N · Statistical distributions

AQA A-level Mathematics 7357, раздел N (Статистические распределения), версия 1.3 (первая оценка 2018). Оригинальные учебные материалы.

Предварительные требования: теория вероятностей из раздела M.

Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.

Вопрос

• Машина заполняет бутылки небольшим разбросом вокруг 500 мл, тогда как подсчёт дефектов машиной всегда является целым числом. Одна модель использует площади под гладкой кривой; другая считает дискретные вероятности. Что к чему подходит?
• Перед чтением скажите, что делает подсчет биномиальным, и что необходимо для непрерывной модели.

Метод

• Биномиальное распределение требует фиксированного n, независимых испытаний, двух исходов и постоянной p: P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1 − p)⁻ᵏ, со средним E(X) = np и дисперсией Var(X) = np(1 − p). Математическое ожидание — это средневзвешенная величина по вероятностям.
• Непрерывная величина следует плотности: вероятность — это ПЛОЩАДЬ, и P(X = x) = 0 для любого точного значения. Нормальное распределение стандартизуется через z = (x − μ)/σ перед чтением вероятности хвоста. Модель Пуассона считает события с постоянной интенсивностью, где среднее равно дисперсии.
• биномиальное распределение: Количество успехов в n независимых испытаниях с двумя исходами и постоянной вероятностью p; ожидаемое значение: Среднее взвешенное по вероятностям случайной величины; нормальное распределение: Симметричная колоколообразная модель для непрерывных величин, стандартизируемая через z = (x − μ)/σ.

Проверка своей работы

• Проверяйте условия биномиального распределения перед использованием формулы: выборка без возвращения делает испытания зависимыми и изменяет p, поэтому модель не работает. Не каждый счет является биномиальным.
• Для непрерывной переменной никогда не спрашивайте P(X = точно 130): вычислите хвост или интервал. Сформулируйте событие перед расчётом и сначала нарисуйте заштрихованную область.

Разобранный случай

• Известно: X ~ биномиальное(5, 0.2). P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.32768. Математическое ожидание E(X) = np = 1 и дисперсия Var(X) = np(1 − p) = 0.8. Для нормальной величины с μ = 100, σ = 15, значение 130 имеет z = (130 − 100)/15 = 2, следовательно, оно находится на два стандартных отклонения выше среднего.

Пример:

Для X ~ биномиальное(5, 0.2) найдите P(X = 1), используя ту же последовательность: выберите модель → формулу → подстановку. (Ответ: P(X = 1) = C(5,1) × 0.2 × 0.8⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096.)

Пределы и ловушки

• Моменты биномиального распределения корректны только при выполнении всех четырёх условий. Нормальная модель требует примерно симметричных данных; поправка на непрерывность важна при аппроксимации дискретного распределения нормальным.

Предупреждение:

Любое число успехов имеет биномиальное распределение независимо от зависимости. Это утверждение неверно: модель требует независимых испытаний с постоянной вероятностью p — выборка без возвращения или изменяющаяся вероятность успеха нарушают её, поэтому формула даст ложную точность.

Ключевые моменты:

Статистические распределения: биномиальное для фиксированного числа n независимых подсчётов (E = np, Var = np(1 − p)); нормальное для непрерывных величин через z = (x − μ)/σ; вероятности являются площадями для непрерывных моделей и точными значениями для дискретных.