Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions · ⁨Параметрические уравнения, полярные координаты и векторно-значные функции⁩

AP Calculus BC · Topic 9 · ⁨Тема 9⁩

View Slides · ⁨Просмотр слайдов⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

Video lesson for this topic · ⁨Видеоурок по этой теме⁩ Open the video page · ⁨Открыть страницу видео⁩

9.1

Defining and Differentiating Parametric Equations · ⁨Определение и дифференцирование параметрических уравнений⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to parametric functions. BC ONLY
CHA-3.G.2 For a curve defined parametrically, the value of $\dfrac{dy}{dx}$ at a point on the curve is the slope of the line tangent to the curve at that point. $\dfrac{dy}{dx}$, the slope of the line tangent to a curve defined using parametric equations, can be determined by dividing $\dfrac{dy}{dt}$ by $\dfrac{dx}{dt}$, provided $\dfrac{dx}{dt}$ does not equal zero. BC ONLY

Русский

Долгосрочное понимание (CHA-3): Производные позволяют решать реальные задачи, связанные со скоростями изменения.

Цель обучения CHA-3.G: Вычислять производные параметрических функций. Только BC

CHA-3.G.1 Методы вычисления производных вещественнозначных функций могут быть расширены на параметрические функции. Только BC
CHA-3.G.2 Для кривой, заданной параметрически, значение $\dfrac{dy}{dx}$ в точке на кривой является угловым коэффициентом касательной к этой кривой в данной точке. $\dfrac{dy}{dx}$, угловой коэффициент касательной к кривой, заданной параметрическими уравнениями, можно определить, разделив $\dfrac{dy}{dt}$ на $\dfrac{dx}{dt}$, при условии, что $\dfrac{dx}{dt}$ не равно нулю. Только BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Parametric equations 参数方程 give $x$ and $y$ each as functions of a parameter $t$ (often time): $x=x(t)$, $y=y(t)$. They trace a curve that need not be a function of $x$. The slope of the curve is found with the chain rule:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Worked example. For $x=t^2$, $y=t^3-t$, find the slope at $t=2$. Here $\dfrac{dx}{dt}=2t$ and $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, so $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; at $t=2$ this is $\dfrac{11}{4}$.

Русский

Международная космическая станция на орбите: параметрические уравнения описывают положение как функцию времени

Параметрические уравнения задают $x$ и $y$ как функции параметра $t$ (часто времени): $x=x(t)$, $y=y(t)$. Они описывают кривую, которая не обязательно является функцией от $x$. Угловой коэффициент кривой находится с помощью правила дифференцирования сложной функции:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Разобранный пример. Для $x=t^2$, $y=t^3-t$ найдите угловой коэффициент при $t=2$. Здесь $\dfrac{dx}{dt}=2t$ и $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, поэтому $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; при $t=2$ это равно $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	параметрические уравнения
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	векторнозначная функция
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	Полярные координаты

9.2

Second Derivatives of Parametric Equations · ⁨Вторые производные параметрических уравнений⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ can be calculated by dividing $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ by $\dfrac{dx}{dt}$. BC ONLY

Русский

Долгосрочное понимание (CHA-3): Производные позволяют решать реальные задачи, связанные со скоростями изменения.

Цель обучения CHA-3.G: Вычислять производные параметрических функций. Только BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ можно вычислить, разделив $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ на $\dfrac{dx}{dt}$. ТОЛЬКО BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The second derivative is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Instead, differentiate the first derivative with respect to $t$, then divide by $dx/dt$ again:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Use it to test concavity of a parametric curve.

Русский

Вторая производная не равна $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Вместо этого продифференцируйте первую производную по $t$, а затем разделите на $dx/dt$ еще раз:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Используйте её для проверки выпуклости параметрической кривой.

9.3

Finding Arc Lengths of Curves Given by Parametric Equations · ⁨Нахождение длин дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.B: Determine the length of a curve in the plane defined by parametric functions, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.B.1 The length of a parametrically defined curve can be calculated using a definite integral. BC ONLY

Русский

Принцип (CHA-6): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменения длины на отрезке.

Цель обучения CHA-6.B: Вычислить длину кривой на плоскости, заданной параметрическими функциями, используя определенный интеграл. Только BC

CHA-6.B.1 Длину кривой, заданной параметрически, можно вычислить с помощью определенного интеграла. Только BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The length of a parametric curve for $t$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

This is the parametric version of arc length – summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$ over the parameter.

Русский

Длина параметрической кривой для $t$ от $a$ до $b$ равна

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

Это параметрическая версия длины дуги — суммирование малых гипотенуз $\sqrt{dx^2+dy^2}$ по параметру.

9.4

Defining and Differentiating Vector-Valued Functions · ⁨Определение и дифференцирование векторнозначных функций⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.H: Calculate derivatives of vector-valued functions. BC ONLY

CHA-3.H.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to vector-valued functions. BC ONLY

Русский

Долгосрочное понимание (CHA-3): Производные позволяют решать реальные задачи, связанные со скоростями изменения.

Цель обучения CHA-3.H: Вычислять производные векторнозначных функций. Только BC

CHA-3.H.1 Методы вычисления производных вещественнозначных функций могут быть расширены на векторнозначные функции. Только BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A vector-valued function 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ gives a position vector for each $t$. Differentiate component-wise: the velocity is $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ and the acceleration is $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. The speed is the magnitude $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Русский

Векторнозначная функция $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ задает вектор положения для каждого $t$. Дифференцируйте покомпонентно: скорость есть $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$, а ускорение есть $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. Модуль скорости равен величине $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Векторнозначная прямая: начало в точке a, затем смещение на t единиц в направлении b

Explore · ⁨Исследовать⁩

Add vector-valued components · ⁨Добавление компонент вектор-значной функции⁩

A vector-valued function packs an $x(t)$ and $y(t)$ into one vector. Differentiating each component gives the velocity vector, tangent to the path. · ⁨Вектор-значная функция объединяет $x(t)$ и $y(t)$ в один вектор. Дифференцирование каждой компоненты дает вектор скорости, касательный к траектории.⁩

9.5

Integrating Vector-Valued Functions · ⁨Интегрирование векторнозначных функций⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.A: Determine a particular solution given a rate vector and initial conditions. BC ONLY

FUN-8.A.1 Methods for calculating integrals of real-valued functions can be extended to parametric or vector-valued functions. BC ONLY

Русский

Принцип (FUN-8): Решение задачи Коши позволяет найти выражение для положения частицы, движущейся на плоскости.

Цель обучения FUN-8.A: Найти частное решение по заданному вектору скорости и начальным условиям. Только BC

FUN-8.A.1 Методы вычисления интегралов вещественнозначных функций могут быть расширены на параметрические или векторнозначные функции. Только BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Integrate a vector function component by component. Given acceleration or velocity plus an initial condition, integrate each component and use the condition to find the constants – recovering velocity from acceleration, or position from velocity.

Русский

Интегрируйте векторную функцию покомпонентно. Зная ускорение или скорость плюс начальное условие, проинтегрируйте каждый компонент и используйте условие для нахождения констант — восстанавливая скорость из ускорения или положение из скорости.

9.6

Solving Motion Problems Using Parametric and Vector-Valued Functions · ⁨Решение задач на движение с использованием параметрических и векторнозначных функций⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.B: Determine values for positions and rates of change in problems involving planar motion. BC ONLY

FUN-8.B.1 Derivatives can be used to determine velocity, speed, and acceleration for a particle moving along a curve in the plane defined using parametric or vector-valued functions. BC ONLY
FUN-8.B.2 For a particle in planar motion over an interval of time, the definite integral of the velocity vector represents the particle's displacement (net change in position) over the interval of time, from which we might determine its position. The definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time. BC ONLY

Русский

Принцип (FUN-8): Решение задачи Коши позволяет найти выражение для положения частицы, движущейся на плоскости.

Цель обучения FUN-8.B: Определять значения положения и скоростей изменения в задачах, связанных с плоским движением. Только BC

FUN-8.B.1 Производные могут использоваться для определения скорости, модуля скорости и ускорения частицы, движущейся вдоль кривой на плоскости, заданной параметрическими или векторнозначными функциями. Только BC
FUN-8.B.2 Для частицы, совершающей движение на плоскости за некоторый промежуток времени, определенный интеграл вектора скорости представляет собой перемещение частицы (суммарное изменение положения) за этот промежуток времени, из которого можно определить её положение. Определенный интеграл модуля скорости представляет собой полный путь, пройденный частицей за этот промежуток времени. Только BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

For a particle moving in a plane: position is $\langle x(t),y(t)\rangle$, velocity and acceleration are its derivatives, speed is $|\vec v|$, and the distance traveled over $[a,b]$ is

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Exam skill: these plane-motion problems appear on the BC free-response nearly every year – be fluent finding speed, the position at a later time (initial point plus the integral of velocity), and total distance.

Worked example. A particle has position $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Its velocity is $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, so at $t=1$ the velocity is $\langle 2,\ 2\rangle$ and the speed is $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Its position at $t=2$ is $\langle 4,\ 6\rangle$.

Русский

Для частицы, движущейся в плоскости: положение есть $\langle x(t),y(t)\rangle$, скорость и ускорение — её производные, модуль скорости есть $|\vec v|$, а пройденный путь за $[a,b]$ равен

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Навык для экзамена: задачи на движение в плоскости появляются на свободных ответах BC почти каждый год — будьте уверенны в вычислении модуля скорости, положении в более поздний момент времени (начальная точка плюс интеграл от скорости) и общем пройденном пути.

Разобранный пример. Частица имеет положение $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Её скорость есть $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, поэтому при $t=1$ скорость равна $\langle 2,\ 2\rangle$, а модуль скорости — $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Её положение при $t=2$ равно $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Defining Polar Coordinates and Differentiating in Polar Form · ⁨Определение полярных координат и дифференцирование в полярной форме⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.G: Calculate derivatives of functions written in polar coordinates. BC ONLY

FUN-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to functions in polar coordinates. BC ONLY
FUN-3.G.2 For a curve given by a polar equation $r = f(\theta)$, derivatives of $r$, $x$, and $y$ with respect to $\theta$, and first and second derivatives of $y$ with respect to $x$ can provide information about the curve. BC ONLY

Русский

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.G: Вычислять производные функций, заданных в полярных координатах. Только BC

FUN-3.G.1 Методы вычисления производных вещественнозначных функций могут быть расширены на функции в полярных координатах. Только BC
FUN-3.G.2 Для кривой, заданной полярным уравнением $r = f(\theta)$, производные $r$, $x$ и $y$ по $\theta$, а также первая и вторая производные $y$ по $x$, могут предоставить информацию о кривой. Только BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Tracing a polar curve

Polar coordinates 极坐标 locate a point by its distance $r$ from the origin and angle $\theta$: convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Русский

Построение полярной кривой

Полярные координаты определяют положение точки по расстоянию $r$ от начала координат и углу $\theta$: преобразование выполняется по формулам $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Полярная кривая $r=f(\theta)$ является параметрической кривой в $\theta$, поэтому её наклон равен

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Полярные координаты задают точку по расстоянию r и углу theta

Explore · ⁨Исследовать⁩

Plot a polar curve · ⁨Построение полярной кривой⁩

In polar coordinates a point is a distance $r$ at angle $\theta$. Letting $r$ depend on $\theta$ traces curves like this cardioid. · ⁨В полярных координатах точка находится на расстоянии $r$ под углом $\theta$. Зависимость $r$ от $\theta$ рисует такие кривые, как эта кардиоида.⁩

9.8

Finding the Area of a Polar Region · ⁨Нахождение площади полярной области⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.1 The concept of calculating areas in rectangular coordinates can be extended to polar coordinates. BC ONLY

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.D: Вычислять площади областей, ограниченных полярными кривыми, с помощью определенных интегралов. Только BC

CHA-5.D.1 Понятие вычисления площадей в декартовых координатах может быть расширено на полярные координаты. Только BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The area swept out by a polar curve $r=f(\theta)$ from $\alpha$ to $\beta$ is

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

The region is a "fan" of thin triangular sectors; choosing the correct $\theta$-limits (where the curve starts and finishes tracing the region) is the main challenge.

Worked example. Find the area of one petal of the rose $r=2\sin(2\theta)$ (traced for $\theta$ from $0$ to $\tfrac{\pi}{2}$). Using $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

Русский

Площадь, описываемая полярной кривой $r=f(\theta)$ от $\alpha$ до $\beta$, равна

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

Область представляет собой «веер» из тонких треугольных секторов; выбор правильных пределов по $\theta$ (где кривая начинает и заканчивает обрисовку области) является основной задачей.

Разобранный пример. Найдите площадь одного лепестка розы $r=2\sin(2\theta)$ (описанной для $\theta$ от $0$ до $\tfrac{\pi}{2}$). Используя $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

Площадь полярной области описывается как половина интеграла от r² d theta — Заштрихованная область — веер из тонких секторов, описанных от $\alpha$ до $\beta$; каждый имеет площадь $\tfrac12 r^2\,d\theta$, поэтому общая площадь равна $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Finding the Area of the Region Bounded by Two Polar Curves · ⁨Нахождение площади области, ограниченной двумя полярными кривыми⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.2 Areas of regions bounded by polar curves can be calculated with definite integrals. BC ONLY

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.D: Вычислять площади областей, ограниченных полярными кривыми, с помощью определенных интегралов. Только BC

CHA-5.D.2 Площадь областей, ограниченных полярными кривыми, может быть вычислена с помощью определенных интегралов. ТОЛЬКО BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

For the area between an outer curve $r_1$ and an inner curve $r_2$, subtract the sectors:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Find the intersection angles first (set $r_1=r_2$), and be careful which curve is outer over each interval – they can swap.

Русский

Для площади между внешней кривой $r_1$ и внутренней кривой $r_2$ вычтите сектора:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Сначала найдите углы пересечения (приравняйте $r_1=r_2$), и будьте осторожны с тем, какая кривая является внешней на каждом интервале — они могут меняться местами.

9.9

Exam tips · ⁨Советы для экзамена⁩

English

For parametric curves, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; speed is $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
A vector-valued function carries the same information — differentiate/integrate it component by component.
In polar, convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; area swept is $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Watch the direction of tracing (the sign of $dx/dt$) and set correct $\theta$-limits for polar area.
Eliminate the parameter to recover the ordinary $y$-vs-$x$ shape when it helps.

Русский

Для параметрических кривых: $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; модуль скорости равен $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
Векторнозначная функция содержит ту же информацию — дифференцируйте/интегрируйте её покомпонентно.
В полярных координатах преобразуйте по формулам $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; описанная площадь равна $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Следите за направлением обрисовки (знаком $dx/dt$) и устанавливайте правильные пределы по $\theta$ для полярной площади.
Исключите параметр, чтобы получить обычную зависимость $y$ от $x$, если это помогает.

Interactive lessons on this topic · ⁨Интерактивные уроки по этой теме⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.⁩

Past Papers · ⁨Архив экзаменационных работ⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨Больше тем в AP Calculus BC⁩