Applications of Integration · ⁨Приложения интегрирования⁩

AP Calculus AB · Topic 8 · ⁨Тема 8⁩

View Slides · ⁨Просмотр слайдов⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

Video lesson for this topic · ⁨Видеоурок по этой теме⁩ Open the video page · ⁨Открыть страницу видео⁩

8.1

Average Value of a Function · ⁨Среднее значение функции⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Русский

Принцип (CHA-4): Определённые интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений на интервале.

Цель обучения CHA-4.B: Определять среднее значение функции с помощью определенных интегралов.

CHA-4.B.1 Среднее значение непрерывной функции $f$ на интервале $[a, b]$ равно $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of a continuous function $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the interval length:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height of a rectangle on $[a,b]$ with the same area as under $f$. Do not confuse it with the average rate of change (which divides change in $f$ by the interval), or with a Riemann-sum average of a few values – the exam distinguishes these carefully. Report units in context (e.g. the average rate "in vehicles per hour").

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Русский

Среднее значение непрерывной функции $f$ на интервале $[a,b]$ равно интегралу, деленному на длину интервала:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Это постоянная высота прямоугольника на $[a,b]$ с той же площадью, что и под кривой $f$. Не путайте это со средней скоростью изменения (которая делит изменение $f$ на интервал) или со средним значением суммы Римана нескольких значений — экзамен строго различает эти понятия. Указывайте единицы измерения в контексте (например, средняя скорость «в автомобилях в час»).

Разобранное решение. Среднее значение функции $f(x)=x^2$ на интервале $[0,3]$ равно

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Explore · ⁨Исследовать⁩

The average value of a function · ⁨Среднее значение функции⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨Среднее значение $f$ на $[a,b]$ равно её интегралу, деленному на ширину — это постоянная высота прямоугольника, площадь которого равна площади под кривой.⁩

8.2

Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨Положение, скорость и ускорение с использованием интегралов⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

Русский

Принцип (CHA-4): Определённые интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений на интервале.

Цель обучения CHA-4.C: Определять значения положения и скорости изменения, используя определенные интегралы в задачах на прямолинейное движение.

CHA-4.C.1 Для частицы, движущейся прямолинейно на промежутке времени, определенный интеграл от скорости представляет собой перемещение частицы за этот промежуток времени, а определенный интеграл от модуля скорости (скорости) представляет собой полный путь, пройденный частицей за этот промежуток времени.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Integration reverses the motion links of Unit 4. For a particle in straight-line motion over $[t_1,t_2]$:

Displacement 位移 (net change in position) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Total distance travelled 总路程 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integrate speed, so direction changes add up instead of cancelling.
Position at a later time $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocity from acceleration $= v(t_1)+\int a$.

The displacement-versus-distance distinction (with the absolute value) is a classic graded point.

Русский

Интегрирование обратимо связям движения из Модуля 4. Для частицы, движущейся прямолинейно на интервале $[t_1,t_2]$:

Перемещение (чистое изменение положения) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Полный пройденный путь $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ — интегрируйте скорость, чтобы изменения направления складывались, а не сокращались.
Положение в более поздний момент времени $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; скорость из ускорения $= v(t_1)+\int a$.

Различие между перемещением и путем (с использованием модуля) — это классический пункт для оценки.

8.3

Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨Функции накопления и определенные интегралы в прикладных контекстах⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

Русский

Принцип (CHA-4): Определённые интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений на интервале.

Цель обучения CHA-4.D: Интерпретировать смысл определенного интеграла в задачах на накопление.

CHA-4.D.1 Функция, определенная как интеграл, представляет собой накопление скорости изменения.
CHA-4.D.2 Определенный интеграл от скорости изменения величины на промежутке дает чистое изменение этой величины на этом промежутке.

Цель обучения CHA-4.E: Определять чистое изменение с помощью определенных интегралов в прикладных контекстах.

CHA-4.E.1 Определенный интеграл может использоваться для выражения информации о накоплении и чистом изменении во многих прикладных контекстах.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A function defined as an integral accumulates a rate of change. The net change 净变化 theorem is the everyday tool: the definite integral of a rate over an interval gives the net change of the quantity:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

So "how much water is in the tank at $t=5$" = starting amount + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Watch signs (in minus out) and units. Many multi-part FRQs are built entirely on this idea – often paired with "write, but do not evaluate, an integral expression that gives the total...".

Русский

Функция, определенная как интеграл, накапливает скорость изменения. Теорема о чистом изменении — это everyday инструмент: определенный интеграл скорости за интервал дает чистое изменение величины:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

Таким образом, «сколько воды в резервуаре в момент $t=5$» = начальное количество + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Следите за знаками (пришло минус ушло) и единицами измерения. Многие многоэтапные задания свободного ответа (FRQ) построены целиком на этой идее — часто в паре с формулировкой «запишите, но не вычисляйте, выражение для определенного интеграла, которое дает общее...».

8.4

Finding the Area Between Curves (Functions of x) · ⁨Нахождение площади между кривыми (функции от x)⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.A: Вычислять площади в плоскости с помощью определенного интеграла.

CHA-5.A.1 Площади областей в плоскости могут быть вычислены с помощью определенных интегралов.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The area between two curves $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) on $[a,b]$ is:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Find the intersection points first to set the limits, and always subtract bottom from top.

Worked example. Find the area between $y=x$ and $y=x^2$. They cross at $x=0$ and $x=1$, and on $(0,1)$ the line $y=x$ is on top, so

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

Русский

Площадь между двумя кривыми $y=f(x)$ (верхняя) и $y=g(x)$ (нижняя) на интервале $[a,b]$ равна:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Сначала найдите точки пересечения, чтобы установить пределы, и всегда вычитайте нижнюю кривую из верхней.

Разобранный пример. Найдите площадь фигуры между кривой $y=x$ и прямой $y=x^2$. Они пересекаются в точках $x=0$ и $x=1$, и на $(0,1)$ прямая $y=x$ расположена выше, поэтому

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

Площадь между двумя кривыми равна интегралу от верхней функции минус нижняя — Заштрихованная область простирается от одной точки пересечения $a$ до следующей $b$; ее площадь равна $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

Finding the Area Between Curves (Functions of y) · ⁨Нахождение площади между кривыми (функции от y)⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.A: Вычислять площади в плоскости с помощью определенного интеграла.

CHA-5.A.2 Площади областей в плоскости могут быть вычислены с использованием функций либо $x$, либо $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Some regions are easier described with horizontal slices – integrate with respect to $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Choose $x$- or $y$-slices to keep a single top/bottom (or right/left) pair over the whole region.

Русский

Некоторые области проще описать с помощью горизонтальных срезов — интегрируйте по переменной $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Выберите $x$- или $y$-срезы, чтобы сохранить единую пару «верх/низ» (или «право/лево») на всей области.

8.6

Area Between Curves With More Than Two Intersections · ⁨Площадь между кривыми с более чем двумя точками пересечения⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.A: Вычислять площади в плоскости с помощью определенного интеграла.

CHA-5.A.3 Площади некоторых областей в плоскости могут быть вычислены с помощью суммы двух или более определенных интегралов или путем вычисления определенного интеграла от абсолютной величины разности двух функций.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

If the curves cross more than twice, one function is on top for part of the region and the other on top elsewhere. Split into a sum of integrals at each crossing, or integrate the absolute value of the difference:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Determine which curve is higher on each subinterval before writing the integrals.

Русский

Если кривые пересекаются более двух раз, одна функция оказывается сверху на части области, а другая — на остальной. Разбейте на сумму интегралов в каждой точке пересечения или проинтегрируйте модуль разности:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Определите, какая кривая выше на каждом подынтервале, прежде чем записывать интегралы.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨Объемы с поперечными сечениями: квадраты и прямоугольники⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.B: Вычислять объемы тел с известными поперечными сечениями с помощью определенных интегралов.

CHA-5.B.1 Объемы тел с квадратными и прямоугольными поперечными сечениями можно найти с помощью определенных интегралов и формул площадей этих фигур.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

If a solid has a known cross section 横截面 perpendicular to an axis, its volume is the integral of the cross-sectional area:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

For square cross sections with side equal to the region's height $s(x)=f(x)-g(x)$, use $A(x)=[s(x)]^2$; for a rectangle of height $k\cdot s(x)$, use $A(x)=k\,[s(x)]^2$. The exam phrase "the base of a solid... cross sections are squares/rectangles" signals exactly this.

Русский

Гончар лепит сосуд: тела вращения — это объемы, образованные вращением плоской области — Гончар формует сосуд: тела вращения образуются вращением плоской фигуры

Если тело имеет известное поперечное сечение, перпендикулярное оси, его объем равен интегралу от площади поперечного сечения:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

Для квадратных поперечных сечений со стороной, равной высоте области $s(x)=f(x)-g(x)$, используйте $A(x)=[s(x)]^2$; для прямоугольника высотой $k\cdot s(x)$ используйте $A(x)=k\,[s(x)]^2$. Фраза из экзамена «основанием твердого тела... являются квадратные/прямоугольные поперечные сечения» указывает именно на это.

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨Объёмы с поперечными сечениями: Треугольники и полукруги⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.B: Вычислять объемы тел с известными поперечными сечениями с помощью определенных интегралов.

CHA-5.B.2 Объемы тел с треугольными поперечными сечениями можно найти с помощью определенных интегралов и формул площадей этих фигур.
CHA-5.B.3 Объемы тел с полукруглыми и другими геометрически определенными поперечными сечениями можно найти с помощью определенных интегралов и формул площадей этих фигур.
- Иллюстративные примеры для CHA-5.B.3:
  - Объём воронки, поперечные сечения которой являются окружностями, можно вычислить, используя формулу площади круга и определённый интеграл (см. 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - Объём тела, площадь поперечного сечения которого задана функцией, можно найти, используя известную функцию площади и определённый интеграл (см. 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Same method, different area formula: for an equilateral triangle 三角形 of side $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; for a semicircle 半圆 of diameter $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Set the shape's key length equal to the region's slice length $s(x)$, then integrate $A(x)$.

Русский

Тот же метод, другая формула площади: для равностороннего треугольника со стороной $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; для полукруга с диаметром $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Приравняйте ключевую длину фигуры к длине среза области $s(x)$, затем проинтегрируйте $A(x)$.

8.9

Volume with the Disc Method (About the x- or y-Axis) · ⁨Объём методом дисков (вокруг оси x или y)⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.1 Объемы тел вращения вокруг оси $x$ или оси $y$ можно найти, используя определенные интегралы с применением метода дисков.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid of revolution 旋转体. If the region touches the axis, each slice is a disc 圆盘 of radius $r$ = the function value:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Around the $x$-axis, $r=f(x)$ and integrate in $x$; around the $y$-axis, express $x$ as a function of $y$ and integrate in $y$.

Worked example. Revolve the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $x=4$ about the $x$-axis. Each disc has radius $r=\sqrt{x}$, so

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

Русский

Тела вращения: метод дисков

Вращение области вокруг оси образует тело вращения. Если область касается оси, каждый срез представляет собой диск радиуса $r$ = значение функции:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Вокруг оси $x$, $r=f(x)$ и интегрируйте по $x$; вокруг оси $y$, выразите $x$ как функцию от $y$ и интегрируйте по $y$.

Метод дисков: вращение y=f(x) вокруг оси образует диски радиуса f(x)

Разбор примера. Вращаем область под $y=\sqrt{x}$ от $x=0$ до $x=4$ вокруг оси $x$. Каждый диск имеет радиус $r=\sqrt{x}$, поэтому

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

Вращение области вокруг оси образует тело вращения

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	среднего значения
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	Вытеснение
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	полный пройденный путь
net change/net tʃeɪndʒ/	чистое изменение
cross section/krɒs ˈsekʃn/	поперечное сечение
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	треугольник
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	полуокружность
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	тело вращения
disc/dɪsk/	диск

8.10

Volume with the Disc Method (About Other Axes) · ⁨Объём методом дисков (вокруг других осей)⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.2 Объемы тел вращения вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии в плоскости могут быть найдены с помощью определенных интегралов методом дисков.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Around any horizontal or vertical line $y=k$ or $x=k$, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $r(x)=|f(x)-k|$. Set up the radius carefully, then use $V=\pi\int r^2$.

Русский

Вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии $y=k$ или $x=k$ радиусом является расстояние от кривой до этой линии, например, $r(x)=|f(x)-k|$. Аккуратно задайте радиус, а затем используйте $V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

Volume with the Washer Method · ⁨Объём методом колец⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.3 Объемы тел вращения вокруг оси $x$ или оси $y$, поперечные сечения которых имеют кольцевую форму, могут быть найдены с помощью определенных интегралов методом колец.

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Русский

Принцип устойчивости (CHA-5): Определенные интегралы позволяют решать задачи, связанные с накоплением изменений площади или объема на интервале.

Цель обучения CHA-5.C: Вычислять объемы тел вращения с помощью определенных интегралов.

CHA-5.C.4 Объемы тел вращения вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии, поперечные сечения которых имеют кольцевую форму, могут быть найдены с помощью определенных интегралов методом колец.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

When the region does not touch the axis, each slice is a washer 垫圈 (a ring) with an outer radius $R$ and inner radius $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ is the distance from the axis to the farther boundary and $r$ to the nearer one. Around a line other than an axis, both radii are measured as distances to that line – a very common exam variation (e.g. revolving about $y=-2$).

Русский

Объём методом колец

Когда область не касается оси, каждый срез представляет собой кольцо (обруч) с внешним радиусом $R$ и внутренним радиусом $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ — расстояние от оси до дальней границы, а $r$ — до ближней. Вокруг линии, отличной от оси, оба радиуса измеряются как расстояния до этой линии — очень частый вариант экзаменационного задания (например, вращение вокруг $y=-2$).

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
washer/ˈwɒʃə/	кольцо (шайба)

8.11 8.12

Exam tips · ⁨Советы для экзамена⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

Русский

Площадь между кривыми равна $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — найдите точки пересечения для пределов интегрирования и сохраняйте верхнее минус нижнее.
Для тела вращения сложите поперечные сечения-диски/кольца площадью $\pi r^2$ (или $\pi(R^2-r^2)$).
Среднее значение $f$ на отрезке $[a,b]$ равно $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Накопленное изменение равно $\int$ скорости: итог = начальное значение $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Интегрирование означает «сложение бесконечно малого количества крошечных частей» — составьте подынтегральное выражение как один тонкий срез.

Interactive lessons on this topic · ⁨Интерактивные уроки по этой теме⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.⁩

Past Papers · ⁨Архив экзаменационных работ⁩

More topics in AP Calculus AB · ⁨Больше тем в AP Calculus AB⁩