Exploring Two-Variable Data · ⁨Исследование данных двух переменных⁩

Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.

Учебная цель VAR-1.D: Определять вопросы для ответа о возможных связях в данных. [Навык 1.A]

• VAR-1.D.1 Видимые закономерности и ассоциации в данных могут быть случайными или нет.

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Учебная цель UNC-1.P: Сравнивать числовые и графические представления для двух категориальных переменных. [Навык 2.D]

• UNC-1.P.1 Боковые столбчатые диаграммы, сегментированные столбчатые диаграммы и мозаичные диаграммы являются примерами столбчатых диаграмм для одной категориальной переменной, разбитой по категориям другой категориальной переменной.
• UNC-1.P.2 Графические представления двух категориальных переменных могут использоваться для сравнения распределений и/или определения того, связаны ли переменные.
• UNC-1.P.3 Двусторонняя таблица, также называемая таблицей сопряженности, используется для обобщения двух категориальных переменных. Значения в ячейках могут быть подсчетами частот или относительными частотами.
• UNC-1.P.4 Совместная относительная частота — это частота ячейки, деленная на общую сумму по всей таблице.

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Цель обучения UNC-1.Q: Вычислять статистику для двух категориальных переменных. [Навык 2.C]

• UNC-1.Q.1 Маргинальные относительные частоты — это суммы строк и столбцов в двусторонней таблице, деленные на общую сумму по всей таблице.
• UNC-1.Q.2 Условная относительная частота — это относительная частота для конкретной части таблицы сопряженности (например, частоты ячеек в строке, деленные на итоговую сумму этой строки).

Цель обучения UNC-1.R: Сравнивать статистику для двух категориальных переменных. [Навык 2.D]

• UNC-1.R.1 Сводную статистику для двух категориальных переменных можно использовать для сравнения распределений и/или определения наличия связи между переменными.

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Цель обучения UNC-1.S: Представлять бивариантные количественные данные с помощью точечных диаграмм. [Навык 2.B]

• UNC-1.S.1 Набор бивариантных количественных данных состоит из наблюдений двух различных количественных переменных, полученных на индивидах из выборки или генеральной совокупности.
• UNC-1.S.2 Точечная диаграмма показывает два числовых значения для каждого наблюдения: одно соответствует значению на оси $x$, а другое — значению на оси $y$.
• UNC-1.S.3 Объясняющая переменная — это переменная, значения которой используются для объяснения или прогнозирования соответствующих значений откликающей переменной.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.A: Описывать характеристики точечной диаграммы. [Навык 2.A]

• DAT-1.A.1 Описание точечной диаграммы включает форму, направление, силу и необычные особенности.
• DAT-1.A.2 Направление связи, показанной на точечной диаграмме (если оно есть), можно описать как положительное или отрицательное.
• DAT-1.A.3 Положительная связь означает, что при увеличении значений одной переменной значения другой переменной имеют тенденцию к увеличению. Отрицательная связь означает, что при увеличении значений одной переменной значения другой переменной имеют тенденцию к уменьшению.
• DAT-1.A.4 Форму связи, показанной на точечной диаграмме (если она есть), можно описать как линейную или нелинейную в той или иной степени.
• DAT-1.A.5 Сила связи — это то, насколько близко отдельные точки следуют определенному шаблону, например, линейному, и может быть представлена на точечной диаграмме. Силу можно описать как сильную, умеренную или слабую.
• DAT-1.A.6 Необычные особенности точечной диаграммы включают скопления точек или точки с относительно большими расхождениями между значением откликающей переменной и предсказанным значением для этой переменной.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.B: Определять корреляцию для линейной зависимости. [Навык 2.C]

• DAT-1.B.1 Коэффициент корреляции, $r$, указывает направление и количественно оценивает силу линейной связи между двумя количественными переменными.
• DAT-1.B.2 Коэффициент корреляции можно вычислить по формуле: $r = \dfrac{1}{n-1} \sum \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \dfrac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)$. Однако наиболее распространенный способ определения $r$ — использование программного обеспечения.
• DAT-1.B.3 Коэффициент корреляции, близкий к 1 или $-1$, не обязательно означает, что линейная модель является подходящей.

Цель обучения DAT-1.C: Интерпретировать корреляцию для линейной зависимости. [Навык 4.B]

• DAT-1.C.1 Коэффициент корреляции, $r$, безразмерен и всегда находится между $-1$ и 1 включительно. Значение $r = 0$ указывает на отсутствие линейной связи. Значение $r = 1$ или $r = -1$ указывает на идеальную линейную связь.
• DAT-1.C.2 Воспринимаемая или реальная связь между двумя переменными не означает, что изменения одной переменной вызывают изменения другой. То есть корреляция не обязательно подразумевает причинно-следственную связь.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.D: Вычислять предсказанное значение отклика с использованием модели линейной регрессии. [Навык 2.C]

• DAT-1.D.1 Простая линейная модель регрессии — это уравнение, которое использует объясняющую переменную, $x$, для прогнозирования откликающей переменной, $y$.
• DAT-1.D.2 Предсказанное значение отклика, обозначаемое как $\hat{y}$, рассчитывается по формуле $\hat{y} = a + bx$, где $a$ — точка пересечения с осью $y$, $b$ — угловой коэффициент линии регрессии, а $x$ — значение объясняющей переменной.
• DAT-1.D.3 Экстраполяция — это предсказание значения отклика с использованием значения объясняющей переменной, выходящего за пределы интервала значений $x$, использованных для построения линии регрессии. Предсказанное значение становится менее надежным как оценка по мере того, как мы экстраполируем дальше.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.E: Представлять разницы между измеренными и предсказанными откликами с помощью графиков остатков. [Навык 2.B]

• DAT-1.E.1 Остаток — это разница между фактическим значением и предсказанным значением: $\text{residual} = y - \hat{y}$.
• DAT-1.E.2 График остатков — это график остатков по значениям объясняющей переменной или предсказанным значениям отклика.

Цель обучения DAT-1.F: Описывать форму связи бивариантных данных с помощью графиков остатков. [Навык 2.A]

• DAT-1.F.1 Визуальная случайность на графике остатков для линейной модели является доказательством линейной формы связи между переменными.
• DAT-1.F.2 Графики остатков могут использоваться для проверки уместности выбранной модели.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.G: Оценивать параметры модели линии наименьших квадратов. [Навык 2.C]

• DAT-1.G.1 Модель регрессии наименьших квадратов минимизирует сумму квадратов остатков и содержит точку $(\bar{x}, \bar{y})$.
• DAT-1.G.2 Угловой коэффициент $b$ линии регрессии можно рассчитать как $b = r \left( \dfrac{s_y}{s_x} \right)$, где $r$ — корреляция между $x$ и $y$, $s_y$ — выборочное стандартное отклонение ответственной переменной, $y$, а $s_x$ — выборочное стандартное отклонение объясняющей переменной, $x$.
• DAT-1.G.3 Иногда пересечение с осью $y$ (свободный член) не имеет логического толкования в контексте задачи.
• DAT-1.G.4 В простой линейной регрессии $r^2$ является квадратом коэффициента корреляции, $r$. Он также называется коэффициентом детерминации. $r^2$ представляет собой долю вариации переменной отклика, которая объясняется объясняющей переменной в модели.

Цель обучения DAT-1.H: Интерпретировать коэффициенты модели линии наименьших квадратов. [Навык 4.B]

• DAT-1.H.1 Коэффициенты модели регрессии наименьших квадратов — это оцененный угловой коэффициент и пересечение с осью $y$.
• DAT-1.H.2 Угловой коэффициент показывает величину изменения предсказанного значения по оси $y$ при увеличении переменной $x$ на одну единицу.
• DAT-1.H.3 Значение пересечения с осью $y$ равно предсказанному значению переменной отклика, когда объясняющая переменная равна $0$. Формула для пересечения с осью $y$, $a$, имеет вид $a = \bar{y} - b\bar{x}$.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.I: Определять влияющие точки в регрессии. [Навык 2.A]

• DAT-1.I.1 Выбросом в регрессии является точка, которая не следует общему тренду, наблюдаемому в остальных данных, и имеет большой остаток при расчете линии регрессии наименьших квадратов (LSRL).
• DAT-1.I.2 Точка с высоким уровнем влияния (high-leverage point) в регрессии имеет значение по оси $x$, которое существенно больше или меньше значений у других наблюдений.
• DAT-1.I.3 Влияющей точкой в регрессии является любая точка, удаление которой существенно изменяет зависимость. Примерами могут служить значительно отличающиеся угловые коэффициенты, пересечения с осью $y$ и/или коэффициенты корреляции. Выбросы и точки с высоким уровнем влияния часто являются влияющими.

Цель обучения DAT-1.J: Рассчитывать предсказанный ответ с использованием линии наименьших квадратов для преобразованного набора данных. [Навык 2.C]

• DAT-1.J.1 Преобразования переменных, такие как вычисление натурального логарифма каждого значения переменной отклика или возведение в квадрат каждого значения объясняющей переменной, могут использоваться для создания преобразованных наборов данных, которые могут быть более линейными по форме, чем исходные данные.
• DAT-1.J.2 Увеличение случайности на графиках остатков после преобразования данных и/или приближение значения $r^2$ к значению, близкому к 1, свидетельствует о том, что линия регрессии наименьших квадратов для преобразованных данных является более подходящей моделью для предсказания ответов на объясняющую переменную, чем линия регрессии для исходных данных.