E · Trigonometry

AQA A-level Mathematics 7357, раздел E (Тригонометрия), версия 1.3 (первая оценка 2018). Оригинальные учебные материалы.

Предварительные требования: тригонометрия прямоугольного треугольника GCSE и точные значения.

Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.

Вопрос

• Двум студентам даны A = 30°, a = 7 и b = 10. Один сообщает о одном треугольнике, другой настаивает на двух, и оба — прямоугольные. Какая информация различает эти случаи?
• Перед чтением укажите правило, связывающее стороны с противолежащими углами, и какой дополнительный контроль необходим для ответа, полученного через обратный синус.

Метод

• На единичной окружности точка при угле θ имеет координаты (cos θ, sin θ), поэтому знаки определяются по квадрантам, а точные значения берутся из треугольников 30-60-90 и 45-45-90. Радиан — это угол, дуга которого равна радиусу: s = rθ и площадь сектора = r²θ/2 требуют использования радиан.
• Правило синусов связывает противолежащие стороны и углы: a/sin A = b/sin B. Правило косинусов a² = b² + c² − 2bc cos A использует угол, лежащий напротив a. В неоднозначном случае sin B = b sin A / a может дать B или его supplement 180° − B — необходимо проверить оба варианта с оставшимся углом.
• единичная окружность: Окружность радиуса 1, на которой (cos θ, sin θ) — точка при угле θ; радиан: Угол, опирающийся на дугу длиной, равной радиусу; правило синусов: Правило a/sin A = b/sin B, связывающее противолежащие стороны и углы; правило косинусов: Правило a² = b² + c² − 2bc cos A; неоднозначный случай: Ситуация правила синусов, когда к одним данным могут подходить два треугольника.

Проверка своей работы

• Выберите правило на основе имеющихся данных: пара «сторона-угол» требует правила синусов; две стороны с включенным углом или три стороны требуют правила косинусов. Для площади формула ab sin C / 2 требует угла МЕЖДУ сторонами a и b.
• Проверьте каждый кандидата в угол: оставшийся угол C = 180° − A − B должен быть положительным, и все стороны должны быть положительными. Калькулятор возвращает только острый главный значение обратного синуса — supplement является отдельным кандидатом.

Разобранный случай

• Известно: стороны 6 и 8 заключают угол 60°. Используем правило косинусов: c² = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos 60° = 36 + 64 − 96 × 0.5 = 52. Следовательно, c = √52 = 2√13 ≈ 7.21. Площадь равна (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3/2) = 12√3.

Пример:

Для A = 30°, a = 7, b = 10 найдите возможные значения B, используя ту же последовательность: данные → правило синусов → обе ветви → проверка допустимости. (Ответ: sin B = 10 × sin 30°/7 = 5/7, следовательно, B ≈ 45.6° или B ≈ 180° − 45.6° = 134.4°. Оба варианта оставляют положительный третий угол, поэтому подходят ДВА треугольника.)

Пределы и ловушки

• Неоднозначный случай требует подсчета количества: при h = b sin A и остром A, a < h дает none, a = h дает один прямоугольный треугольник, h < a < b дает два, а a ≥ b дает один. Тригонометрические уравнения на интервале должны перечислять каждое решение: sin x = 1/2 на [0, 2π) имеет как π/6, так и 5π/6.

Предупреждение:

Значение арксинуса на калькуляторе — единственный возможный угол в задаче на теорему синусов. Это утверждение ложно: синус положителен в двух четвертях, поэтому смежный угол 180° − B является вторым кандидатом и должен быть проверен, что представляет собой именно неоднозначный случай.

Ключевые моменты:

Тригонометрия: единичная окружность для значений и знаков, радианы для дуг и секторов, правило синусов с неоднозначным случаем, правило косинусов для включенных углов и ab sin C / 2 для площади — всегда с проверкой допустимости оставшегося угла.