D · Sequences and series

AQA A-level Mathematics 7357, раздел D (Последовательности и ряды), версия 1.3 (первая оценка 2018). Оригинальные учебные материалы.

Предварительные требования: арифметические последовательности и системы линейных уравнений на уровне GCSE.

Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.

Вопрос

• Сберегательный счёт начисляет одинаковую сумму каждый год, а инвестиционный растёт на один и тот же процент ежегодно. Через восемь лет какой из балансов можно вычислить точно в одну строку?
• Перед чтением определите, какая из двух величин увеличивается путём сложения, а какая — умножения, и укажите, какие параметры нужны для каждой формулы суммы.

Метод

• Арифметическая последовательность прибавляет постоянную разность: uₙ = a + (n − 1)d. Её сумма находится методом парирования концов: Sₙ = n(a + uₙ)/2. Геометрическая последовательность умножает на постоянный коэффициент: uₙ = arⁿ⁻¹, с суммой Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) при r ≠ 1.
• Бесконечная геометрическая сумма существует только когда |r| < 1, так как члены убывают к нулю: S∞ = a/(1 − r). Рекуррентное соотношение определяет каждый член по предыдущему и требует начального значения; периодическая последовательность повторяется после фиксированного числа шагов.
• Арифметическая последовательность: последовательность с постоянной разностью между членами; геометрическая последовательность: последовательность с постоянным коэффициентом между членами; рекуррентное соотношение: правило, дающее каждый член по предыдущему значению; периодическая последовательность: последовательность, чьи члены повторяются после фиксированного числа шагов.

Проверка своей работы

• Восстановите a и d по двум заданным членам, решив систему уравнений, прежде чем применять формулу: u₃ = 10 и u₇ = 22 дают 4d = 12, следовательно d = 3 и a = 4. Количество членов должно получиться положительным целым числом; дробь или отрицательный корень отбрасываются, никогда не округляются.
• Проверьте заявленную сумму, непосредственно сложив первые несколько членов, и подтвердите порог «не менее» для целых чисел ПО ОБЕИМ сторонам точки пересечения.

Разобранный случай

• Дано: a = 5, d = 3, n = 8. Восьмой член равен u₈ = 5 + 7 × 3 = 26. Сумма равна S₈ = n(a + uₙ)/2 = 8(5 + 26)/2 = 124. Каждая из четырёх пар концов в сумме даёт 31, и 4 × 31 = 124 ✓.

Пример:

При a = 12 и r = 0.5 найдите бесконечную сумму и первое значение n, при котором частичная сумма превышает 23.9, применяя ту же последовательность: известные данные → формула → подстановка → проверка на целочисленность. (Ответ: S∞ = 12/(1 − 0.5) = 24. Частичные суммы имеют вид Sₙ = 24(1 − 0.5ⁿ): S₇ = 24(1 − 1/128) = 23.8125 < 23.9, а S₈ = 24(1 − 1/256) = 23.90625 ≥ 23.9, поэтому n = 8.)

Пределы и ловушки

• Формула бесконечной суммы недействительна при r = 1 или r = −1, где члены не убывают; отрицательный коэффициент сходится, если его МОДУЛЬ меньше 1. Рекуррентное соотношение требует точного соблюдения порядка операций: B_след = 1.1B + 50 отличается от 1.1(B + 50).

Предупреждение:

Каждая геометрическая прогрессия имеет конечную сумму к бесконечности. Это утверждение ложно: сумма существует только при |r| < 1. При r = 2 члены возрастают неограниченно, а при r = −1 частичные суммы колеблются навсегда — ни один из этих случаев не является сходящимся.

Ключевые моменты:

Последовательности и ряды: арифметический ряд суммируется (сложение пар крайних членов), геометрический умножается (Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)), а S∞ = a/(1−r) возможно только при |r| < 1). Восстановите параметры по данным членам и требуйте целочисленных ответов для количества.