Поперечное сечение спутниковой тарелки и обод колеса — оба круга, но только обод можно записать как (x − a)² + (y − b)² = r² с центром, который легко определить визуально. Что дает вам это уравнение?
Перед чтением определите, какой параметр (a, b или r) управляет каждым аспектом, и как можно найти направление касательной без дифференцирования.
Метод
Прямая, проходящая через точку (x₁, y₁) с угловым коэффициентом m, имеет уравнение y − y₁ = m(x − x₁). Параллельные прямые имеют одинаковый m; перпендикулярные конечные угловые коэффициенты удовлетворяют условию m₁ × m₂ = −1.
Окружность с центром (a, b) и радиусом r задается уравнением (x − a)² + (y − b)² = r². Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной в этой точке, поэтому угловой коэффициент касательной равен отрицательному обратному значению углового коэффициента радиуса. Диаметр опирается на дугу под прямым углом.
Угловой коэффициент: изменение y на единицу изменения x; окружность: множество точек, находящихся на фиксированном расстоянии от центра; касательная: прямая, касающаяся окружности в одной точке, перпендикулярная радиусу в этой точке.
Угловые коэффициенты радиуса ⟨4⟩/3 и касательной −3/4 в произведении дают −1: перпендикулярные прямые
Проверка своей работы
Проверьте, что предложенная точка лежит на окружности, подставив её координаты в уравнение (x − a)² + (y − b)² = r², прежде чем строить касательную. Выделите полный квадрат, чтобы найти центр из развёрнутой формы x² + y² + px + qy + s = 0 — не забывая изменить правую часть.
Найдите пересечение прямой с окружей подстановкой: кратный корень означает касание, два корня — хорду, отрицательный дискриминант — отсутствие пересечения.
Разобранный случай
Известно: окружность x² + y² = 25 и точка (3, 4) на ней (3² + 4² = 25 ✓). Радиус от центра (0, 0) до точки касания (3, 4) имеет угловой коэффициент 4/3, поэтому угловой коэффициент касательной равен −3/4 согласно условию m₁ × m₂ = −1. Уравнение касательной: y − 4 = −(3/4)(x − 3), которое после преобразования принимает вид 3x + 4y = 25.
Пример:
Найдите центр и радиус окружности x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0, используя ту же последовательность действий: сгруппируйте члены → выделите полные квадраты → определите каноническую форму. (Ответ: (x − 2)² + (y + 1)² = 25, следовательно, центр находится в точке (2, −1), а радиус равен 5; обратите внимание, что знаки в скобках для центра меняются на противоположные.)
Пределы и ловушки
Правило отрицательного обратного значения требует конечных, ненулевых градиентов; горизонтальный радиус даёт вертикальную касательную, записываемую как x = const. Хорда, перпендикуляр которой проходит через центр, образует прямоугольный треугольник: половина хорды, радиус и расстояние от центра до хорды подчиняются теореме Пифагора.
Предупреждение:
Градиент касательной в точке окружности равен градиенту радиуса, проведённого в эту точку. Это утверждение неверно: радиус и касательная перпендикулярны в точке касания, поэтому произведение их градиентов равно −1 — в точке (3, 4) радиус имеет градиент 4/3, а касательная — −3/4.
Ключевые моменты:
Аналитическая геометрия: прямые по точке и градиенту, окружности по уравнению (x − a)² + (y − b)² = r². Касательные находятся через свойство перпендикулярности радиуса; точки пересечения определяются методом подстановки и дискриминантом.
Исследовать
Координатная геометрия и касательные
Прямая, проходящая через точку (x₁,y₁) с угловым коэффициентом m, задаётся уравнением y-y₁=m(x-x₁).
Сравните модель с разобраным примером и объясните одно изменение.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
