни являются иррациональностями; десятичная дробь — лишь приближение. Композиция функций чувствительна к порядку, а преобразованный график необходимо проверить, отслеживая положение хотя бы одной известной точки, а не опираясь исключительно на формулу.

Предупреждение:

Функция f(x) = x² имеет обратную функцию на множестве всех действительных чисел. Это утверждение ложно: два входных значения дают один и тот же результат (2 и −2 оба дают 4), поэтому обратное отображение не является функцией — область определения должна быть ограничена, например, условием x ≥ 0, что дает f⁻¹(x) = √x.

Ключевые моменты:

Алгебра и функции: выделяйте полный квадрат или используйте формулу с дискриминантом как счетчик корней; проверяйте кандидатов в исходном уравнении. У функций должны быть указаны области определения; у обратных функций — однозначные участки, а графики трансформаций читаются из разложенной формы.