O · Statistical hypothesis testing

AQA A-level Mathematics 7357, раздел O (Статистическая проверка гипотез), версия 1.3 (первая оценка 2018). Оригинальные учебные материалы.

Предварительные требования: биномиальная и нормальная модели из раздела N.

Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.

Вопрос

• Завод заявляет о дефектности в 10%, а в выборке из 10 обнаружено 3 дефектов. Ученик утверждает: «3 дефектов доказывают, что уровень выше 10%». Каков правильный способ проверки этого утверждения?
• Перед чтением назовите нулевую гипотезу, альтернативную гипотезу и укажите, против какого значения вероятности оценивается evidence (доказательство).

Метод

• Сформулируйте нулевую гипотезу H₀ и альтернативную гипотезу H₁ в терминах параметров генеральной совокупности ДО анализа результата. Вычислите вероятность получения результата не менее экстремального, чем наблюдаемый, при условии H₀ — это хвостовая вероятность.
• Сравните его с выбранным уровнем значимости (например, 5%). Если хвостовая область соответствует уровню, отвергните H₀; иначе заявите, что доказательств НЕДОСТАТОЧНО, никогда не утверждая, что H₀ доказана. Статистическая значимость ничего не говорит о практическом РАЗМЕРЕ эффекта.
• Нулевая гипотеза: исходное утверждение о параметре генеральной совокупности, проверяемое против доказательств; альтернативная гипотеза: утверждение, принимаемое, если доказательства против H₀ достаточно сильны; уровень значимости: выбранная пороговая вероятность для отвержения нулевой гипотезы.

Проверка своей работы

• Выберите хвост согласно H₁, а не тому хвосту, который даёт маленькое число: H₁: p > 0.1 требует P(X ≥ наблюдаемое), верхний хвост. Двусторонние тесты удваивают хвост, когда утверждение «отличается», а не «больше».
• Гипотезы касаются ПАРАМЕТРА (истинной доли дефектов), а не выборки; они фиксируются до получения данных, иначе тест будет фальсифицирован.

Разобранный случай

• Known: H₀: p = 0.1, H₁: p > 0.1, n = 10, and 3 defects observed. Under H₀, X ~ binomial(10, 0.1): P(X ≥ 3) = 1 − (0.9¹⁰ + 10 × 0.1 × 0.9⁹ + 45 × 0.01 × 0.9⁸) ≈ 1 − 0.9298 = 0.0702. At the 5% level, 0.0702 > 0.05: insufficient evidence that the defect rate exceeds 10%.

Пример:

Правильный односторонний p-значение равно 0.03 на уровне 5%. Сформулируйте вывод, используя ту же последовательность: сравните с уровнем → сделайте вывод в контексте. (Ответ: 0.03 < 0.05, значит отвергаем H₀: доказательство поддерживает альтернативное утверждение на уровне 5%.)

Пределы и ловушки

• Непринятие H₀ не является доказательством его истинности — возможно, выборка слишком мала для выявления реальной разницы. Уровень 5% означает, что 1 из 20 справедливый утверждений будут ошибочно «отвергнуты» случайно при множестве тестов; значимость не измеряет важность.

Предупреждение:

Failing to reject a null hypothesis proves it is true. This claim is false: the test only measures whether the evidence against H₀ clears the threshold. Weak evidence leaves H₀ unproven, not proven — "insufficient evidence" and "proven true" are entirely different conclusions.

Ключевые моменты:

Статистическая проверка гипотез: сначала сформулируйте H₀ и H₁ в параметрах, вычислите хвостовую вероятность при H₀, сравните с заранее установленным уровнем значимости и сделайте вывод в контексте — никогда не утверждайте, что нулевая гипотеза доказана, если она не была отвергнута.