G · Differentiation

AQA A-level Mathematics 7357, раздел G (Дифференцирование), версия 1.3 (первое оценивание 2018). Оригинальные учебные материалы.

Предварительные требования: алгебраические преобразования и обозначения функций из раздела B.

Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.

Вопрос

• Кривая зависимости расстояния от времени автомобиля постоянно изгибается, поэтому единая «скорость» не подходит для всего пути — однако спидометр показывает одно число прямо сейчас. Что геометрически означает это число?
• Перед чтением объясните, как отличается наклон касательной от средней скорости между двумя моментами времени.

Метод

• Производная — это предел разностного отношения [f(x+h) − f(x)]/h при h → 0: наклон касательной и мгновенная скорость. Для y = axⁿ производная dy/dx = anxⁿ⁻¹; тригонометрические и показательные формы вытекают далее: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, в радианах.
• Стационарная точка характеризуется условием dy/dx = 0; она классифицируется по изменению знака производной или знаку второй производной (положительная: локальный минимум; отрицательная: локальный максимум). Правила дифференцирования сложной, произведение и частного обрабатывают составные функции, сохраняя все множители внутренних скоростей.
• Производная: мгновенная скорость изменения, наклон касательной; Стационарная точка: точка, где производная равна нулю; Вторая производная: производная от производной, измеряющая изменение наклона.

Проверка своей работы

• Нулевая производная — лишь кандидата: у y = x³ точка 0 является стационарной, но функция продолжает возрастать, поэтому для классификации требуется смена знака или f″. На ограниченном интервале также следует сравнивать значения на границах — глобальный экстремум может находиться в конечной точке.
• После дифференцирования произведения, например xeˣ, проверьте результат при удобном значении аргумента: правило дифференцирования произведения дает eˣ + xeˣ, что при x = 0 равно 1, а не 0. Умножение отдельных производных дало бы неверное значение.

Разобранный случай

• Дано: y = x³ − 3x, тогда dy/dx = 3x² − 3. Стационарные точки находятся из равенства 3x² − 3 = 0: x = ±1. Вторая производная равна 6x: при x = 1 она равна 6 > 0, значит (1, −2) — локальный минимум; при x = −1 она равна −6 < 0, значит (−1, 2) — локальный максимум.

Пример:

For y = x³ − 3x at x = 2, find the tangent and normal equations using the same sequence: point from f → gradient from f′ → line equations. (Answer: y = 2 at x = 2 and the gradient is 9, so the tangent is y − 2 = 9(x − 2) and the normal is y − 2 = −(1/9)(x − 2).)

Пределы и ловушки

• Производная задает только градиент, а не координату y — точка всегда определяется исходной кривой. Горизонтальная касательная (градиент 0) имеет вертикальную нормаль, которая записывается как x = const, поскольку отрицательная обратная величина нуля не существует.

Предупреждение:

Каждая точка с нулевой производной является локальным максимумом или минимумом. Это утверждение ложно: для y = x³ имеем dy/dx = 0 при x = 0, однако производная 3x² сохраняет положительный знак по обе стороны от этой точки — это стационарная точка перегиба, экстремума нет вообще.

Ключевые моменты:

Дифференцирование: производная есть предел углового коэффициента секущей, определяющий угловой коэффициент касательной и скорость изменения. Кандидаты на экстремум находятся из условия f′ = 0 и классифицируются по изменению знака или через вторую производную f″; касательные и нормали строятся с использованием точки из f и углового коэффициента из f′.