Бесконечные последовательности и ряды

AP Calculus BC · Тема 10

Просмотр слайдов Тренировать

Видеоурок по этой теме Открыть страницу видео

10.1

Определение сходящихся и расходящихся числовых рядов

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.1 $n$-я частичная сумма определяется как сумма первых $n$ членов ряда. ТОЛЬКО BC
LIM-7.A.2 Бесконечный числовой ряд сходится к действительному числу $S$ (или имеет сумму $S$), если и только если существует предел его последовательности частичных сумм и он равен $S$. ТОЛЬКО BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Вложенные матрёшки: бесконечный ряд продолжает прибавлять члены — некоторые сходятся, другие расходятся

Бесконечный ряд складывает бесконечно много членов, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Его значение определяется как предел частичных сумм $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Если $S_N$ стремится к конечному числу $L$, ряд сходится к $L$; иначе он расходится. Каждый вопрос о сходимости на самом деле является вопросом о пределе частичных сумм.

Частичные суммы сходящегося геометрического ряда растут, приближаясь к a деленному на 1 минус r — Для геометрического ряда со $a=1,\ r=\tfrac12$ частичные суммы $S_1,S_2,S_3,\dots$ растут, приближаясь к пределу $\dfrac{a}{1-r}=2$ — этот предел и есть значение ряда.

Словарь Тренировать

English	Русский
infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/	бесконечный ряд
partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/	частичных сумм
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	сходится
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	расходится
geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/	геометрическая прогрессия
integral test/ˈɪntɪɡrəl test/	признака интегрального сравнения
harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	гармонический ряд
Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/	прямое сравнение
Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/	Предельное сравнение
alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/	знаочередующийся ряд
ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/	признака Даламбера
converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/	сходится абсолютно
converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/	сходится условно

10.2

Работа с геометрическим рядом

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.3 Геометрический ряд — это ряд, у которого отношение между последовательными членами постоянно. Только BC
LIM-7.A.4 Если $a$ — действительное число, а $r$ — действительное число такое, что $|r| < 1$, то геометрический ряд $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Геометрический ряд & сходимость

Геометрический ряд $\sum ar^{n}$ имеет постоянное отношение $r$ между членами. Он сходится только когда $|r|<1$, и тогда

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

Это единственный ряд, сумму которого можно найти точно, и он лежит в основе степенных рядов далее в этом разделе.

Разобранный пример. Найдите сумму $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Здесь $a=3$ и $r=\tfrac12$ (при $|r|<1$), поэтому сумма равна $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

Геометрическая прогрессия умножается на одно и то же отношение на каждом шаге

Исследовать

Условие сходимости геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия $\sum ar^n$ сходится только если $|r|<1$, суммируясь до значения $\frac{a}{1-r}$. Измените знаменатель и наблюдайте, как частичные суммы стабилизируются или расходятся.

10.3

Признак расходности n-го члена

Программа

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
LIM-7 Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.	LIM-7.A Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY	LIM-7.A.5 The $n$th term test is a test for divergence of a series. BC ONLY

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Если члены не стремятся к нулю, сумма не может сойтись: если $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, ряд расходится. Это только признак расходимости – если члены действительно стремятся к нулю, признак не дает ответа (ряд все еще может расходиться, как гармонический ряд). Всегда проверяйте этот быстрый тест первым.

10.4

Признак сравнения для сходимости интегралов

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.6 Интегральный признак — это метод определения того, сходится или расходится ряд. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Если $a_n=f(n)$ для положительной, убывающей, непрерывной $f$, то $\sum a_n$ и $\int_1^\infty f(x)\,dx$ сходятся или расходятся вместе. Признак сравнения интегралов превращает вопрос о ряде в вопрос о несобственном интеграле, и именно он доказывает правило p-ряда ниже.

10.5

Гармонический ряд и p-ряды

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.7 Помимо геометрических рядов, к распространенным числовым рядам относятся гармонический ряд, знакочередующийся гармонический ряд и $p$-ряды. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

p-ряд $\sum \dfrac{1}{n^p}$ сходится при $p>1$ и расходится при $p\le1$. Особый случай $p=1$, $\sum\dfrac1n$ — это гармонический ряд – он расходится, хотя его члены стремятся к нулю (известный факт, который нужно знать наизусть). Семейство p-рядов является стандартной мерой для признаков сравнения.

10.6

Признаки сравнения для сходимости

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.8 Признак сравнения — это метод определения того, сходится или расходится ряд. Только BC
LIM-7.A.9 Признак предельного сравнения — это метод определения того, сходится или расходится ряд. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Сравните незнакомый ряд с известным (p-рядом или геометрическим рядом):

Прямое сравнение: если $0\le a_n\le b_n$ и $\sum b_n$ сходится, то сходится и $\sum a_n$; если $a_n\ge b_n\ge0$ и $\sum b_n$ расходится, то расходится и $\sum a_n$.
Предельное сравнение: если $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ является конечным положительным числом, оба ряда ведут себя одинаково. Это проще, когда члены лишь подобны поведению известного ряда.

10.7

Признак Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.10 Признак Лейбница — это метод определения того, сходится ли знакочередующийся ряд. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Знакочередующийся ряд имеет члены, меняющие знак, $\sum(-1)^n b_n$. Он сходится, если модули $b_n$ положительны, убывают и $\lim b_n=0$. Это позволяет рядам вида $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ сходиться, хотя те же самые члены без знаков (гармонический ряд) расходятся.

10.8

Признак Даламбера для сходимости

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.11 Признак Даламбера — это метод определения того, сходится или расходится числовой ряд. Только BC
- Заявление об исключении: Признак расходимости по n-му члену, интегральный признак, признак сравнения, признак предельного сравнения, признак Лейбница для знакочередующихся рядов и признак Даламбера для сходимости проверяются на экзамене AP Calculus BC. Другие методы не проверяются на экзамене. Однако учителя могут включить дополнительные методы в курс, если позволяет время.

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Признак Даламбера исследует $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$L<1$: ряд сходится абсолютно;
$L>1$: он расходится;
$L=1$: признак не дает ответа.

Это основной признак для рядов с факториалами или $n$-й степенью, и именно так вы находите радиус сходимости степенного ряда.

Разобранный пример. Проверьте $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. Отношение равно $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, поэтому ряд сходится.

10.9

Определение абсолютной или условной сходимости

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.A: Определять, сходится ли ряд или расходится. ТОЛЬКО BC

LIM-7.A.12 Ряд может быть абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся. Только BC
LIM-7.A.13 Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Только BC
LIM-7.A.14 Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него путем перегруппировки или перестановки членов, имеет то же значение. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Ряд сходится абсолютно, если $\sum|a_n|$ сходится. Он сходится условно, если $\sum a_n$ сходится, но $\sum|a_n|$ расходится (классический пример — $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). Абсолютная сходимость — более сильное свойство; условная сходимость зависит от взаимного уничтожения знаков.

10.10

Оценка ошибки знакочередующегося ряда

Программа

Общая идея (LIM-7): Применение пределов позволяет определить конечную сумму бесконечного числа членов.

Цель обучения LIM-7.B: Приближенно вычислять сумму ряда. ТОЛЬКО BC

LIM-7.B.1 Если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то оценку ошибки знакочередующегося ряда можно использовать для ограничения того, насколько частичная сумма отличается от значения бесконечного ряда. ТОЛЬКО BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Для сходящегося знакочередующегося ряда ошибка при остановке на $N$-м частичной сумме не превышает первого пропущенного члена:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

Эта простая, мощная оценка позволяет определить, сколько членов гарантируют желаемую точность.

10.11

Нахождение приближений функций полиномами Тейлора

Программа

Общая идея (LIM-8): Степенные ряды позволяют представлять связанные функции на соответствующем интервале.

Цель обучения LIM-8.A: Представлять функцию в точке как полином Тейлора. ТОЛЬКО BC

LIM-8.A.1 Коэффициент при члене степени $n$ в полиноме Тейлора для функции $f$, центрированном в точке $x = a$, равен $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. ТОЛЬКО BC
LIM-8.A.2 Во многих случаях, по мере увеличения степени полинома Тейлора, полином степени $n$ будет стремиться к исходной функции на некотором интервале. ТОЛЬКО BC

Цель обучения LIM-8.B: Приближенно вычислять значения функции с помощью полинома Тейлора. ТОЛЬКО BC

LIM-8.B.1 Полиномы Тейлора для функции $f$, центрированные в точке $x = a$, можно использовать для приближенного вычисления значений функции $f$ вблизи точки $x = a$. ТОЛЬКО BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Приближение рядом Тейлора

Полином Тейлора аппроксимирует функцию вблизи центра $x=a$, используя её производные в этой точке:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Каждый добавленный член соответствует одной дополнительной производной, поэтому полином ближе прилегает к кривой вблизи $a$. При центре в $a=0$ он называется полиномом Маклорена.

Полиномы Тейлора для sin x всё ближе прилегают к кривой по мере роста степени — Полиномы Маклорена для $\sin x$ – $T_1=x$, $T_3$, $T_5$ – каждый соответствует одной дополнительной производной в $0$, поэтому каждый ближе прилегает к $\sin x$ на большем интервале до того, как отклоняется.

Навык для экзамена: уметь составлять полином Тейлора по таблице значений производных и использовать его для оценки значения функции.

Словарь Тренировать

English	Русский
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	многочлен Тейлора
Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/	оценка ошибки Лагранжа
power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/	степенной ряд
radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/	радиус сходимости
interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/	интервал сходимости

10.12

Ошибка Лагранжа

Программа

Общая идея (LIM-8): Степенные ряды позволяют представлять связанные функции на соответствующем интервале.

Цель обучения LIM-8.C: Определять оценку ошибки, связанную с приближением полиномом Тейлора. ТОЛЬКО BC

LIM-8.C.1 Оценку ошибки Лагранжа можно использовать для определения максимального интервала для ошибки приближения функции полиномом Тейлора. ТОЛЬКО BC
LIM-8.C.2 В некоторых случаях ошибку приближения значения функции полиномом Тейлора можно оценить с помощью оценки ошибки знакочередующегося ряда. ТОЛЬКО BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Оценка ошибки Лагранжа ограничивает, насколько сильно полином Тейлора может отличаться от истинного значения:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

Вы оцениваете $(n+1)$-ю производную на интервале, затем вычисляете – стандартный способ доказать, что оценка Тейлора достаточно точна.

10.13

Радиус и интервал сходимости степенного ряда

Программа

Общая идея (LIM-8): Степенные ряды позволяют представлять связанные функции на соответствующем интервале.

Цель обучения LIM-8.D: Определить радиус сходимости и интервал сходимости для степенного ряда. Только BC

LIM-8.D.1 Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, где $n$ — целое неотрицательное число, $\{a_n\}$ — последовательность действительных чисел, а $r$ — действительное число. Только BC
LIM-8.D.2 Если степенной ряд сходится, он либо сходится в одной точке, либо имеет интервал сходимости. Только BC
LIM-8.D.3 Признак Даламбера можно использовать для определения радиуса сходимости степенного ряда. Только BC
LIM-8.D.4 Радиус сходимости степенного ряда позволяет определить открытый интервал, на котором ряд сходится, однако необходимо проверить оба конца интервала, чтобы установить интервал сходимости. Только BC
LIM-8.D.5 Если степенной ряд имеет положительный радиус сходимости, то этот степенной ряд является рядом Тейлора функции, к которой он сходится на открытом интервале. Только BC
LIM-8.D.6 Радиус сходимости степенного ряда, полученного почленным дифференцированием или почленным интегрированием, совпадает с радиусом сходимости исходного степенного ряда. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Степенной ряд $\sum c_n(x-a)^n$ сходится для $x$ внутри радиуса сходимости $R$ от центра $a$. Найдите $R$ с помощью признака Даламбера. Затем проверьте два конца интервала отдельно (признак Даламбера там не дает ответа), чтобы указать полный интервал сходимости – включая или исключая каждый конец.

Разобранное решение. Найдите радиус сходимости ряда $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. Признак Даламбера даёт предел $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, который равен $<1$ при $|x|<1$, поэтому $R=1$. При проверке границ: при $x=-1$ получается сходящийся знакочередующийся гармонический ряд, а при $x=1$ — расходящийся гармонический ряд, следовательно, интервал сходимости: $[-1,1)$.

10.14

Нахождение рядов Тейлора или Маклорена для функции

Программа

Общая идея (LIM-8): Степенные ряды позволяют представлять связанные функции на соответствующем интервале.

Цель обучения LIM-8.E: Представить функцию в виде ряда Тейлора или ряда Маклорена. Только BC

LIM-8.E.1 Многочлен Тейлора для $f(x)$ представляет собой частичную сумму ряда Тейлора для $f(x)$. Только BC

Цель обучения LIM-8.F: Интерпретировать ряды Тейлора и Маклорена. Только BC

LIM-8.F.1 Ряд Маклорена для $\dfrac{1}{1-x}$ является геометрическим рядом. Только BC
LIM-8.F.2 Ряды Маклорена для $\sin x$, $\cos x$ и $e^x$ служат основой для построения рядов Маклорена других функций. Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Расширение полинома Тейлора до бесконечного числа членов дает ряд Тейлора (или Маклорена). Запомните ключевые ряды Маклорена:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

Новые ряды получаются путем преобразований этих базовых рядов – подстановки, дифференцирования, интегрирования или умножения.

Разобранный пример. Найдите ряд Маклорена для $e^{x^2}$. Подставьте $x^2$ вместо $x$ в $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

что сходится при любых значениях $x$. Этот трюк с заменой переменной значительно быстрее, чем шестикратное дифференцирование $e^{x^2}$.

Каждое дополнительное слагаемое Маклорена прилегает к функции на большем диапазоне

Исследовать

Функция, которую аппроксимирует ряд Тейлора

y = asin(bx + c) + d

Ряд Тейлора строит функцию по её производным в точке; большее число членов лучше охватывает кривую (здесь $\sin x$) на большем диапазоне.

10.15

Представление функций в виде степенных рядов

Программа

Общая идея (LIM-8): Степенные ряды позволяют представлять связанные функции на соответствующем интервале.

Цель обучения LIM-8.G: Представить заданную функцию в виде степенного ряда. Только BC

LIM-8.G.1 Используя известный ряд, степенной ряд для данной функции можно получить с помощью операций, таких как почленное дифференцирование или почленное интегрирование, а также различными методами (например, алгебраическими преобразованиями, подстановками или использованием свойств геометрического ряда). Только BC

Источник: Описание курса и экзамена College Board AP

Поскольку степенной ряд можно дифференцировать и интегрировать почленно (в пределах радиуса), можно строить новые ряды из известных – например, проинтегрировать геометрический ряд для $\dfrac{1}{1-x}$, чтобы получить ряд для $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, или подставить $-x^2$, чтобы получить ряд для $\dfrac{1}{1+x^2}$. Представление функции в виде степенного ряда позволяет приближенно вычислять значения и интегралы, не имеющие элементарных первообразных.

Навык для экзамена: задание BC с открытым ответом обычно требует вывести новый ряд Маклорена из известного, найти его интервал сходимости и использовать признак Лейбница или оценку Лагранжа для оценки ошибки – это завершающие навыки курса.

10.15

Советы для экзамена

Проверить ряд на сходимость с помощью подходящего критерия: геометрический ($|r|<1$, сумма $\tfrac{a}{1-r}$), $n$-й член, признак Даламбера, интегральный, сравнения или знакочередующийся.
Бесконечная геометрическая сумма сходится только тогда, когда $|r|<1$; в противном случае она расходится.
Построить ряд Тейлора/Маклорена для приближения функции; большее количество членов дает лучшее совпадение вблизи центра.
Знать стандартные ряды Маклорена для $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ и $\tfrac{1}{1-x}$.
Найти радиус/интервал сходимости с помощью признака Даламбера, затем отдельно проверить концы интервала.

Интерактивные уроки по этой теме

Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.

Архив экзаменационных работ

Больше тем в AP Calculus BC