Oscillations · ⁨Колебания⁩

AP Physics 1 · ⁨AP Физика 1⁩ · Topic 7 · ⁨Тема 7⁩

View Slides · ⁨Просмотр слайдов⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

Video lesson for this topic · ⁨Видеоурок по этой теме⁩ Open the video page · ⁨Открыть страницу видео⁩

7.1

Defining Simple Harmonic Motion · ⁨Определение гармонических колебаний⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Learning Objective 7.1.A: Describe simple harmonic motion.

7.1.A.1 Simple harmonic motion is a special case of periodic motion.
7.1.A.2 SHM results when the magnitude of the restoring force exerted on an object is proportional to that object's displacement from its equilibrium position.
- Equation: $ma_x = -k\Delta x$
- 7.1.A.2.i A restoring force is a force that is exerted in a direction opposite to the object's displacement from an equilibrium position.
- 7.1.A.2.ii An equilibrium position is a location at which the net force exerted on an object or system is zero.
- 7.1.A.2.iii The motion of a pendulum with a small angular displacement can be modeled as simple harmonic motion because the restoring torque is proportional to the angular displacement.

Русский

Цель обучения 7.1.A: Описать простое гармоническое движение.

7.1.A.1 Простое гармоническое движение — это частный случай периодического движения.
7.1.A.2 ПГД возникает, когда модуль возвращающей силы, действующей на тело, пропорционален смещению этого тела от положения равновесия.
- Уравнение: $ma_x = -k\Delta x$
- 7.1.A.2.i Возвращающая сила — это сила, которая действует в направлении, противоположном смещению тела от положения равновесия.
- 7.1.A.2.ii Положение равновесия — это место, в котором равнодействующая сила, действующая на тело или систему, равна нулю.
- 7.1.A.2.iii Движение маятника с малым угловым смещением можно моделировать как простое гармоническое движение, поскольку возвращающий момент пропорционален угловому смещению.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Simple harmonic motion

Simple harmonic motion 简谐运动 (SHM) is a back-and-forth oscillation 振动 caused by a restoring force 回复力 that is proportional to the displacement from equilibrium and always points back toward it: $F=-kx$. A mass on a spring and (for small angles) a pendulum are the standard examples. Because the force grows with displacement, the motion is smooth and repeating, tracing a sine curve in time.

The test for SHM is exactly this: acceleration proportional to displacement and opposite in direction, $a=-\dfrac{k}{m}x$. A pendulum only obeys it for small swings, where $\sin\theta\approx\theta$; large swings are not quite SHM.

Русский

Гармонические колебания

Простое гармоническое колебание (ПГК) — это возвратно-поступательная колебательная движения, вызванное возвращающей силой, которая пропорциональна смещению из положения равновесия и всегда направлена к нему: $F=-kx$. Масса на пружине и (для малых углов) маятник являются стандартными примерами. Поскольку сила возрастает с увеличением смещения, движение является плавным и повторяющимся, описывая синусоиду во времени.

В ПГК ускорение всегда направлено обратно к положению равновесия, противоположно смещению

Критерием для ПГК является именно это: ускорение пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону, $a=-\dfrac{k}{m}x$. Маятник подчиняется этому условию только при малых отклонениях, когда $\sin\theta\approx\theta$; большие отклонения не совсем соответствуют ПГК.

Пружина под нагрузкой: закон Гука F = −kx является возвращающей силой, вызывающей гармонические колебания — Пружина под нагрузкой: закон Гука F = −kx является возвращающей силой, порождающей ПГК

7.2

Frequency and Period of SHM · ⁨Частота и период ПГК⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Learning Objective 7.2.A: Describe the frequency and period of an object exhibiting SHM.

7.2.A.1 The period of SHM is related to the frequency $f$ of the object's motion by the following equation:
- Equation: $T = \dfrac{1}{f}$
- 7.2.A.1.i The period of an object–ideal-spring oscillator is given by the equation $T_s = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.
- 7.2.A.1.ii The period of a simple pendulum displaced by a small angle is given by the equation $T_p = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$.

Русский

Цель обучения 7.2.A: Описать частоту и период объекта, совершающего ПГД.

7.2.A.1 Период ПГД связан с частотой $f$ движения объекта следующим уравнением:
- Уравнение: $T = \dfrac{1}{f}$
- 7.2.A.1.i Период колебаний груз-идеальная пружина задается уравнением $T_s = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.
- 7.2.A.1.ii Период простых колебаний маятника, отклоненного на малый угол, задается уравнением $T_p = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The period 周期 $T$ is the time for one full cycle.
The frequency 频率 $f=\dfrac{1}{T}$ is cycles per second (hertz).

For SHM these depend only on the system, not on the amplitude:

$$T_{\text{spring}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\qquad T_{\text{pendulum}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$$

So a stiffer spring or smaller mass oscillates faster; a longer pendulum swings slower.

Worked example. A $0.25\ \text{kg}$ mass hangs on a spring of stiffness $k=100\ \text{N/m}$. Its period is

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0.25}{100}}=0.31\ \text{s},\qquad f=\frac{1}{T}=3.2\ \text{Hz}.$$

Worked example. A pendulum clock ticks with a period of exactly $2.0\ \text{s}$. How long is it? Rearranging $T=2\pi\sqrt{L/g}$,

$$L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2=9.8\times\left(\frac{2.0}{2\pi}\right)^2=0.99\ \text{m}.$$

Notice the amplitude never entered – a wide or narrow swing keeps the same time, which is what makes pendulums good clocks.

Русский

Период $T$ — это время одного полного цикла.
Частота $f=\dfrac{1}{T}$ измеряется в циклах в секунду (герцах).

Для ПГК они зависят только от системы, а не от амплитуды:

$$T_{\text{spring}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\qquad T_{\text{pendulum}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$$

Поэтому более жесткая пружина или меньшая масса колеблются быстрее; более длинный маятник качается медленнее.

Разбор примера. Масса $0.25\ \text{kg}$ подвешена на пружине жесткостью $k=100\ \text{N/m}$. Ее период равен

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0.25}{100}}=0.31\ \text{s},\qquad f=\frac{1}{T}=3.2\ \text{Hz}.$$

Разобранный пример. Маятниковые часы отсчитывают период ровно в $2.0\ \text{s}$. Какова длина маятника? Преобразуя формулу $T=2\pi\sqrt{L/g}$,

$$L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2=9.8\times\left(\frac{2.0}{2\pi}\right)^2=0.99\ \text{m}.$$

Заметьте, что амплитуда ни разу не вошла в расчеты — широкое или узкое качание занимает одинаковое время, благодаря чему маятники подходят для часов.

Набор камертонов разных размеров — Камертоны: более длинная и тяжелая камертон вибрирует медленнее, давая более низкую частоту

Explore · ⁨Исследовать⁩

Time a pendulum's swing · ⁨Замерьте период маятника⁩

A pendulum's period depends on its length and gravity, not its mass or (small) amplitude: $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Lengthen it and each swing takes longer. · ⁨Период маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения, но не от массы или (малой) амплитуды: $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Увеличьте длину, и каждый взмах займет больше времени.⁩

7.3

Representing and Analyzing SHM · ⁨Представление и анализ ПГК⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Learning Objective 7.3.A: Describe the displacement, velocity, and acceleration of an object exhibiting SHM.

7.3.A.1 For an object exhibiting SHM, the displacement of that object measured from its equilibrium position can be represented by the equations $x = A\cos(2\pi ft)$ or $x = A\sin(2\pi ft)$.
- 7.3.A.1.i Minima, maxima, and zeros of displacement, velocity, and acceleration are features of harmonic motion.
- 7.3.A.1.ii Recognizing the positions or times at which the displacement, velocity, and acceleration for SHM have extrema or zeros can help in qualitatively describing the behavior of the motion.
7.3.A.2 Changing the amplitude of a system exhibiting SHM will not change the period of that system.
7.3.A.3 Properties of SHM can be determined and analyzed using graphical representations.

Русский

Цель обучения 7.3.A: Описать смещение, скорость и ускорение объекта, совершающего ПГД.

7.3.A.1 Для объекта, совершающего ПГД, его смещение, измеренное от положения равновесия, может быть представлено уравнениями $x = A\cos(2\pi ft)$ или $x = A\sin(2\pi ft)$.
- 7.3.A.1.i Минимумы, максимумы и нули смещения, скорости и ускорения являются характеристиками гармонического движения.
- 7.3.A.1.ii Распознавание положений или моментов времени, когда смещение, скорость и ускорение для ПГД имеют экстремумы или равны нулю, помогает качественно описать поведение движения.
7.3.A.2 Изменение амплитуды системы, совершающей ПГД, не изменит период этой системы.
7.3.A.3 Свойства ПГД можно определить и проанализировать с помощью графических представлений.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The displacement varies sinusoidally: $x(t)=A\cos(\omega t)$ (or sine), where $A$ is the amplitude 振幅 (maximum displacement) and $\omega=2\pi f$ is the angular frequency 角频率. Reading the motion:

At the extremes ($x=\pm A$): displacement and restoring force are maximum, so acceleration is maximum, but velocity is zero.
At equilibrium 平衡 ($x=0$): force and acceleration are zero, but speed is maximum.

Velocity and acceleration are also sinusoidal, shifted in phase 相位 from the displacement – velocity leads displacement by a quarter cycle, and acceleration is exactly opposite to displacement.

Read the figure as a story: where $x$ is largest (the turning point), $v$ has just fallen to zero and $a$ is at its most negative, hauling the mass back; a quarter-cycle later the mass races through the middle at top speed with zero acceleration.

Русский

Смещение изменяется по синусоидальному закону: $x(t)=A\cos(\omega t)$ (или синуса), где $A$ — это амплитуда (максимальное смещение), а $\omega=2\pi f$ — угловая частота. Чтение движения:

Смещение изменяется синусоидально во времени при простых гармонических колебаниях — Перемещение изменяется синусоидально со временем при гармонических колебаниях

В краевых точках ($x=\pm A$): смещение и возвращающая сила максимальны, поэтому ускорение максимально, но скорость равна нулю.
В положении равновесия ($x=0$): сила и ускорение равны нулю, но скорость максимальна.

Скорость и ускорение также изменяются по синусоиде, но со сдвигом фазы относительно смещения — скорость опережает смещение на четверть периода, а ускорение точно противоположно смещению.

Перемещение, скорость и ускорение при гармонических колебаниях; каждый параметр сдвигается на четверть периода — Смещение, скорость и ускорение в ПГК, каждое сдвинуто на четверть периода

Читайте рисунок как историю: там, где $x$ максимально (точка поворота), $v$ только что упало до нуля, а $a$ находится в своем самом отрицательном значении, возвращая массу; через четверть периода масса пролетает центр с максимальной скоростью и нулевым ускорением.

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
Simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/	Простое гармоническое движение
oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/	колебания
restoring force/rɪˈstɔːrɪŋ fɔːs/	возвращающая сила
period/ˈpɪərɪəd/	периода
frequency/ˈfriːkwənsi/	частоту
amplitude/ˈæmplɪtjuːd/	точке амплитуды
angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/	угловая частота
phase/feɪz/	фазовое
equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	равновесные

7.4

Energy of Simple Harmonic Oscillators · ⁨Энергия простых гармонических осцилляторов⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Learning Objective 7.4.A: Describe the mechanical energy of a system exhibiting SHM.

7.4.A.1 The total energy of a system exhibiting SHM is the sum of the system's kinetic and potential energies.
- Equation: $E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 Conservation of energy indicates that the total energy of a system exhibiting SHM is constant.
7.4.A.3 The kinetic energy of a system exhibiting SHM is at a maximum when the system's potential energy is at a minimum.
7.4.A.4 The potential energy of a system exhibiting SHM is at a maximum when the system's kinetic energy is at a minimum.
- 7.4.A.4.i The minimum kinetic energy of a system exhibiting SHM is zero.
- 7.4.A.4.ii Changing the amplitude of a system exhibiting SHM will change the maximum potential energy of the system and, therefore, the total energy of the system.
- Relevant equation for a spring–object system: $E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$

Русский

Цель обучения 7.4.A: Описать механическую энергию системы, совершающей ПГД.

7.4.A.1 Полная энергия системы, совершающей ПГД, равна сумме кинетической и потенциальной энергий системы.
- Уравнение: $E_{\text{total}} = U + K$
7.4.A.2 Закон сохранения энергии указывает на то, что полная энергия системы, совершающей ПГД, остается постоянной.
7.4.A.3 Кинетическая энергия системы, совершающей ПГД, максимальна, когда потенциальная энергия системы минимальна.
7.4.A.4 Потенциальная энергия системы, совершающей МП, максимальна, когда кинетическая энергия этой системы минимальна.
- 7.4.A.4.i Минимальная кинетическая энергия системы, совершающей МП, равна нулю.
- 7.4.A.4.ii Изменение амплитуды системы, совершающей МП, изменит максимальную потенциальную энергию системы и, следовательно, полную энергию системы.
- Соответствующее уравнение для системы «пружина–тело»: $E_{\text{total}} = \dfrac{1}{2}kA^2$

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Energy conservation: KE ⇄ PE

Energy sloshes between kinetic and potential while the total stays constant (no friction):

$$E=\tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}kx^2+\tfrac{1}{2}mv^2.$$

At the extremes it is all potential; at equilibrium it is all kinetic (maximum speed). Because $E\propto A^2$, doubling the amplitude quadruples the energy.

Worked example. A $0.50\ \text{kg}$ mass on a spring of stiffness $k=200\ \text{N/m}$ oscillates with amplitude $A=0.10\ \text{m}$. Find its maximum speed. All the energy is kinetic at the equilibrium point, so $\tfrac12 kA^2=\tfrac12 mv_{\max}^2$:

$$v_{\max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}=0.10\times\sqrt{\frac{200}{0.50}}=0.10\times20=2.0\ \text{m/s}.$$

The energy method is faster than tracking the sine functions when you only need the greatest speed.

Русский

Сохранение энергии: KE ⇄ PE

Энергия перетекает между кинетической и потенциальной, пока полная остается постоянной (нет трения):

$$E=\tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}kx^2+\tfrac{1}{2}mv^2.$$

В крайних точках она полностью потенциальная; в положении равновесия она полностью кинетическая (максимальная скорость). Поскольку $E\propto A^2$, удвоение амплитуды увеличивает энергию в четыре раза.

Обмен кинетической и потенциальной энергией в течение цикла при постоянной полной энергии — Кинетическая и потенциальная энергия обмениваются друг с другом в течение одного цикла, при этом полная энергия остается постоянной

Разобранный пример. Масса $0.50\ \text{kg}$ на пружине жесткостью $k=200\ \text{N/m}$ совершает колебания с амплитудой $A=0.10\ \text{m}$. Найдите ее максимальную скорость. Вся энергия является кинетической в точке равновесия, поэтому $\tfrac12 kA^2=\tfrac12 mv_{\max}^2$:

$$v_{\max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}=0.10\times\sqrt{\frac{200}{0.50}}=0.10\times20=2.0\ \text{m/s}.$$

Метод энергии работает быстрее, чем отслеживание синусоидальных функций, если вам нужна только максимальная скорость.

Explore · ⁨Исследовать⁩

Trade kinetic and potential energy in SHM · ⁨Обмен кинетической и потенциальной энергией при МП⁩

In simple harmonic motion, energy sloshes between kinetic (fastest at the centre) and potential (greatest at the extremes) while the total stays constant. · ⁨При простом гармоническом движении энергия колеблется между кинетической (максимальной в центре) и потенциальной (наибольшей на краях), при этом общая энергия остается постоянной.⁩

7.4

Exam tips · ⁨Советы для экзамена⁩

English

Test for SHM: the acceleration must be proportional to the displacement and directed back toward the middle ($a=-\tfrac{k}{m}x$).
The period does not depend on amplitude — use $T=2\pi\sqrt{m/k}$ (spring) or $T=2\pi\sqrt{L/g}$ (pendulum, small angles).
Speed is maximum at the middle (all kinetic) and zero at the extremes (all potential); acceleration is largest at the extremes.
Use energy ($\tfrac12 kA^2 = \tfrac12 kx^2 + \tfrac12 mv^2$) to find the maximum speed quickly: $v_{\max}=A\sqrt{k/m}$.
Total energy $\propto A^2$, so doubling the amplitude quadruples the energy.

Русский

Критерий ПГК: ускорение должно быть пропорционально смещению и направлено обратно к центру ($a=-\tfrac{k}{m}x$).
Период не зависит от амплитуды — используйте $T=2\pi\sqrt{m/k}$ (пружина) или $T=2\pi\sqrt{L/g}$ (маятник, малые углы).
Скорость максимальна в центре (вся кинетическая) и равна нулю в краях (вся потенциальная); ускорение наибольше в крайних точках.
Используйте энергию ($\tfrac12 kA^2 = \tfrac12 kx^2 + \tfrac12 mv^2$), чтобы быстро найти максимальную скорость: $v_{\max}=A\sqrt{k/m}$.
Полная энергия $\propto A^2$, поэтому удвоение амплитуды увеличивает энергию в четыре раза.

Interactive lessons on this topic · ⁨Интерактивные уроки по этой теме⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.⁩

Past Papers · ⁨Архив экзаменационных работ⁩

More topics in AP Physics 1 · ⁨AP Физика 1⁩ · ⁨Больше тем в AP Physics 1 · ⁨AP Физика 1⁩⁩