Свойства логарифмов, отрицательные степени и области уравнений
Введено| English | Значение |
|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | аргумент |
Объединение двух логарифмов может дать многочлен с лишним корнем. Какое исходное условие области определения отбрасывает этот корень?
- Объединение двух логарифмов может дать многочлен с лишним корнем. Какое исходное условие области определения отбрасывает этот корень?
- Этот урок посвящён аргументу: значению внутри логарифма, которое должно быть положительным для существования реального логарифма.
Выберите математическую структуру
- При a>0, a≠1 и положительных u,v: log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, и log_a(u^k)=k log_a u для действительного k. Эти свойства следуют из умножения/деления/возведения в степень показателей. В частности, k=−1 даёт обратную величину, а k=−1/2 — обратный квадратный корень. Решите уравнение a^x=b, где b>0, используя формулу x=ln b/ln a.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
ln(x-1)+ln(x+1)=ln 8 даёт x²=9. Почему корень x=-3 отброшен?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Исходное уравнение требует x-1>0 и x+1>0, то есть x>1. Объединённая форма ln(x²-1) допускает -3, но этот вариант не удовлетворяет исходным аргументам — всегда проверяйте кандидаты по исходному уравнению.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Для x>0, ln(x^(-1))=−ln x и ln(x^(-1/2))=−(1/2)ln x. Решите ln(x−1)+ln(x+1)=ln8: исходная область определения — x>1. Объединение дает ln(x²−1)=ln8, откуда x²=9 и кандидаты ±3; только x=3 удовлетворяет исходным аргументам. Для 3^x=20, x=ln20/ln3. Если 2^(2x)−2^x−2=0, пусть u=2^x>0: (u−2)(u+1)=0, тогда u=2 дает x=1, а u=−1 невозможно. Также ln(2+3)=ln5, но ln2+ln3=ln6; сумма внутри логарифма не может быть разбита таким образом.
Свойства логарифмов, отрицательные степени и области уравнений
Для a>0, a≠1 и положительных u,v: log_a(uv)=log_a u+log_a v, log_a(u/v)=log_a u−log_a v, и log_a(u^k)=k log_a u для вещественного k
Укажите допустимый входной аргумент, преобразованную переменную или единицу времени перед использованием логарифмической/показательной зависимости.
Решить 3^x=27.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
27=3³, следовательно x=3.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Объединение или разложение логарифмов не стёрли их исходные области определения. ln(u²)=2ln|u| при u≠0; запись 2lnu дополнительно требует u>0. Не берите действительный логарифм нуля или отрицательного правого члена в уравнении a^x=b. Для основания 1, 1^x=b имеет решения при всех действительных x только если b=1, иначе решений нет; логарифмическое отношение неприменимо.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Каждый корень многочлена, полученный после объединения логарифмов, удовлетворяет исходному логарифмическому уравнению. Это утверждение ложно. Укажите, какое определение или предположение оно нарушает.
Для x>0 записать ln(x^(-1/2))=klnx. Найти k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Закон степеней выносит показатель −1/2 за знак: k=−1/2.
Каждый корень многочлена, полученный после объединения логарифмов, удовлетворяет исходному логарифмическому уравнению.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Объединение или разложение логарифмов не стирают их исходные области определения. ln(u²)=2ln|u| для u≠0; запись 2lnu дополнительно требует u>0. Не берите действительный логарифм от нуля или отрицательной правой части в a^x=b. Для основания 1, 1^x=b имеет все действительные x при b=1 и не имеет решений иначе; логарифмическое частное недоступно.
Интерпретируйте новую ситуацию
- Сначала перечислите ограничения на положительность, приведите всё к одному основанию, затем примените верное свойство. После алгебраических преобразований подставьте каждого кандидата в исходное логарифмическое/экспоненциальное уравнение. Сохраняйте точные значения логарифмических отношений, если не требуется десятичное приближение. Смена основания логарифма не меняет решение экспоненциального уравнения, если оба логарифма в отношении используют одно и то же допустимое основание.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Найти допустимые значения x для ln(x−1)+ln(x+1)=ln8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Уравнение x²=9 дает ±3, но исходные аргументы логарифмов положительны только при x>1; принимаем 3.
Сопоставьте каждый логарифмический закон с его формулировкой.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Законы выводятся из свойств степеней и применяются только к положительным аргументам; ln(x²)=2ln|x| требует модуля, если x может быть отрицательным.
Примените это в своем курсе
- 7357 · A-Level · F. Сопоставьте целевой уровень и спецификацию перед назначением дополнительных заданий.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Значение внутри логарифма, которое должно быть положительным для существования реального логарифма. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.