H · Integration

AQA A-level Mathematics 7357, раздел H (Интегрирование), версия 1.3 (первое оценивание 2018). Оригинальные учебные материалы.

Предварительные требования: дифференцирование из раздела G.

Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.

Вопрос

• График скорости бегуна опускается ниже оси времени на некоторое время, затем поднимается обратно. «Площадь под кривой» почти равна нулю — значит ли это, что бегун никуда не двигался?
• Перед чтением ответьте, что означает знак площади и как полный путь отличается от перемещения.

Метод

• Интегрирование обращает дифференцирование: первообразная для axⁿ равна axⁿ⁺¹/(n+1) + C при n ≠ −1, а 1/x интегрируется как ln|x| + C. Определенный интеграл от a до b представляет собой знаковую аккумуляцию: F(b) − F(a).
• Знаковая площадь компенсируется там, где кривая пересекает ось, поэтому полная положительная площадь требует разделения интеграла SPLIT при каждом пересечении. Основная теорема связывает оба направления: дифференцирование функции аккумуляции возвращает подынтегральное выражение.
• Первообразная: функция, производная которой равна данной подынтегральной функции; определенный интеграл: знаковая аккумуляция функции между двумя пределами; Основная теорема: двусторонняя связь, согласно которой дифференцирование функции аккумуляции возвращает подынтегральную функцию.

Проверка своей работы

• Проверяйте каждую первообразную дифференцированием обратно и сохраняйте константу C для неопределенных интегралов — заданная точка фиксирует её. Случай n = −1 отдельный: 1/x интегрируется как ln|x|, никогда не применяйте правило степени с делением на ноль.
• Перед вычислением полной площади определите смены знаков подынтегральной функции на интервале и разделите интеграл там; скорость со сменой знака дает разные ответы для перемещения и полного пути.

Разобранный случай

• Дано: v(t) = 3t² − 3 для 0 ≤ t ≤ 2. Первообразная имеет вид t³ − 3t. Перемещение = [t³ − 3t] от 0 до 2 = (8 − 6) − 0 = 2 м. Но v = 0 при t = 1, поэтому полный путь = −[t³ − 3t] от 0 до 1 + [t³ − 3t] от 1 до 2 = 2 + 4 = 6 м.

Пример:

Найдите площадь между кривой y = x² и осью OX в пределах от 0 до 1, затем оцените её прямоугольником, опирающимся на правый конец, используя 4 полос, применяя ту же последовательность. (Ответ: точное значение ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.333; оценка равна (1/4)(1/16 + 1/4 + 9/16 + 1) = 15/32 ≈ 0.469, что является завышенной оценкой для данной возрастающей выпуклой кривой.)

Пределы и ловушки

• Интегрирование есть предел сумм прямоугольников; конечное число полос лишь оценивает этот интеграл, а ошибка зависит от кривизны. Не интегрируйте через точку разрыва, например 1/x при x = 0, и помните, что алгебраическая площадь может быть равна нулю, тогда как полная геометрическая площадь положительна.

Предупреждение:

Определённый интеграл всегда равен полной положительной площади между кривой и осью. Это утверждение неверно: интеграл имеет знак — области ниже оси учитываются отрицательно, поэтому перемещение может быть малым или нулевым, в то время как пройденный путь велик.

Ключевые моменты:

Интегрирование: первообразные проверяются обратным дифференцированием, константа C определяется заданной точкой; определённые интегралы представляют собой знаковую накопленную величину F(b) − F(a); для нахождения полной площади необходимо разбивать её на участки при каждом изменении знака, а Фундаментальная теорема связывает накопление с подынтегральной функцией.