AP Statistics

Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.

Цель обучения VAR-1.A: Сформулировать вопросы для ответа на основе вариации в одномерных данных. [Навык 1.A]

• VAR-1.A.1 Числа могут передавать значимую информацию, когда помещены в контекст.

Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.

Цель обучения VAR-1.B: Идентифицировать переменные в наборе данных. [Навык 2.A]

• VAR-1.B.1 Переменная — это характеристика, которая меняется от одного индивида к другому.

Цель обучения VAR-1.C: Классифицировать типы переменных. [Навык 2.A]

• VAR-1.C.1 Категориальная переменная принимает значения, являющиеся названиями категорий или метками групп.
• VAR-1.C.2 Количественная переменная — это та, которая принимает числовые значения для измеренного или подсчитанного количества.
  • Иллюстративные примеры для VAR-1.C:
    • Категориальные переменные:
      • Доминирующая рука
      • Возрастная группа (молодая или старая)
      • Высшая полученная степень
    • Количественные переменные:
      • Возраст сооружения
      • Рост ребенка
      • Концентрация образца

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Цель обучения UNC-1.A: Представлять категориальные данные с помощью таблиц частот или относительных частот. [Навык 2.B]

• UNC-1.A.1 Таблица частот показывает количество случаев, попадающих в каждую категорию. Таблица относительных частот показывает долю случаев, попадающих в каждую категорию.

Цель обучения UNC-1.B: Описывать категориальные данные, представленные в таблицах частот или относительных частот. [Навык 2.A]

• UNC-1.B.1 Проценты, относительные частоты и ставки предоставляют ту же информацию, что и пропорции.
• UNC-1.B.2 Количество и относительные частоты категориальных данных раскрывают информацию, которая может быть использована для обоснования утверждений о данных в контексте.

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Цель обучения UNC-1.C: Представлять категориальные данные графически. [Навык 2.B]

• UNC-1.C.1 Столбчатые диаграммы (или гистограммы) используются для отображения частот (количеств) или относительных частот (пропорций) для категориальных данных.
• UNC-1.C.2 Высота или длина каждого столбца на столбчатой диаграмме соответствует либо количеству, либо доле наблюдений, попадающих в каждую категорию.
• UNC-1.C.3 Существует множество дополнительных способов представления частот (количеств) или относительных частот (пропорций) для категориальных данных.

Цель обучения UNC-1.D: Описывать категориальные данные, представленные графически. [Навык 2.A]

• UNC-1.D.1 Графические представления категориальной переменной раскрывают информацию, которая может быть использована для обоснования утверждений о данных в контексте.

Цель обучения UNC-1.E: Сравнивать несколько наборов категориальных данных. [Навык 2.D]

• UNC-1.E.1 Таблицы частот, столбчатые диаграммы или другие представления могут использоваться для сравнения двух или более наборов данных по одной и той же категориальной переменной.

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Цель обучения UNC-1.F: Классифицировать типы количественных переменных. [Навык 2.A]

• UNC-1.F.1 Дискретная переменная может принимать конечное или счетно-бесконечное число значений, например, натуральные числа при подсчете.
• UNC-1.F.2 Непрерывная переменная может принимать бесконечно много значений, но эти значения нельзя пересчитать. Как бы мал ни был интервал между двумя значениями непрерывной переменной, всегда можно определить другое значение между ними.
  • Иллюстративные примеры для UNC-1.F:
    • Дискретная переменная:
      • Количество студентов в классе
    • Непрерывная переменная:
      • Рост ребенка

Цель обучения UNC-1.G: Представлять количественные данные графически. [Навык 2.B]

• UNC-1.G.1 На гистограмме высота каждого столбца показывает количество или долю наблюдений, попадающих в интервал, соответствующий этому столбцу. Изменение ширины интервалов может изменить внешний вид гистограммы.
• UNC-1.G.2 В диаграмме «стебель и листья» каждое значение данных разделяется на «стебель» (первая цифра или цифры) и «лист» (обычно последняя цифра).
• UNC-1.G.3 Точечная диаграмма представляет каждое наблюдение точкой, положение которой на горизонтальной оси соответствует значению данных этого наблюдения; почти идентичные значения располагаются друг над другом.
• UNC-1.G.4 Кумулятивный график представляет количество или долю набора данных, меньших или равных заданному числу.
• UNC-1.G.5 Существует множество дополнительных способов графического представления распределения количественных данных.

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Цель обучения UNC-1.H: Описывать характеристики распределений количественных данных. [Навык 2.A]

• UNC-1.H.1 Описание распределения количественных данных включает форму, центр и изменчивость (разброс), а также любые необычные особенности, такие как выбросы, разрывы, скопления или множественные пики.
• UNC-1.H.2 Выбросы для одномерных данных — это точки данных, которые являются необычно маленькими или большими по сравнению с остальными данными.
• UNC-1.H.3 Распределение имеет правый скос (положительный скос), если правый хвост длиннее левого. Распределение имеет левый скос (отрицательный скос), если левый хвост длиннее правого. Распределение является симметричным, если левая половина является зеркальным отражением правой половины.
• UNC-1.H.4 Одномерные графики с одним основным пиком называются унимодальными. Графики с двумя выраженными пиками — бимодальными. График, где высота каждого столбца примерно одинакова (нет выраженных пиков), называется приблизительно равномерным.
• UNC-1.H.5 Разрыв — это область распределения между двумя значениями данных, где нет наблюдаемых данных.
• UNC-1.H.6 Скопления — это концентрации данных, обычно разделенные разрывами.
• UNC-1.H.7 Описательная статистика не приписывает свойства выборки большей совокупности, но может служить основой для выдвижения гипотез для последующей проверки.

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Учебная цель UNC-1.L: Графически представлять сводную статистику для количественных данных. [Навык 2.B]

• UNC-1.L.1 Совокупность минимального значения данных, первого квартиля (Q1), медианы, третьего квартиля (Q3) и максимального значения данных составляет пятичисловую сводку.
• UNC-1.L.2 Ящик с усами — это графическое представление пятичисловой сводки (минимум, первый квартиль, медиана, третий квартиль, максимум). Ящик представляет средние 50% данных, линия проходит через медиану, а концы ящика соответствуют квартилям. Линии («усы») тянутся от квартилей к наиболее экстремальной точке, которая не является выбросом, а выбросы обозначаются собственным символом за пределами этого диапазона.

Учебная цель UNC-1.M: Описывать сводную статистику количественных данных, представленную графически. [Навык 2.A]

• UNC-1.M.1 Сводная статистика количественных данных или наборов количественных данных может использоваться для обоснования утверждений о данных в контексте.
• UNC-1.M.2 Если распределение относительно симметрично, то среднее и медиана находятся относительно близко друг к другу. Если распределение скошено вправо, то среднее обычно находится правее медианы. Если распределение скошено влево, то среднее обычно находится левее медианы.

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Учебная цель UNC-1.N: Сравнивать графические представления для нескольких наборов количественных данных. [Навык 2.D]

• UNC-1.N.1 Любое из графических представлений, например гистограммы, боковые ящики с усами и т. д., может быть использовано для сравнения двух или более независимых выборок по центру, изменчивости, кластерам, пробелам, выбросам и другим характеристикам.

Учебная цель UNC-1.O: Сравнивать сводную статистику для нескольких наборов количественных данных. [Навык 2.D]

• UNC-1.O.1 Любое из числовых сводок (например, среднее, стандартное отклонение, относительная частота и т. д.) может быть использовано для сравнения двух или более независимых выборок.

Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.

Учебная цель VAR-1.D: Определять вопросы для ответа о возможных связях в данных. [Навык 1.A]

• VAR-1.D.1 Видимые закономерности и ассоциации в данных могут быть случайными или нет.

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Учебная цель UNC-1.P: Сравнивать числовые и графические представления для двух категориальных переменных. [Навык 2.D]

• UNC-1.P.1 Боковые столбчатые диаграммы, сегментированные столбчатые диаграммы и мозаичные диаграммы являются примерами столбчатых диаграмм для одной категориальной переменной, разбитой по категориям другой категориальной переменной.
• UNC-1.P.2 Графические представления двух категориальных переменных могут использоваться для сравнения распределений и/или определения того, связаны ли переменные.
• UNC-1.P.3 Двусторонняя таблица, также называемая таблицей сопряженности, используется для обобщения двух категориальных переменных. Значения в ячейках могут быть подсчетами частот или относительными частотами.
• UNC-1.P.4 Совместная относительная частота — это частота ячейки, деленная на общую сумму по всей таблице.

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Цель обучения UNC-1.Q: Вычислять статистику для двух категориальных переменных. [Навык 2.C]

• UNC-1.Q.1 Маргинальные относительные частоты — это суммы строк и столбцов в двусторонней таблице, деленные на общую сумму по всей таблице.
• UNC-1.Q.2 Условная относительная частота — это относительная частота для конкретной части таблицы сопряженности (например, частоты ячеек в строке, деленные на итоговую сумму этой строки).

Цель обучения UNC-1.R: Сравнивать статистику для двух категориальных переменных. [Навык 2.D]

• UNC-1.R.1 Сводную статистику для двух категориальных переменных можно использовать для сравнения распределений и/или определения наличия связи между переменными.

Постоянное понимание (UNC-1): Графические представления и статистика позволяют нам выявлять и отображать ключевые особенности данных.

Цель обучения UNC-1.S: Представлять бивариантные количественные данные с помощью точечных диаграмм. [Навык 2.B]

• UNC-1.S.1 Набор бивариантных количественных данных состоит из наблюдений двух различных количественных переменных, полученных на индивидах из выборки или генеральной совокупности.
• UNC-1.S.2 Точечная диаграмма показывает два числовых значения для каждого наблюдения: одно соответствует значению на оси $x$, а другое — значению на оси $y$.
• UNC-1.S.3 Объясняющая переменная — это переменная, значения которой используются для объяснения или прогнозирования соответствующих значений откликающей переменной.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.A: Описывать характеристики точечной диаграммы. [Навык 2.A]

• DAT-1.A.1 Описание точечной диаграммы включает форму, направление, силу и необычные особенности.
• DAT-1.A.2 Направление связи, показанной на точечной диаграмме (если оно есть), можно описать как положительное или отрицательное.
• DAT-1.A.3 Положительная связь означает, что при увеличении значений одной переменной значения другой переменной имеют тенденцию к увеличению. Отрицательная связь означает, что при увеличении значений одной переменной значения другой переменной имеют тенденцию к уменьшению.
• DAT-1.A.4 Форму связи, показанной на точечной диаграмме (если она есть), можно описать как линейную или нелинейную в той или иной степени.
• DAT-1.A.5 Сила связи — это то, насколько близко отдельные точки следуют определенному шаблону, например, линейному, и может быть представлена на точечной диаграмме. Силу можно описать как сильную, умеренную или слабую.
• DAT-1.A.6 Необычные особенности точечной диаграммы включают скопления точек или точки с относительно большими расхождениями между значением откликающей переменной и предсказанным значением для этой переменной.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.B: Определять корреляцию для линейной зависимости. [Навык 2.C]

• DAT-1.B.1 Коэффициент корреляции, $r$, указывает направление и количественно оценивает силу линейной связи между двумя количественными переменными.
• DAT-1.B.2 Коэффициент корреляции можно вычислить по формуле: $r = \dfrac{1}{n-1} \sum \left( \dfrac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \dfrac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)$. Однако наиболее распространенный способ определения $r$ — использование программного обеспечения.
• DAT-1.B.3 Коэффициент корреляции, близкий к 1 или $-1$, не обязательно означает, что линейная модель является подходящей.

Цель обучения DAT-1.C: Интерпретировать корреляцию для линейной зависимости. [Навык 4.B]

• DAT-1.C.1 Коэффициент корреляции, $r$, безразмерен и всегда находится между $-1$ и 1 включительно. Значение $r = 0$ указывает на отсутствие линейной связи. Значение $r = 1$ или $r = -1$ указывает на идеальную линейную связь.
• DAT-1.C.2 Воспринимаемая или реальная связь между двумя переменными не означает, что изменения одной переменной вызывают изменения другой. То есть корреляция не обязательно подразумевает причинно-следственную связь.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.D: Вычислять предсказанное значение отклика с использованием модели линейной регрессии. [Навык 2.C]

• DAT-1.D.1 Простая линейная модель регрессии — это уравнение, которое использует объясняющую переменную, $x$, для прогнозирования откликающей переменной, $y$.
• DAT-1.D.2 Предсказанное значение отклика, обозначаемое как $\hat{y}$, рассчитывается по формуле $\hat{y} = a + bx$, где $a$ — точка пересечения с осью $y$, $b$ — угловой коэффициент линии регрессии, а $x$ — значение объясняющей переменной.
• DAT-1.D.3 Экстраполяция — это предсказание значения отклика с использованием значения объясняющей переменной, выходящего за пределы интервала значений $x$, использованных для построения линии регрессии. Предсказанное значение становится менее надежным как оценка по мере того, как мы экстраполируем дальше.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.E: Представлять разницы между измеренными и предсказанными откликами с помощью графиков остатков. [Навык 2.B]

• DAT-1.E.1 Остаток — это разница между фактическим значением и предсказанным значением: $\text{residual} = y - \hat{y}$.
• DAT-1.E.2 График остатков — это график остатков по значениям объясняющей переменной или предсказанным значениям отклика.

Цель обучения DAT-1.F: Описывать форму связи бивариантных данных с помощью графиков остатков. [Навык 2.A]

• DAT-1.F.1 Визуальная случайность на графике остатков для линейной модели является доказательством линейной формы связи между переменными.
• DAT-1.F.2 Графики остатков могут использоваться для проверки уместности выбранной модели.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.G: Оценивать параметры модели линии наименьших квадратов. [Навык 2.C]

• DAT-1.G.1 Модель регрессии наименьших квадратов минимизирует сумму квадратов остатков и содержит точку $(\bar{x}, \bar{y})$.
• DAT-1.G.2 Угловой коэффициент $b$ линии регрессии можно рассчитать как $b = r \left( \dfrac{s_y}{s_x} \right)$, где $r$ — корреляция между $x$ и $y$, $s_y$ — выборочное стандартное отклонение ответственной переменной, $y$, а $s_x$ — выборочное стандартное отклонение объясняющей переменной, $x$.
• DAT-1.G.3 Иногда пересечение с осью $y$ (свободный член) не имеет логического толкования в контексте задачи.
• DAT-1.G.4 В простой линейной регрессии $r^2$ является квадратом коэффициента корреляции, $r$. Он также называется коэффициентом детерминации. $r^2$ представляет собой долю вариации переменной отклика, которая объясняется объясняющей переменной в модели.

Цель обучения DAT-1.H: Интерпретировать коэффициенты модели линии наименьших квадратов. [Навык 4.B]

• DAT-1.H.1 Коэффициенты модели регрессии наименьших квадратов — это оцененный угловой коэффициент и пересечение с осью $y$.
• DAT-1.H.2 Угловой коэффициент показывает величину изменения предсказанного значения по оси $y$ при увеличении переменной $x$ на одну единицу.
• DAT-1.H.3 Значение пересечения с осью $y$ равно предсказанному значению переменной отклика, когда объясняющая переменная равна $0$. Формула для пересечения с осью $y$, $a$, имеет вид $a = \bar{y} - b\bar{x}$.

Важное понимание (DAT-1): Модели регрессии могут позволить нам прогнозировать отклики на изменения объясняющей переменной.

Цель обучения DAT-1.I: Определять влияющие точки в регрессии. [Навык 2.A]

• DAT-1.I.1 Выбросом в регрессии является точка, которая не следует общему тренду, наблюдаемому в остальных данных, и имеет большой остаток при расчете линии регрессии наименьших квадратов (LSRL).
• DAT-1.I.2 Точка с высоким уровнем влияния (high-leverage point) в регрессии имеет значение по оси $x$, которое существенно больше или меньше значений у других наблюдений.
• DAT-1.I.3 Влияющей точкой в регрессии является любая точка, удаление которой существенно изменяет зависимость. Примерами могут служить значительно отличающиеся угловые коэффициенты, пересечения с осью $y$ и/или коэффициенты корреляции. Выбросы и точки с высоким уровнем влияния часто являются влияющими.

Цель обучения DAT-1.J: Рассчитывать предсказанный ответ с использованием линии наименьших квадратов для преобразованного набора данных. [Навык 2.C]

• DAT-1.J.1 Преобразования переменных, такие как вычисление натурального логарифма каждого значения переменной отклика или возведение в квадрат каждого значения объясняющей переменной, могут использоваться для создания преобразованных наборов данных, которые могут быть более линейными по форме, чем исходные данные.
• DAT-1.J.2 Увеличение случайности на графиках остатков после преобразования данных и/или приближение значения $r^2$ к значению, близкому к 1, свидетельствует о том, что линия регрессии наименьших квадратов для преобразованных данных является более подходящей моделью для предсказания ответов на объясняющую переменную, чем линия регрессии для исходных данных.

Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.

Цель обучения VAR-1.E: Определять вопросы, которые необходимо ответить относительно методов сбора данных. [Навык 1.A]

• VAR-1.E.1 Методы сбора данных, не основанные на случайном выборе, приводят к ненадежным выводам.

Устойчивое понимание (DAT-2): То, как мы собираем данные, влияет на то, что мы можем и не можем утверждать о популяции.

Цель обучения DAT-2.A: Определять тип исследования. [Навык 1.C]

• DAT-2.A.1 Популяция состоит из всех объектов или субъектов интереса.
• DAT-2.A.2 Выборка, выбранная для исследования, является подмножеством популяции.
• DAT-2.A.3 В наблюдательном исследовании воздействия (лечения) не вводятся. Исследователи анализируют данные для выборки индивидов (ретроспективно) или наблюдают за выборкой индивидов в будущем, собирая данные (проспективно), чтобы изучить интересующую тему о популяции. Выборочное обследование (sample survey) является видом наблюдательного исследования, который собирает данные у выборки, пытаясь узнать о популяции, из которой была выбрана эта выборка.
• DAT-2.A.4 В эксперименте различные условия (воздействия) назначаются экспериментальным единицам (участникам или субъектам).

Цель обучения DAT-2.B: Определять уместные обобщения и выводы на основе наблюдательных исследований. [Навык 4.A]

• DAT-2.B.1 Обобщения о популяции уместны только на основе выборок, которые были случайно отобраны или иным образом репрезентативны для этой популяции.
• DAT-2.B.2 Выборка репрезентативна (обобщима) только для той популяции, из которой она была выбрана.
• DAT-2.B.3 Невозможно установить причинно-следственные связи между переменными, используя данные, собранные в наблюдательном исследовании.

Устойчивое понимание (DAT-2): То, как мы собираем данные, влияет на то, что мы можем и не можем утверждать о популяции.

Цель обучения DAT-2.C: Определять метод выборки по описанию исследования. [Навык 1.C]

• DAT-2.C.1 Когда объект из популяции может быть выбран только один раз, это называется выборкой без возвращения. Когда объект из популяции может быть выбран более одного раза, это называется выборкой с возвращением.
• DAT-2.C.2 Простая случайная выборка (SRS) — это выборка, в которой каждая группа заданного размера имеет одинаковый шанс быть выбранной. Этот метод лежит в основе многих типов механизмов выборки. Несколько примеров механизмов, используемых для получения SRS, включают нумерацию индивидов и использование генератора случайных чисел для выбора тех, кого включить в выборку, игнорируя повторы, использование таблицы случайных чисел или вытягивание карточки из колоды без возвращения.
• DAT-2.C.3 Стратифицированная случайная выборка предполагает разделение популяции на отдельные группы, называемые стратами, на основе общих атрибутов или характеристик (гомогенное группирование). Внутри каждой страты выбирается простая случайная выборка, а выбранные единицы объединяются для формирования итоговой выборки.
• DAT-2.C.4 Кластерная выборка предполагает разделение популяции на меньшие группы, называемые кластерами. В идеале внутри каждого кластера должна присутствовать гетерогенность, а сами кластеры должны быть схожи друг с другом по своему составу. Из популяции выбирается простая случайная выборка кластеров, которая и формирует выборку кластеров. Данные собираются со всех наблюдений в выбранных кластерах.
• DAT-2.C.5 Систематическая случайная выборка — это метод, при котором члены выборки из популяции отбираются согласно случайному начальному пункту и фиксированному периодическому интервалу.
• DAT-2.C.6 Перепись охватывает все элементы/объекты в популяции.

Учебная цель DAT-2.D: Объяснить, почему тот или иной метод выборки является подходящим или неподходящим для данной ситуации. [Навык 1.C]

• DAT-2.D.1 Для каждого метода выборки существуют преимущества и недостатки, зависящие от вопроса, на который необходимо ответить, и популяции, из которой будет выбрана выборка.

Устойчивое понимание (DAT-2): То, как мы собираем данные, влияет на то, что мы можем и не можем утверждать о популяции.

Учебная цель DAT-2.E: Определить потенциальные источники смещения в методах выборки. [Навык 1.C]

• DAT-2.E.1 Смещение возникает, когда определенные ответы систематически предпочтительнее других.
• DAT-2.E.2 Когда выборка состоит исключительно из добровольцев или людей, решивших принять участие, она, как правило, не представляет популяцию (смещение добровольного ответа).
• DAT-2.E.3 Когда часть популяции имеет сниженную вероятность попадания в выборку, она, как правило, не представляет популяцию (смещение неполного покрытия).
• DAT-2.E.4 Индивидуумы, выбранные для выборки, у которых невозможно получить данные (или которые отказываются отвечать), могут отличаться от тех, у кого данные получены (смещение невключения в ответе).
• DAT-2.E.5 Проблемы в инструменте или процессе сбора данных приводят к смещению в ответах. Примерами являются вопросы, вызывающие путаницу или подталкивающие к определенному ответу (смещение формулировки вопросов) и самооценочные ответы.
• DAT-2.E.6 Неслучайные методы выборки (например, выборки, выбранные по удобству или методом добровольного ответа) создают потенциал для смещения, поскольку они не используют случайность для выбора индивидов.

Вечная истина (VAR-3): Хорошо спланированные эксперименты могут установить доказательства причинно-следственных связей.

Учебная цель VAR-3.A: Определить компоненты эксперимента. [Навык 1.C]

• VAR-3.A.1 Экспериментальные единицы — это индивидуумы (которые могут быть людьми или другими объектами исследования), которым назначаются воздействия. Когда экспериментальные единицы состоят из людей, их иногда называют участниками или субъектами.
• VAR-3.A.2 Объясняющая переменная (или фактор) в эксперименте — это переменная, уровни которой намеренно манипулируются. Уровни или комбинация уровней объясняющей переменной(ых) называются воздействиями (обработками).
• VAR-3.A.3 Откликующая переменная в эксперименте — это результат от экспериментальных единиц, который измеряется после того, как были применены воздействия.
• VAR-3.A.4 Спутанная переменная в эксперименте — это переменная, связанная с объясняющей переменной и влияющая на откликующую переменную, что может создать ложное восприятие связи между двумя переменными.

Учебная цель VAR-3.B: Описать элементы хорошо спланированного эксперимента. [Навык 1.B]

• VAR-3.B.1 Хорошо спланированный эксперимент должен включать следующее:
  • a. Сравнение как минимум двух групп воздействий, одной из которых может быть контрольная группа.
  • b. Случайное назначение/распределение воздействий экспериментальным единицам.
  • c. Репликация (более чем одна экспериментальная единица в каждой группе воздействий).
  • d. Контроль потенциальных спутанных переменных там, где это уместно.

Учебная цель VAR-3.C: Сравнивать экспериментальные дизайны и методы. [Навык 1.C]

• VAR-3.C.1 В полностью рандомизированном дизайне воздействия назначаются экспериментальным единицам полностью случайно. Случайное назначение tends to balance the effects of uncontrolled (confounding) variables so that differences in responses can be attributed to the treatments.
• VAR-3.C.2 Методы случайного назначения воздействий экспериментальным единицам в полностью рандомизированном дизайне включают использование генератора случайных чисел, таблицу случайных значений, вытягивание жетонов без возвращения и т. д.
• VAR-3.C.3 В однослепом эксперименте субъекты не знают, какое воздействие они получают, но члены исследовательской команды знают, или наоборот.
• VAR-3.C.4 В двуслепом эксперименте ни субъекты, ни члены исследовательской команды, взаимодействующие с ними, не знают, какое воздействие получает субъект.
• VAR-3.C.5 Контрольная группа — это совокупность экспериментальных единиц, которым либо не назначают интересующее воздействие, либо назначают воздействие с неактивным веществом (плацебо) для определения того, оказывает ли интересующее воздействие эффект.
• VAR-3.C.6 Эффект плацебо возникает, когда экспериментальные единицы демонстрируют реакцию на плацебо.
• VAR-3.C.7 Для рандомизированных полных блочных дизайнов воздействия назначаются полностью случайно внутри каждого блока.
• VAR-3.C.8 Блокирование обеспечивает то, что в начале эксперимента единицы внутри каждого блока похожи друг на друга по крайней мере относительно одной блокирующей переменной. Рандомизированный блочный дизайн помогает разделить естественную изменчивость на различия, обусловленные блокирующей переменной.
• VAR-3.C.9 План с парными сравнениями является частным случаем плана со случайной блокировкой. С использованием блокирующей переменной субъекты (независимо от того, являются ли они людьми или нет) группируются в пары, сопоставленные по релевантным факторам. Пары могут формироваться естественным образом или экспериментатором. Каждая пара получает оба лечения путем случайного назначения одного лечения одному участнику пары и последующего назначения оставшегося лечения второму участнику пары. Альтернативно, каждый субъект может получить оба лечения.

Вечная истина (VAR-3): Хорошо спланированные эксперименты могут установить доказательства причинно-следственных связей.

Цель обучения VAR-3.D: Объяснить, почему тот или иной экспериментальный дизайн является подходящим. [Навык 1.C]

• VAR-3.D.1 Для каждого экспериментального дизайна есть преимущества и недостатки, зависящие от интересующего вопроса, доступных ресурсов и природы экспериментальных единиц.

Вечная истина (VAR-3): Хорошо спланированные эксперименты могут установить доказательства причинно-следственных связей.

Цель обучения VAR-3.E: Интерпретировать результаты хорошо спланированного эксперимента. [Навык 4.B]

• VAR-3.E.1 Статистический вывод приписывает выводы, основанные на данных, распределению, из которого были собраны эти данные.
• VAR-3.E.2 Случайное назначение treatments экспериментальным единицам позволяет исследователям сделать вывод о том, что некоторые наблюдаемые изменения настолько велики, что маловероятно, что они произошли случайно. Такие изменения называются статистически значимыми.
• VAR-3.E.3 Статистически значимые различия между или среди групп экспериментальных treatments являются доказательством того, что treatments вызвали эффект.
• VAR-3.E.4 Если экспериментальные единицы, использованные в эксперименте, репрезентативны для некоторой более крупной группы единиц, результаты эксперимента можно обобщить на эту более крупную группу. Случайный выбор экспериментальных единиц дает больше шансов, что они будут репрезентативными.

Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.

Цель обучения VAR-1.F: Определять вопросы, возникающие из паттернов в данных. [Навык 1.A]

• VAR-1.F.1 Паттерны в данных не обязательно означают, что вариация не является случайной.

Постоянное понимание (UNC-2): Симуляция позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-2.A: Оценивать вероятности с использованием симуляции. [Навык 3.A]

• UNC-2.A.1 Случайный процесс порождает результаты, которые определяются случайностью.
• UNC-2.A.2 Исход — это результат испытания случайного процесса.
• UNC-2.A.3 Событие — это совокупность исходов.
• UNC-2.A.4 Симуляция — это способ моделирования случайных событий, так что симулированные исходы близко совпадают с реальными исходами. Все возможные исходы связаны со значением, которое определяется случайностью. Запишите количества симулированных исходов и общее количество.
• UNC-2.A.5 Относительная частота исхода или события в смоделированных или эмпирических данных может использоваться для оценки вероятности этого исхода или события.
• UNC-2.A.6 Закон больших чисел гласит, что смоделированные (эмпирические) вероятности стремятся приблизиться к истинной вероятности по мере увеличения числа испытаний.
  • Иллюстративные примеры для UNC-2.A:
    • Исход: Выпадение определенного значения на шестигранном игральной кости является одним из шести возможных исходов.
    • Событие: При бросании двух шестигранных кубиков событием будет сумма семь. Соответствующая совокупность исходов включает $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$ и $(6, 1)$, где упорядоченные пары указывают (значение грани на одном кубике, значение грани на другом кубике).

Пронизывающее понимание (VAR-4): Вероятность случайного события может быть количественно выражена.

Цель обучения VAR-4.A: Вычислять вероятности событий и их дополнений. [Навык 3.A]

• VAR-4.A.1 Пространство элементарных исходов случайного процесса — это множество всех возможных непересекающихся исходов.
• VAR-4.A.2 Если все исходы в пространстве элементарных исходов равновероятны, то вероятность наступления события E определяется как отношение: $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
• VAR-4.A.3 Вероятность события — это число от 0 до 1 включительно.
• VAR-4.A.4 Вероятность дополнения события E, $E'$ или $E^{C}$ (т.е. ненаступления E), равна $1 - P(E)$.

Цель обучения VAR-4.B: Интерпретировать вероятности событий. [Навык 4.B]

• VAR-4.B.1 Вероятности событий в повторяемых ситуациях можно интерпретировать как относительную частоту, с которой событие будет происходить в долгосрочной перспективе.

Пронизывающее понимание (VAR-4): Вероятность случайного события может быть количественно выражена.

Цель обучения VAR-4.C: Объяснить, почему два события являются (или не являются) взаимоисключающими. [Навык 4.B]

• VAR-4.C.1 Вероятность того, что события $A$ и $B$ произойдут одновременно, иногда называемая совместной вероятностью, есть вероятность пересечения $A$ и $B$, обозначаемая $P(A \cap B)$.
• VAR-4.C.2 Два события называются взаимоисключающими или несовместными, если они не могут произойти одновременно. Следовательно, $P(A \cap B) = 0$.

Пронизывающее понимание (VAR-4): Вероятность случайного события может быть количественно выражена.

Цель обучения VAR-4.D: Вычислять условные вероятности. [Навык 3.A]

• VAR-4.D.1 Вероятность того, что событие $A$ произойдет при условии, что событие $B$ уже произошло, называется условной вероятностью и обозначается $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
• VAR-4.D.2 Правило умножения гласит, что вероятность одновременного наступления событий $A$ и $B$ равна вероятности наступления события $A$, умноженной на вероятность наступления события $B$ при условии, что произошло $A$. Это обозначается $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

Пронизывающее понимание (VAR-4): Вероятность случайного события может быть количественно выражена.

Цель обучения VAR-4.E: Вычислять вероятности независимых событий и объединений двух событий. [Навык 3.A]

• VAR-4.E.1 События $A$ и $B$ являются независимыми тогда и только тогда, когда знание о том, произошло (или произойдет ли) событие $A$, не изменяет вероятность наступления события $B$.
• VAR-4.E.2 Только если события $A$ и $B$ являются независимыми, то $P(A \mid B) = P(A)$, $P(B \mid A) = P(B)$ и $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• VAR-4.E.3 Вероятность того, что наступит событие $A$ или событие $B$ (или оба сразу), равна вероятности объединения $A$ и $B$, которая обозначается как $P(A \cup B)$.
• VAR-4.E.4 Правило сложения гласит, что вероятность того, что произойдет событие $A$ или событие $B$ или оба сразу, равна вероятности наступления события $A$ плюс вероятность наступления события $B$ минус вероятность одновременного наступления обоих событий $A$ и $B$. Это обозначается $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Пронизывающее понимание (VAR-5): Распределения вероятностей могут использоваться для моделирования вариации в генеральных совокупностях.

Цель обучения VAR-5.A: Представить распределение вероятностей для дискретной случайной величины. [Навык 2.B]

• VAR-5.A.1 Значения случайной величины — это числовые результаты случайного поведения.
• VAR-5.A.2 Дискретная случайная величина — это величина, которая может принимать лишь счетное количество значений. Каждому значению соответствует определенная вероятность. Сумма вероятностей по всем возможным значениям должна быть равна 1.
• VAR-5.A.3 Распределение вероятностей может быть представлено в виде графика, таблицы или функции, показывающей вероятности, связанные со значениями случайной величины.
• VAR-5.A.4 Накопительное распределение вероятностей может быть представлено в виде таблицы или функции, показывающей вероятность того, что значение случайной величины будет меньше или равно каждому конкретному значению.
  • Иллюстративные примеры для VAR-5.A: Результаты испытаний случайного процесса:
    • Сумма значений при бросании двух игральных костей
    • Количество щенков в случайно выбранном помёте определенной породы собак

Цель обучения VAR-5.B: Интерпретировать распределение вероятностей. [Навык 4.B]

• VAR-5.B.1 Интерпретация распределения вероятностей предоставляет информацию о форме, центре и разбросе генеральной совокупности и позволяет делать выводы о интересующей нас совокупности.

Пронизывающее понимание (VAR-5): Распределения вероятностей могут использоваться для моделирования вариации в генеральных совокупностях.

Цель обучения VAR-5.C: Вычислять параметры дискретной случайной величины. [Навык 3.B]

• VAR-5.C.1 Числовое значение, характеризующее особенность генеральной совокупности или распределения случайной величины, известно как параметр, который представляет собой единственное фиксированное значение.
• VAR-5.C.2 Математическое ожидание, или ожидаемое значение, для дискретной случайной величины $X$ равно $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
• VAR-5.C.3 Среднеквадратичное отклонение для дискретной случайной величины $X$ равно $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

Цель обучения VAR-5.D: Интерпретировать параметры дискретной случайной величины. [Навык 4.B]

• VAR-5.D.1 Параметры дискретной случайной величины следует интерпретировать, используя соответствующие единицы измерения и в контексте конкретной генеральной совокупности.

Пронизывающее понимание (VAR-5): Распределения вероятностей могут использоваться для моделирования вариации в генеральных совокупностях.

Цель обучения VAR-5.E: Вычислять параметры линейных комбинаций случайных величин. [Навык 3.B]

• VAR-5.E.1 Для случайных величин $X$ и $Y$ и действительных чисел $a$ и $b$ математическое ожидание $aX + bY$ равно $a\mu_x + b\mu_y$.
• VAR-5.E.2 Две случайные величины являются независимыми, если знание информации об одной из них не изменяет вероятностное распределение другой.
• VAR-5.E.3 Для независимых случайных величин $X$ и $Y$ и действительных чисел $a$ и $b$ математическое ожидание $aX + bY$ равно $a\mu_x + b\mu_y$, а дисперсия $aX + bY$ равна $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

Цель обучения VAR-5.F: Описывать влияние линейных преобразований на параметры случайных величин. [Навык 3.C]

• VAR-5.F.1 Для $Y = a + bX$ вероятностное преобразованной случайной величины $Y$ имеет ту же форму, что и вероятностное распределение для $X$, при условии, что $a > 0$ и $b > 0$. Математическое ожидание $Y$ равно $\mu_y = a + b\mu_x$. Среднеквадратичное отклонение $Y$ равно $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.A: Оценивать вероятности биномиальных случайных переменных, используя данные симуляции. [Навык 3.A]

• UNC-3.A.1 Распределение вероятностей может быть построено с помощью правил теории вероятностей или оценено с помощью симуляции, использующей генераторы случайных чисел.
• UNC-3.A.2 Биномиальная случайная величина, $X$, подсчитывает число успехов в $n$ повторяющихся независимых испытаниях, каждое из которых имеет два возможных исхода (успех или неудача), с вероятностью успеха $p$ и вероятностью неудачи $1 - p$.

Цель обучения UNC-3.B: Рассчитывать вероятности для биномиального распределения. [Навык 3.A]

• UNC-3.B.1 Вероятность того, что биномиальная случайная переменная, $X$, имеет ровно $x$ успехов для $n$ независимых испытаний, когда вероятность успеха составляет $p$, рассчитывается как $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. Это функция биномиальной вероятности.

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.C: Рассчитывать параметры биномиального распределения. [Навык 3.B]

• UNC-3.C.1 Если случайная переменная является биномиальной, её среднее значение, $\mu_x$, равно $np$, а стандартное отклонение, $\sigma_x$, равно $\sqrt{np(1 - p)}$.

Цель обучения UNC-3.D: Интерпретировать вероятности и параметры биномиального распределения. [Навык 4.B]

• UNC-3.D.1 Вероятности и параметры биномиального распределения следует интерпретировать, используя соответствующие единицы измерения и в контексте конкретной популяции или ситуации.

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.E: Рассчитывать вероятности для геометрических случайных переменных. [Навык 3.A]

• UNC-3.E.1 Для последовательности независимых испытаний геометрическая случайная переменная, $X$, указывает номер испытания, на котором происходит первый успех. Каждое испытание имеет два возможных исхода (успех или неудача) с вероятностью успеха $p$ и вероятностью неудачи $1 - p$.
• UNC-3.E.2 Вероятность того, что первый успех при повторяющихся независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ произойдет именно на испытании $x$, вычисляется по формуле $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. Это геометрическая функция вероятности.

Цель обучения UNC-3.F: Рассчитывать параметры геометрического распределения. [Навык 3.B]

• UNC-3.F.1 Если случайная переменная является геометрической, её среднее значение, $\mu_x$, равно $\dfrac{1}{p}$, а стандартное отклонение, $\sigma_x$, равно $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

Цель обучения UNC-3.G: Интерпретировать вероятности и параметры геометрического распределения. [Навык 4.B]

• UNC-3.G.1 Вероятности и параметры геометрического распределения следует интерпретировать, используя соответствующие единицы измерения и в контексте конкретной популяции или ситуации.

Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.

Цель обучения VAR-1.G: Определять вопросы, возникающие из-за вариации статистик в выборках, собранных из одной генеральной совокупности. [Навык 1.A]

• VAR-1.G.1 Вариация статистик в выборках, взятых из одной генеральной совокупности, может быть случайной или неслучайной.

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.H: Оценивать выборочные распределения с помощью моделирования. [Навык 3.C]

• UNC-3.H.1 Выборочное распределение статистики — это распределение значений этой статистики для всех возможных выборок данного размера из данной генеральной совокупности.
• UNC-3.H.2 Центральная предельная теорема (ЦПТ) гласит, что при достаточном размере выборки выборочное распределение среднего значения случайной величины будет приблизительно нормальным.
• UNC-3.H.3 Центральная предельная теорема требует, чтобы значения выборки были независимы друг от друга и чтобы $n$ было достаточно большим.
• UNC-3.H.4 Случайное распределение — это набор статистик, полученных путем моделирования при известных значениях параметров. Для рандомизированного эксперимента это означает многократное случайное перераспределение/переназначение значений ответа на группы обработки.
• UNC-3.H.5 Выборочное распределение статистики можно смоделировать, генерируя повторяющиеся случайные выборки из генеральной совокупности.

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.I: Объяснять, является ли оценщик смещенным или несмещенным. [Навык 4.B]

• UNC-3.I.1 При оценке параметра генеральной совокупности оценщик считается несмещенным, если в среднем его значение равно параметру генеральной совокупности.

Цель обучения UNC-3.J: Вычислять оценки для параметра генеральной совокупности. [Навык 3.B]

• UNC-3.J.1 При оценке параметра генеральной совокупности оценочная функция демонстрирует изменчивость, которую можно смоделировать с помощью теории вероятностей.
• UNC-3.J.2 Выборочная статистика является точечной оценкой соответствующего параметра генеральной совокупности.

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.K: Определять параметры выборочного распределения для выборочных долей. [Навык 3.B]

• UNC-3.K.1 Для независимых выборок (выборки с возвращением) категориальной переменной из генеральной совокупности с долей $p$, выборочное распределение выборочной доли, $\hat{p}$, имеет среднее значение $\mu_{\hat{p}} = p$ и стандартное отклонение $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
• UNC-3.K.2 Если выборка проводится без возвращения, стандартное отклонение выборочной доли меньше, чем указано в формуле выше. Если размер выборки составляет менее 10% от размера генеральной совокупности, разница является незначительной.

Цель обучения UNC-3.L: Определять, может ли выборочное распределение для выборочной доли быть описано как приблизительно нормальное. [Навык 3.C]

• UNC-3.L.1 Для категориальной переменной выборочное распределение выборочной доли, $\hat{p}$, будет иметь приблизительно нормальное распределение при условии достаточного размера выборки: $np \geq 10$ и $n(1-p) \geq 10$

Цель обучения UNC-3.M: Интерпретировать вероятности и параметры выборочного распределения для выборочных долей. [Навык 4.B]

• UNC-3.M.1 Вероятности и параметры выборочного распределения для выборочных долей следует интерпретировать с использованием соответствующих единиц измерения и в контексте конкретной генеральной совокупности.

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.N: Определять параметры выборочного распределения для разницы выборочных долей. [Навык 3.B]

• UNC-3.N.1 Для категориальной переменной при случайной выборке с возвращением из двух независимых генеральных совокупностей с долями $p_1$ и $p_2$, выборочное распределение разницы выборочных долей $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ имеет среднее значение $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ и стандартное отклонение $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
• UNC-3.N.2 Если выборка проводится без возвращения, стандартное отклонение разницы выборочных долей меньше, чем указано в формуле выше. Если размеры выборок составляют менее 10% от размеров генеральных совокупностей, разница является незначительной.

Цель обучения UNC-3.O: Определять, может ли выборочное распределение для разницы выборочных долей быть описано как приблизительно нормальное. [Навык 3.C]

• UNC-3.O.1 Выборочное распределение разницы выборочных долей $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ будет иметь приблизительно нормальное распределение при условии достаточного размера выборок: $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

Цель обучения UNC-3.P: Интерпретировать вероятности и параметры выборочного распределения для разницы пропорций. [Навык 4.B]

• UNC-3.P.1 Параметры выборочного распределения для разницы пропорций следует интерпретировать с использованием соответствующих единиц измерения и в контексте конкретных генеральных совокупностей.

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.Q: Определять параметры выборочного распределения для выборочных средних. [Навык 3.B]

• UNC-3.Q.1 Для количественной переменной при случайной выборке с возвращением из генеральной совокупности со средним значением $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$, выборочное распределение выборочного среднего имеет среднее значение $\mu_{\bar{x}} = \mu$ и стандартное отклонение $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
• UNC-3.Q.2 Если выборка проводится без возвращения, стандартное отклонение выборочного среднего меньше, чем указано в формуле выше. Если размер выборки составляет менее 10% от размера генеральной совокупности, разница является незначительной.

Цель обучения UNC-3.R: Определять, может ли выборочное распределение выборочного среднего быть описано как приблизительно нормальное. [Навык 3.C]

• UNC-3.R.1 Для количественной переменной, если распределение генеральной совокупности можно смоделировать нормальным распределением, выборочное распределение выборочного среднего, $\bar{x}$, также можно смоделировать нормальным распределением.
• UNC-3.R.2 Для количественной переменной, если распределение генеральной совокупности нельзя смоделировать нормальным распределением, выборочное распределение выборочного среднего, $\bar{x}$, можно смоделировать приблизительно нормальным распределением при условии достаточного размера выборки, например, равного или превышающего 30.

Цель обучения UNC-3.S: Интерпретировать вероятности и параметры выборочного распределения для выборочных средних. [Навык 4.B]

• UNC-3.S.1 Вероятности и параметры выборочного распределения для выборочных средних следует интерпретировать с использованием соответствующих единиц измерения и в контексте конкретной генеральной совокупности.

Постоянное понимание (UNC-3): Вероятностное рассуждение позволяет нам предвидеть паттерны в данных.

Цель обучения UNC-3.T: Определять параметры выборочного распределения для разницы выборочных средних. [Навык 3.B]

• UNC-3.T.1 Для количественной переменной при случайной выборке с возвращением из двух независимых генеральных совокупностей со средними значениями $\mu_1$ и $\mu_2$ и стандартными отклонениями $\sigma_1$ и $\sigma_2$, выборочное распределение разницы выборочных средних $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ имеет среднее значение $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ и стандартное отклонение $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
• UNC-3.T.2 Если выборка проводится без возвращения, стандартное отклонение разницы выборочных средних меньше, чем указано в формуле выше. Если размеры выборок составляют менее 10% от размеров генеральных совокупностей, разница является незначительной.

Цель обучения UNC-3.U: Определять, может ли выборочное распределение для разницы выборочных средних быть описано как приблизительно нормальное. [Навык 3.C]

• UNC-3.U.1 Выборочное распределение разности выборочных средних $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ можно аппроксимировать нормальным распределением, если обе генеральные совокупности имеют нормальное распределение.
• UNC-3.U.2 Выборочное распределение разности выборочных средних $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ можно приблизительно аппроксимировать нормальным распределением, если генеральные совокупности не имеют нормального распределения, но размеры обеих выборок больше или равны 30.

Цель обучения UNC-3.V: Интерпретировать вероятности и параметры для выборочного распределения разности выборочных средних. [Навык 4.B]

• UNC-3.V.1 Вероятности и параметры выборочного распределения разности выборочных средних следует интерпретировать с использованием соответствующих единиц измерения и в контексте конкретных генеральных совокупностей.

Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.

Цель обучения VAR-1.H: Определять вопросы, возникающие из вариации форм распределений выборок, взятых из одной и той же генеральной совокупности. [Навык 1.A]

• VAR-1.H.1 Вариация форм распределений данных может быть случайной или неслучайной.

Продолжающееся понимание (UNC-4): Доверительный интервал значений следует использовать для оценки параметров, чтобы учесть неопределенность.

Цель обучения UNC-4.A: Определить подходящий процедуру построения доверительного интервала для генеральной пропорции. [Навык 1.D]

• UNC-4.A.1 Подходящей процедурой построения доверительного интервала для одновыборочной пропорции по одной категориальной переменной является одновыборочный $z$-интервал для пропорции.

Цель обучения UNC-4.B: Проверять условия для расчета доверительных интервалов для генеральной пропорции. [Навык 4.C]

• UNC-4.B.1 Чтобы сделать допущения, необходимые для статистического вывода относительно долей населения, средних значений и угловых коэффициентов, необходимо проверить независимость методов сбора данных и выбор соответствующего сэмплируемого распределения.
• UNC-4.B.2 Чтобы рассчитать доверительный интервал для оценки доли населения $p$, мы должны проверить независимость и то, что сэмплируемое распределение приблизительно нормально.
  • a. Для проверки независимости:
    • i. Данные следует собирать с использованием случайной выборки или рандомизированного эксперимента.
    • ii. При выборке без возвращения проверьте, что $n \leq 10\%N$, где $N$ — это размер генеральной совокупности.
  • b. Для проверки того, что выборочное распределение $\hat{p}$ приближенно нормально (форма):
    • i. Для категориальных переменных проверьте, что как количество успехов, $n\hat{p}$, так и количество неудач, $n(1-\hat{p})$, составляют не менее 10, чтобы размер выборки был достаточным для поддержания предположения о нормальности.

Цель обучения UNC-4.C: Определить погрешность выборки для заданного размера выборки и оценку размера выборки, которая приведет к заданной погрешности выборки для доли населения. [Навык 3.D]

• UNC-4.C.1 На основе выборочных данных стандартная ошибка статистики является оценкой стандартного отклонения для этой статистики. Стандартная ошибка $\hat{p}$ равна $SE_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.
• UNC-4.C.2 Погрешность выборки показывает, насколько значение выборочной статистики может отличаться от значения соответствующего параметра генеральной совокупности.
• UNC-4.C.3 Для категориальных переменных погрешность выборки равна критическому значению ($z^*$), умноженному на стандартную ошибку (SE) соответствующей статистики, которая равна $z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ для одной выборочной доли.
• UNC-4.C.4 Формулу погрешности выборки можно преобразовать для решения относительно $n$ — минимального размера выборки, необходимого для достижения заданной погрешности выборки. Для этой цели используйте предположение для $\hat{p}$ или примените $\hat{p} = 0.5$, чтобы найти верхнюю границу размера выборки, которая приведет к заданной погрешности выборки.

Цель обучения UNC-4.D: Рассчитать подходящий доверительный интервал для доли населения. [Навык 3.D]

• UNC-4.D.1 В целом точечную оценку можно построить как: точечная оценка ± (погрешность выборки). Для одной выборочной доли точечная оценка имеет вид $\hat{p} \pm z^* \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.
  • Уточняющее замечание: Формулы для точечных оценок явно не приводятся в Листе формул AP Statistics, предоставляемом во время экзамена AP Statistics. Однако эти формулы не нужно заучивать, так как их можно вывести на основе общей формулы тестовой статистики и соответствующих формул стандартной ошибки, приведенных в листе формул.
• UNC-4.D.2 Критические значения представляют собой границы, охватывающие центральную часть C% стандартного нормального распределения, где C% — это приблизительный уровень доверия для доли.

Цель обучения UNC-4.E: Рассчитать точечную оценку на основе доверительного интервала для доли населения. [Навык 3.D]

• UNC-4.E.1 Доверительные интервалы для долей населения могут использоваться для расчета точечных оценок с указанными единицами измерения.

Продолжающееся понимание (UNC-4): Доверительный интервал значений следует использовать для оценки параметров, чтобы учесть неопределенность.

Цель обучения UNC-4.F: Интерпретировать доверительный интервал для доли населения. [Навык 4.B]

• UNC-4.F.1 Доверительный интервал для доли населения либо содержит долю населения, либо нет, поскольку каждый интервал основан на данных случайной выборки, которые варьируются от выборки к выборке.
• UNC-4.F.2 Мы уверены на C%, что доверительный интервал для доли населения охватывает долю населения.
• UNC-4.F.3 При многократном повторении случайной выборки с одинаковым размером выборки приблизительно C% созданных доверительных интервалов будут охватывать долю населения.
• UNC-4.F.4 Интерпретация доверительного интервала для одной выборочной доли должна включать ссылку на взятую выборку и детали о представляемой ею генеральной совокупности.
  • Иллюстративные примеры для UNC-4.F.4: Для интерпретации 99%-го доверительного интервала (0,268; 0,292), основанного на доле учеников двенадцатого класса nationally репрезентативной выборки, ответивших правильно на определенный вопрос с множественным выбором: «Мы уверены на 99 процентов, что интервал от 0,268 до 0,292 содержит долю населения всех учеников двенадцатого класса США, которые ответили бы на этот вопрос правильно» (FRQ 2011, вопрос 6(a)).

Цель обучения UNC-4.G: Обосновать утверждение на основе доверительного интервала для доли населения. [Навык 4.D]

• UNC-4.G.1 Доверительный интервал для доли населения предоставляет диапазон значений, который может служить достаточным доказательством для поддержки определенного утверждения в контексте.

Цель обучения UNC-4.H: Выявить взаимосвязи между размером выборки, шириной доверительного интервала, уровнем доверия и погрешностью выборки для доли населения. [Навык 4.A]

• UNC-4.H.1 При сохранении остальных условий неизменными ширина доверительного интервала для доли населения имеет тенденцию уменьшаться по мере увеличения размера выборки. Для доли населения ширина интервала пропорциональна $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
• UNC-4.H.2 Для данной выборки ширина доверительного интервала для доли населения увеличивается по мере повышения уровня доверия.
• UNC-4.H.3 Ширина доверительного интервала для доли населения точно вдвое больше погрешности выборки.

Устойчивое понимание (VAR-6): Нормальное распределение может использоваться для моделирования вариации.

Цель обучения VAR-6.D: Определить нулевую и альтернативную гипотезы для доли населения. [Навык 1.F]

• VAR-6.D.1 Нулевая гипотеза — это ситуация, которая считается верной, если нет доказательств обратного, а альтернативная гипотеза — это ситуация, для которой собираются доказательства.
• VAR-6.D.2 Для гипотез о параметрах нулевая гипотеза содержит ссылку на равенство (=, ≥ или ≤), а альтернативная гипотеза содержит строгое неравенство (<, >, или ≠). Тип неравенства в альтернативной гипотезе определяется интересующим вопросом. Альтернативные гипотезы с < or > называются односторонними, а альтернативные гипотезы с ≠ — двусторонними. Хотя нулевая гипотеза для одностороннего теста может содержать символ неравенства, она все равно проверяется на границе равенства.
• VAR-6.D.3 Нулевая гипотеза для доли генеральной совокупности: $H_0 : p = p_0$, где $p_0$ — предполагаемое значение нулевой гипотезы для доли генеральной совокупности.
• VAR-6.D.4 Односторонняя альтернативная гипотеза для доли может быть либо $H_a : p < p_0$, либо $H_a : p > p_0$. Двусторонняя альтернативная гипотеза имеет вид $H_a : p_1 \neq p_2$.
• VAR-6.D.5 Для одновыборочного z-теста ($z$) для доли генеральной совокупности нулевая гипотеза указывает значение для доли генеральной совокупности, обычно это значение, указывающее на отсутствие различий или эффекта.

Учебная цель VAR-6.E: Определить подходящий метод тестирования для доли генеральной совокупности. [Навык 1.E]

• VAR-6.E.1 Для одной категориальной переменной подходящим методом тестирования для доли генеральной совокупности является одновыборочный z-тест ($z$) для доли генеральной совокупности.

Учебная цель VAR-6.F: Проверить условия для проведения статистических выводов при тестировании доли генеральной совокупности. [Навык 4.C]

• VAR-6.F.1 Чтобы проводить статистические выводы при тестировании доли генеральной совокупности, необходимо проверить независимость и то, что выборочное распределение приблизительно нормально:
  • a. Для проверки независимости:
    • i. Данные следует собирать с использованием случайной выборки или рандомизированного эксперимента.
    • ii. При выборке без возвращения проверьте, что $n \leq 10\%N$.
  • b. Для проверки того, что выборочное распределение $\hat{p}$ приближенно нормально (форма):
    • i. Предполагая, что $H_0$ верно $(p = p_0)$, убедитесь, что как количество успехов, $np_0$, так и количество неудач, $n(1-p_0)$, не менее 10, чтобы размер выборки был достаточно велик для предположения нормальности.

Устойчивое понимание (VAR-6): Нормальное распределение может использоваться для моделирования вариации.

Цель обучения VAR-6.G: Вычислить соответствующую тестовую статистику и p-значение ($p$) для доли генеральной совокупности. [Навык 3.E]

• VAR-6.G.1 Распределение тестовой статистики при условии истинности нулевой гипотезы (нулевое распределение) может быть либо распределением рандомизации, либо теоретическим распределением ($z$), когда предполагается истинность вероятностной модели.
• VAR-6.G.2 При использовании z-теста ($z$) стандартизированная тестовая статистика может быть записана как: $\text{test statistic} = \dfrac{\text{sample statistic} - \text{null value of the parameter}}{\text{standard deviation of the statistic}}$. Это называется z-статистикой ($z$) для долей.
• VAR-6.G.3 Тестовая статистика для доли генеральной совокупности: $z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$.
  • Уточнение: Формулы для тестовых статистик не приводятся явно в Таблице формул AP Statistics, прилагаемой к экзамену по статистике AP. Однако эти формулы не нужно учить наизусть, так как их можно вывести, используя общую формулу тестовой статистики и соответствующие формулы стандартных ошибок, приведенные в таблице формул.
• VAR-6.G.4 p-значение ($p$) — это вероятность получения тестовой статистики, такой же экстремальной или более экстремальной, чем наблюдаемая тестовая статистика, при предположении истинности нулевой гипотезы и вероятностной модели. Уровень значимости может быть задан или определен исследователем.

Продолжающееся понимание (DAT-3): Тестирование значимости позволяет нам принимать решения относительно гипотез в конкретном контексте.

Цель обучения DAT-3.A: Интерпретировать p-значение ($p$) значимости теста для доли генеральной совокупности. [Навык 4.B]

• DAT-3.A.1 p-значение ($p$) — это доля значений распределения нулевой гипотезы, которые являются такими же экстремальными или более экстремальными, чем наблюдаемое значение тестовой статистики. Это:
  • a. Доля значений, равных или больших наблюдаемого значения тестовой статистики, если альтернативная гипотеза >.
  • b. Доля значений, равных или меньших наблюдаемого значения тестовой статистики, если альтернативная гипотеза <.
  • c. Доля значений, меньших или равных отрицательному значению абсолютной величины тестовой статистики, плюс доля значений, больших или равных абсолютной величине тестовой статистики, если альтернативная гипотеза ≠.
• DAT-3.A.2 Интерпретация p-значения ($p$) значимости теста для одновыборочной доли должна учитывать, что это p-значение ($p$) вычисляется при предположении истинности вероятностной модели и нулевой гипотезы, т. е. при предположении, что истинная доля генеральной совокупности равна конкретному значению, указанному в нулевой гипотезе.

Принцип устойчивого понимания (UNC-5): Вероятности ошибок I и II рода влияют на выводы.

Обучающая цель UNC-5.A: Определять ошибки I и II рода. [Навык 1.B]

• UNC-5.A.1 Ошибка I рода возникает, когда нулевая гипотеза верна, но отвергается (ложноположительный результат).
• UNC-5.A.2 Ошибка II рода возникает, когда нулевая гипотеза неверна, но не отвергается (ложноотрицательный результат).
  • Таблица ошибок: Истинное значение параметра генеральной совокупности — по горизонтали ($H_0$ верно; $H_a$ верно) и Решение — по вертикали (Отвергнуть $H_0$; Не отвергать $H_0$): Отвергнуть $H_0$, когда $H_0$ верно = Ошибка I рода; Отвергнуть $H_0$, когда $H_a$ верно = Правильное решение; Не отвергать $H_0$, когда $H_0$ верно = Правильное решение; Не отвергать $H_0$, когда $H_a$ верно = Ошибка II рода.

Обучающая цель UNC-5.B: Вычислять вероятность ошибки I и II рода. [Навык 3.A]

• UNC-5.B.1 Уровень значимости, $\alpha$, является вероятностью совершения ошибки I рода, если нулевая гипотеза верна.
• UNC-5.B.2 Мощность теста — это вероятность того, что тест правильно отвергнет неверную нулевую гипотезу.
• UNC-5.B.3 Вероятность совершения ошибки II рода = $= 1 - power$.

Обучающая цель UNC-5.C: Определять факторы, влияющие на вероятность ошибок при тестировании значимости. [Навык 4.A]

• UNC-5.C.1 Вероятность ошибки II рода уменьшается, когда происходит любое из следующего, при условии, что остальные остаются неизменными:
  • i. Увеличивается размер(ы) выборки.
  • ii. Увеличивается уровень значимости ($\alpha$) теста.
  • iii. Уменьшается стандартная ошибка.
  • iv. Истинное значение параметра находится дальше от нулевого.

Обучающая цель UNC-5.D: Интерпретировать ошибки I и II рода. [Навык 4.B]

• UNC-5.D.1 То, какая ошибка — I или II рода — более серьезна, зависит от конкретной ситуации.
• UNC-5.D.2 Поскольку уровень значимости, $\alpha$, является вероятностью ошибки I рода, последствия ошибки I рода влияют на решения относительно уровня значимости.

Устойчивое понимание (VAR-6): Нормальное распределение может использоваться для моделирования вариации.

Цель обучения VAR-6.H: Определять нулевую и альтернативную гипотезы для разности двух генеральных пропорций. [Навык 1.F]

• VAR-6.H.1 Для двухвыборочного теста на разность двух пропорций нулевая гипотеза указывает значение $0$ для разности генеральных пропорций, что означает отсутствие различий или эффекта.
• VAR-6.H.2 Нулевая гипотеза для разности пропорций: $H_0 : p_1 = p_2$ или $H_0 : p_1 - p_2 = 0$.
• VAR-6.H.3 Односторонняя альтернативная гипотеза для разности пропорций: $H_a : p_1 < p_2$ или, $H_a : p_1 > p_2$. Двусторонняя альтернативная гипотеза для разности пропорций: $H_a : p_1 \neq p_2$.

Цель обучения VAR-6.I: Определить подходящий метод тестирования для разности двух генеральных пропорций. [Навык 1.E]

• VAR-6.I.1 Для одной категориальной переменной подходящим методом тестирования для разности двух генеральных пропорций является двухвыборочный $z$-тест для разности двух генеральных пропорций.

Цель обучения VAR-6.J: Проверять условия для проведения статистических выводов при тестировании разности двух генеральных пропорций. [Навык 4.C]

• VAR-6.J.1 Чтобы проводить статистические выводы при тестировании разности между генеральными пропорциями, необходимо проверить независимость и近似 нормальность выборочного распределения:
  • a. Для проверки независимости:
    • i. Данные должны собираться с помощью двух независимых случайных выборок или рандомизированного эксперимента.
    • ii. При выборке без возвращения проверьте, что $n_1 \leq 10\%N_1$ и $n_2 \leq 10\%N_2$.
  • b. Для проверки того, что выборочное распределение $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ приближенно нормально (форма):
    • i. Для объединенной выборки определите объединенную (или пуловую) пропорцию, $\hat{p}_c = \dfrac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2}$. Предположив, что $H_0$ истинна, проверьте, что $(p_1 - p_2 = 0$ или $p_1 = p_2)$, а также что $n_1\hat{p}_c$, $n_1\left(1-\hat{p}_c\right)$, $n_2\hat{p}_c$ и $n_2\left(1-\hat{p}_c\right)$ все больше или равны некоторому заранее установленному значению, обычно 5 или 10.

Вечная идея (VAR-1): Поскольку вариация может быть случайной или нет, выводы остаются неопределенными.

Цель обучения VAR-1.I: Определять вопросы, возникающие из-за вероятности ошибок в статистических выводах. [Навык 1.A]

• VAR-1.I.1 Случайная вариативность может приводить к ошибкам в статистических выводах.

Долговременное понимание (VAR-7): Распределение $t$ может использоваться для моделирования вариативности.

Цель обучения VAR-7.A: Описывать распределения $t$. [Навык 3.C]

• VAR-7.A.1 Когда $s$ используется вместо $\sigma$ для вычисления тестовой статистики, соответствующее распределение, известное как распределение $t$, отличается от нормального распределения формой: большая часть площади сосредоточена в хвостах кривой плотности вероятности, чем в нормальном распределении.
• VAR-7.A.2 По мере увеличения числа степеней свободы площадь в хвостах распределения $t$ уменьшается.

Продолжающееся понимание (UNC-4): Доверительный интервал значений следует использовать для оценки параметров, чтобы учесть неопределенность.

Цель обучения UNC-4.O: Определять подходящую процедуру построения доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности, включая среднюю разницу между значениями в спаренных выборках. [Навык 1.D]

• UNC-4.O.1 Поскольку σ ($\sigma$) обычно неизвестно для распределений количественных переменных, подходящей процедурой доверительного интервала для оценки среднего значения генеральной совокупности одной количественной переменной для одного выборочного набора является одновыборочный t-интервал ($t$) для среднего.
• UNC-4.O.2 Для одной количественной переменной со стандартным отклонением генеральной совокупности $X$, имеющей нормальное распределение, распределение тестовой статистики $t = \dfrac{(\overline{x} - \mu)}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ является распределением $t$ с $n-1$ степенями свободы.
• UNC-4.O.3 Спаренные выборки можно рассматривать как одну выборку пар. После нахождения разниц между парами значений вывод о доверительных интервалах проводится так же, как для среднего значения генеральной совокупности.

Цель обучения UNC-4.P: Проверять условия для расчета доверительных интервалов для среднего значения генеральной совокупности, включая среднюю разницу между значениями в спаренных выборках. [Навык 4.C]

• UNC-4.P.1 Чтобы рассчитать доверительные интервалы для оценки среднего значения генеральной совокупности, необходимо проверить независимость и то, что выборочное распределение приблизительно нормально:
  • a. Для проверки независимости:
    • i. Данные следует собирать с использованием случайной выборки или рандомизированного эксперимента.
    • ii. При выборке без возвращения проверьте, что $n \leq 10\%N$, где $N$ — это размер генеральной совокупности.
  • b. Для проверки того, что выборочное распределение $\overline{x}$ приближенно нормально (форма):
    • i. Если наблюдаемое распределение скошено, размер выборки $n$ должен быть больше 30.
    • ii. Если размер выборки меньше 30, распределение выборочных данных должно быть свободным от сильной асимметрии и выбросов.

Цель обучения UNC-4.Q: Определить маржу ошибки для заданного размера выборки для одновыборочного t-интервала ($t$). [Навык 3.D]

• UNC-4.Q.1 Критическое значение (t*, $t^*$) со степенью свободы (df, $n-1$) можно найти с помощью таблицы или компьютерного вывода.
• UNC-4.Q.2 Стандартная ошибка выборочного среднего определяется формулой $SE = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$, где $s$ — выборочное стандартное отклонение.
• UNC-4.Q.3 Для одновыборочного t-интервала ($t$) для среднего маржа ошибки равна произведению критического значения (t*, $t^*$) на стандартную ошибку (SE, $SE$), что равно $t^*\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)$.

Цель обучения UNC-4.R: Рассчитывать подходящий доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности, включая среднюю разницу между значениями в спаренных выборках. [Навык 3.D]

• UNC-4.R.1 Точечной оценкой для среднего значения генеральной совокупности является выборочное среднее $\overline{x}$.
• UNC-4.R.2 Для среднего значения генеральной совокупности по одной выборке с неизвестным стандартным отклонением генеральной совокупности доверительный интервал имеет вид $\overline{x} \pm t^* \dfrac{s}{\sqrt{n}}$.