Applications of Integration · ⁨Приложения интегрирования⁩

AP Calculus BC · Topic 8 · ⁨Тема 8⁩

View Slides · ⁨Просмотр слайдов⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

Video lesson for this topic · ⁨Видеоурок по этой теме⁩ Open the video page · ⁨Открыть страницу видео⁩

8.1

Finding the Average Value of a Function on an Interval · ⁨Нахождение среднего значения функции на интервале⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Русский

Принцип (CHA-4): Определённые интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений на интервале.

Цель обучения CHA-4.B: Определять среднее значение функции с помощью определенных интегралов.

CHA-4.B.1 Среднее значение непрерывной функции $f$ на интервале $[a, b]$ равно $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the width:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height a rectangle would need to have the same area as the region under $f$. Do not confuse this with the average rate of change (which uses the derivative).

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Русский

Среднее значение $f$ на отрезке $[a,b]$ равно интегралу, деленному на ширину:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Это постоянная высота прямоугольника, которая дала бы ту же площадь, что и область под кривой $f$. Не путайте это со средним темпом изменения (который использует производную).

Разобранный пример. Среднее значение $f(x)=x^2$ на отрезке $[0,3]$ равно $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Explore · ⁨Исследовать⁩

The average value of a function · ⁨Среднее значение функции⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨Среднее значение $f$ на $[a,b]$ равно её интегралу, деленному на ширину — это постоянная высота прямоугольника, площадь которого равна площади под кривой.⁩

8.2

Connecting Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨Связь положения, скорости и ускорения с помощью интегралов⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

Русский

Принцип (CHA-4): Определённые интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений на интервале.

Цель обучения CHA-4.C: Определять значения положения и скорости изменения, используя определенные интегралы в задачах на прямолинейное движение.

CHA-4.C.1 Для частицы, движущейся прямолинейно на промежутке времени, определенный интеграл от скорости представляет собой перемещение частицы за этот промежуток времени, а определенный интеграл от модуля скорости (скорости) представляет собой полный путь, пройденный частицей за этот промежуток времени.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

For straight-line motion, integration reverses differentiation:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Two key distinctions: displacement 位移 is $\int_a^b v\,dt$ (net change in position), while total distance 总路程 is $\int_a^b |v|\,dt$ (splitting where $v$ changes sign). Speed is $|v|$.

Русский

Для прямолинейного движения интегрирование обратимо дифференцированию:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Два ключевых различия: перемещение — это $\int_a^b v\,dt$ (чистое изменение положения), а полный путь — это $\int_a^b |v|\,dt$ (разбиение на участки, где $v$ меняет знак). Скорость равна $|v|$.

8.3

Using Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨Использование функций накопления и определенных интегралов в прикладных контекстах⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

Русский

Принцип (CHA-4): Определённые интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений на интервале.

Цель обучения CHA-4.D: Интерпретировать смысл определенного интеграла в задачах на накопление.

CHA-4.D.1 Функция, определенная как интеграл, представляет собой накопление скорости изменения.
CHA-4.D.2 Определенный интеграл от скорости изменения величины на промежутке дает чистое изменение этой величины на этом промежутке.

Цель обучения CHA-4.E: Определять чистое изменение с помощью определенных интегралов в прикладных контекстах.

CHA-4.E.1 Определенный интеграл может использоваться для выражения информации о накоплении и чистом изменении во многих прикладных контекстах.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

When a rate is given (flow rate, sales per day), the definite integral gives the accumulated total, and $\int_a^b R(t)\,dt$ carries the units of $R$ times time. A common setup: initial amount $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ gives the amount at a later time. Always interpret the answer in context, with units.

Русский

Когда задана скорость (расход потока, продажи в день), определенный интеграл дает накопленную сумму, а $\int_a^b R(t)\,dt$ несет единицы измерения $R$, умноженные на время. Типовая задача: начальное количество $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ определяет количество в более поздний момент времени. Всегда интерпретируйте ответ в контексте задачи, указывая единицы измерения."

8.4

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x · ⁨Нахождение площади между кривыми, выраженными как функции x⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.A: Вычислять площади в плоскости с помощью определенного интеграла.

CHA-5.A.1 Площади областей в плоскости могут быть вычислены с помощью определенных интегралов.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The area between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) from $a$ to $b$ is

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Find the intersection points for the limits, and always subtract top minus bottom.

Worked example. Between $y=x$ and $y=x^2$ (crossing at $x=0,1$, with $y=x$ on top), the area is $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

Русский

Гончар формирует сосуд: тела вращения образуются вращением плоской области вокруг оси

Площадь между $y=f(x)$ (верхней) и $y=g(x)$ (нижней) функциями от $a$ до $b$ равна

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Найдите точки пересечения для определения пределов, и всегда вычитайте верхнюю минус нижнюю кривую.

Площадь между двумя кривыми равна интегралу от верхней функции минус нижняя — Площадь между двумя кривыми равна интегралу разности верхней и нижней кривых

Разобранное решение. Между $y=x$ и $y=x^2$ (точки пересечения $x=0,1$, при этом сверху находится $y=x$), площадь составляет $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y · ⁨Нахождение площади между кривыми, выраженными как функции y⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.A: Вычислять площади в плоскости с помощью определенного интеграла.

CHA-5.A.2 Площади областей в плоскости могут быть вычислены с использованием функций либо $x$, либо $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

When curves are easier to describe as $x=f(y)$, integrate with respect to $y$ instead, using right minus left:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Choosing to integrate in $y$ can avoid splitting the region into several pieces.

Русский

Если кривые удобнее описывать как $x=f(y)$, интегрируйте по переменной $y$, используя формулу правая минус левая:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Выбор интегрирования по $y$ может избежать разбиения области на несколько частей.

8.6

Finding the Area Between Curves That Intersect More Than Twice · ⁨Нахождение площади между кривыми, пересекающимися более двух раз⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.A: Вычислять площади в плоскости с помощью определенного интеграла.

CHA-5.A.3 Площади некоторых областей в плоскости могут быть вычислены с помощью суммы двух или более определенных интегралов или путем вычисления определенного интеграла от абсолютной величины разности двух функций.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

If two curves cross several times, the top and bottom switch. Split the region at each intersection and integrate each piece with the correct top-minus-bottom (or use $\int|f-g|$), then add the pieces.

Русский

Если две кривые пересекаются несколько раз, верхняя и нижняя меняются местами. Разбейте область в каждой точке пересечения и проинтегрируйте каждый фрагмент с правильной разностью верхней и нижней кривых (или используйте $\int|f-g|$), затем сложите полученные результаты.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨Объемы с поперечными сечениями: квадраты и прямоугольники⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.B: Вычислять объемы тел с известными поперечными сечениями с помощью определенных интегралов.

CHA-5.B.1 Объемы тел с квадратными и прямоугольными поперечными сечениями можно найти с помощью определенных интегралов и формул площадей этих фигур.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

If a solid's cross sections 横截面 perpendicular to the $x$-axis are squares or rectangles, integrate their area. With side length equal to the distance between two curves, a square cross section gives

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

The method is always "integrate the cross-sectional area."

Русский

Если поперечные сечения твердого тела, перпендикулярные оси $x$, представляют собой квадраты или прямоугольники, интегрируйте их площадь. При длине стороны, равной расстоянию между двумя кривыми, квадратное поперечное сечение дает

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

Метод всегда заключается в «интегрировании площади поперечного сечения»."

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨Объёмы с поперечными сечениями: Треугольники и полукруги⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.B: Вычислять объемы тел с известными поперечными сечениями с помощью определенных интегралов.

CHA-5.B.2 Объемы тел с треугольными поперечными сечениями можно найти с помощью определенных интегралов и формул площадей этих фигур.
CHA-5.B.3 Объемы тел с полукруглыми и другими геометрически определенными поперечными сечениями можно найти с помощью определенных интегралов и формул площадей этих фигур.
- Иллюстративные примеры для CHA-5.B.3:
  - Объём воронки, поперечные сечения которой являются окружностями, можно вычислить, используя формулу площади круга и определённый интеграл (см. 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - Объём тела, площадь поперечного сечения которого задана функцией, можно найти, используя известную функцию площади и определённый интеграл (см. 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Same idea, different area formula: for equilateral-triangle cross sections use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, and for semicircular ones $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (with $s$ the distance between the curves). Substitute the area formula and integrate.

Русский

Та же идея, другая формула площади: для поперечных сечений в виде равностороннего треугольника используйте $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, а для полукруглых — $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (где $s$ — расстояние между кривыми). Подставьте формулу площади и проинтегрируйте.

8.9

Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨Объем методом дисков: Вращение вокруг осей x или y⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.1 Объемы тел вращения вокруг оси $x$ или оси $y$ можно найти, используя определенные интегралы с применением метода дисков.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid whose cross sections are discs. The disc method 圆盘法 integrates $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

where the radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Use $dy$ when revolving around the $y$-axis.

Worked example. Revolving the region under $y=\sqrt{x}$ from $0$ to $4$ about the $x$-axis gives discs of radius $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Русский

Тела вращения: метод дисков

Вращение области вокруг оси создает тело, поперечные сечения которого являются дисками. Метод дисков интегрирует $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

где радиус $R$ — это расстояние от кривой до оси. Используйте $dy$ при вращении вокруг оси $y$.

Метод дисков: вращение y=f(x) вокруг оси образует диски радиуса f(x)

Разобранный пример. Вращение области под $y=\sqrt{x}$ от $0$ до $4$ вокруг оси $x$ образует диски радиуса $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Вращение области вокруг оси образует тело вращения

8.10

Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes · ⁨Объем методом дисков: Вращение вокруг других осей⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.2 Объемы тел вращения вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии в плоскости могут быть найдены с помощью определенных интегралов методом дисков.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

When the axis of revolution is a horizontal or vertical line like $y=k$ (not an axis), the radius adjusts: $R=|f(x)-k|$. Set up the radius as the distance from the curve to that line, then integrate $\pi R^2$ as before.

Русский

Когда ось вращения представляет собой горизонтальную или вертикальную прямую, например $y=k$ (не являющуюся осью координат), радиус корректируется: $R=|f(x)-k|$. Запишите радиус как расстояние от кривой до этой прямой, затем проинтегрируйте $\pi R^2$ так же, как и ранее.

8.11

Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨Объем методом колец: Вращение вокруг осей x или y⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.3 Объемы тел вращения вокруг оси $x$ или оси $y$, поперечные сечения которых имеют кольцевую форму, могут быть найдены с помощью определенных интегралов методом колец.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

If the region does not touch the axis, revolving leaves a hole, so cross sections are washers (rings). The washer method 垫圈法 subtracts the inner disc:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identify the outer and inner radii as distances from each curve to the axis.

Русский

Объём методом колец

Если область не касается оси, вращение оставляет отверстие, поэтому поперечные сечения имеют вид колец. Метод колец вычитает внутренний диск:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Определите внешний и внутренний радиусы как расстояния от каждой кривой до оси.

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	среднего значения
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	перемещение
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	полный путь
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	поперечные сечения
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	метод дисков
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	метод колец (шайб)
arc length/ɑːk leŋθ/	длину дуги

8.12

Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes · ⁨Объем методом колец: Вращение вокруг других осей⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.4 Объемы тел вращения вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии, поперечные сечения которых имеют кольцевую форму, могут быть найдены с помощью определенных интегралов методом колец.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

As with discs, revolving around a line $y=k$ or $x=k$ shifts both radii – each becomes the distance from its curve to that line. Sketch the region and the axis, label $R_{\text{outer}}$ and $R_{\text{inner}}$, then integrate the difference of squares.

Русский

Как и в случае с дисками, вращение вокруг прямой $y=k$ или $x=k$ смещает оба радиуса — каждый становится расстоянием от своей кривой до этой прямой. Нарисуйте область и ось, обозначьте $R_{\text{outer}}$ и $R_{\text{inner}}$, затем проинтегрируйте разность квадратов.

8.13

The Arc Length of a Smooth Curve and Distance Traveled · ⁨Длина дуги гладкой кривой и пройденное расстояние⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.A: Determine the length of a curve in the plane defined by a function, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.A.1 The length of a planar curve defined by a function can be calculated using a definite integral. BC ONLY

Русский

Принцип (CHA-6): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменения длины на отрезке.

Цель обучения CHA-6.A: Вычислить длину кривой на плоскости, заданной функцией, используя определенный интеграл. Только BC

CHA-6.A.1 Длину плоской кривой, заданной функцией, можно вычислить с помощью определенного интеграла. Только BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The arc length 弧长 of $y=f(x)$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

This BC-only formula comes from summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$. The same idea gives the distance a particle travels along a curved path.

Worked example. Find the arc length of $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$. Here $f'(x)=x^{1/2}$, so $1+(f')^2=1+x$ and

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

Русский

Длина дуги кривой $y=f(x)$ на интервале от $a$ до $b$ равна

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

Эта формула только для уровня BC получена путем суммирования малых гипотенуз $\sqrt{dx^2+dy^2}$. Та же идея применяется для нахождения расстояния, которое проходит частица вдоль криволинейной траектории.

Разобранный пример. Найдите длину дуги кривой $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ от $x=0$ до $x=3$. Здесь $f'(x)=x^{1/2}$, следовательно, $1+(f')^2=1+x$ и

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

Мост Золотые Ворота и его длинные несущие тросы — Несущий трос моста висит в виде гладкой кривой; интеграл дает ее точную длину

8.13

Exam tips · ⁨Советы для экзамена⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

Русский

Площадь между кривыми равна $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — найдите точки пересечения для пределов интегрирования и сохраняйте верхнее минус нижнее.
Для тела вращения сложите поперечные сечения-диски/кольца площадью $\pi r^2$ (или $\pi(R^2-r^2)$).
Среднее значение $f$ на отрезке $[a,b]$ равно $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Накопленное изменение равно $\int$ скорости: итог = начальное значение $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Интегрирование означает «сложение бесконечно малого количества крошечных частей» — составьте подынтегральное выражение как один тонкий срез.

Interactive lessons on this topic · ⁨Интерактивные уроки по этой теме⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.⁩

Past Papers · ⁨Архив экзаменационных работ⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨Больше тем в AP Calculus BC⁩