M · Probability

AQA A-level Mathematics 7357, раздел M (Вероятность), версия 1.3 (первая оценка 2018). Оригинальные учебные материалы.

Прerequisites: GCSE деревья вероятностей и круги Эйлера-Венна.

Это оригинальные методические примеры, а не официальные материалы AQA.

Вопрос

• Из мешка с 3 красными и 2 синими маркерами извлекают два маркера подряд. Вероятности второго извлечения отличаются от первого — это ошибка или суть задачи?
• Перед чтением скажите, что меняет условие «без возвращения», и как дерево это отображает.

Метод

• Перемножайте значения вдоль ветви дерева и складывайте независимые ветви для одного исхода. Условная вероятность ограничивает пространство событий: P(A при условии B) = P(A ∩ B)/P(B) при P(B) > 0. Без возвращения состав изменяется для следующего извлечения.
• Несовместные события не имеют пересечения; независимые события — знание одного не изменяет вероятность другого. Два несовместных события с положительной вероятностью никогда не являются независимыми: если произошло событие A, P(B) падает до 0.
• условная вероятность: Вероятность события в группе, выбранной по заданному условию; несовместные: События, которые не могут произойти одновременно; независимые: События, где знание одного не изменяет вероятность другого\u2019.

Проверка своей работы

• Заполните диаграмму Венна от ОБЛАСТИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ наружу: при 18 езде на велосипеде, 12 плавании и 7 занятиях обоими видами спорта единственные области — это 11 и 5, поэтому хотя бы один вид деятельности имеет место у 23 человек, а ни один — у 7 из 30. Сложение 18 + 12 приводит к двойному подсчёту 7.
• Условная вероятность использует общее число условной группы в качестве знаменателя: P(плавание при условии езды на велосипеде) = 7/18, а не 7/30. Обратное условие обычно меняет значение.

Разобранный случай

• Известно: 3 красных и 2 синих, два извлечения без возвращения. P(два красных) = 3/5 × 2/4 = 3/10. P(по одному каждого) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10. Ветки перемножаются, а непересекающиеся пути складываются.

Пример:

При заданном P(A ∩ B) = 0.12 и P(B) = 0.3 найдите P(A при условии B), используя ту же последовательность: определите условную группу → разделите → интерпретируйте. (Ответ: P(A при условии B) = 0.12/0.3 = 0.4. Знаменатель — это вероятность B, а не всего пространства.)

Пределы и ловушки

• Независимость и взаимоисключаемость отвечают на разные вопросы: непересекающиеся события с положительной вероятностью всегда зависимы. Ожидаемые частоты (np) — это долгосрочные средние, а не гарантии для одного испытания.

Предупреждение:

Несовместные события с положительными вероятностями должны быть независимыми. Это утверждение неверно: если A и B не могут произойти вместе, то P(B при условии A) = 0 ≠ P(B) — знание того, что произошло A, полностью меняет вероятность B, что противоположно независимости.

Ключевые моменты:

Вероятность: перемножаем вдоль ветвей, складываем непересекающиеся пути; условная вероятность: делим на условную группу; без возвращения вероятности изменяются; несовместные события с положительной вероятностью зависимы, никогда не являются независимыми.