Магнитные поля

Магнитное поле — это область, где движущийся заряд (или ток) испытывает силу. Оно создается:

• движущимися зарядами (обычно током в проводе), или
• постоянными магнитами (где оно возникает благодаря крошечным атомным токам).

«Объясните, что понимается под магнитным полем». Область, в которой сила действует на движущийся заряд, проводник с током или магнитный материал. Ключевые слова в ответе: слово сила и один из трех перечисленных объектов; фраза «область вокруг магнита» без упоминания силы не оценивается баллом.

Силовые линии

• Силовые линии направлены от N к S снаружи магнита и от S к N внутри (так они образуют замкнутые контуры).
• линии никогда не пересекаются; чем ближе друг к другу линии, тем сильнее поле.

Узоры, которые нужно знать:

• полосовой магнит — кривые линии от N к S снаружи, наиболее сильные у полюсов.
• длинный прямой провод — окружности вокруг провода; направление определяется правилом правой руки (большой палец по направлению тока, пальцы загибаются в сторону направления поля).
• плоская круговая катушка — поле через центр перпендикулярно плоскости катушки; катушка ведет себя как маленький полосовой магнит.
• длинный соленоид — поле внутри почти однородно вдоль оси, как растянутый полосовой магнит; снаружи оно быстро убывает.

Рисование поля провода. Задание «Нарисуйте четыре силовые линии» вокруг прямого провода проверяет три вещи: линии представляют собой концентрические окружности, центрированные на проводе; их расстояние увеличивается с удалением (поле ослабевает); каждая линия имеет стрелку в направлении, заданном правилом правой руки (ток в страницу: по часовой стрелке; ток из страницы: против часовой). Рисуйте их как окружности, а не от руки вытянутые эллипсы.

Для плоской круговой катушки витки вокруг двух сторон усиливают друг друга через центр, поэтому поле там перпендикулярно плоскости катушки и максимально в центре; если смотреть с одной стороны, она выступает как северный полюс (поле исходит из нее), с другой — как южный. Длинный соленоид — это множество таких катушек подряд: поле внутри однородно и параллельно оси, линии выходят из одного конца (его N-полюс) и возвращаются снаружи к другому.

Железный сердечник внутри соленоида значительно усиливает поле, поскольку атомные магниты железа выстраиваются и усиливают его. Именно поэтому электромагниты и трансформаторы имеют железные сердечники.

В учебной программе это называется ферромагнитным сердечником: железо, сталь или другой магнитный материал. На вопрос, почему сердечник усиливает поле, ответьте, что сердечник магнитится под действием поля соленоида, и собственное поле сердечника складывается с полем тока.

Ток $I$ в проводе длиной $L$ в магнитном поле с индукцией $B$ испытывает силу

где $\theta$ — угол между проводником и полем. Сила максимальна, когда проводник расположен перпендикулярно полю ($F = BIL$), и равна нулю, когда проводник расположен вдоль поля.

Разобранный пример. Проводник длиной $0.20\ \text{m}$ протекает ток силой $3.0\ \text{A}$ перпендикулярно магнитному полю с индукцией $0.50\ \text{T}$. Найдите действующую на него силу.

Два условия возникновения силы. Медный проводник в магнитном поле испытывает силу только если (1) по нему течёт ток, и (2) ток не параллелен полю (какая-либо часть проводника расположена перпендикулярно ⟨$B$⟩). Проводник без тока или расположенный вдоль силовых линий не испытывает никакой силы: $\sin\theta = 0$.

Разобранный пример (токовые весы). Горизонтальный проводник длиной $5.0\ \text{cm}$ расположен перпендикулярно полю между полюсами магнита, стоящего на чашечных весах. Без тока весы показывают $102.30\ \text{g}$; при протекании тока силой $2.5\ \text{A}$ они показывают $102.86\ \text{g}$. Найдите магнитную индукцию.

По третьему закону Ньютона сила, действующая на проводник, уравновешена равной и противоположной силой, действующей на магнит, поэтому показание весов изменяется на величину магнитной силы: $F = \Delta m\, g = (0.56 \times 10^{-3})(9.81) = 5.5 \times 10^{-3}\ \text{N}$. Затем $B = F/(IL) = 5.5 \times 10^{-3}/(2.5 \times 0.050) = 4.4 \times 10^{-2}\ \text{T}$ ($44\ \text{mT}$). Показание весов увеличилось, значит, сила, действующая на магнит, направлена вниз, а сила, действующая на проводник, — вверх; реверсирование тока привело бы к уменьшению показания весов на ту же величину.

Разобранный пример (силы, действующие на рамку). Прямоугольная рамка PQRS со сторонами PS и QR длиной $8.0\ \text{cm}$ протекает ток силой $1.2\ \text{A}$ в горизонтальном поле с индукцией $0.30\ \text{T}$, плоскость рамки параллельна полю. Опишите силы, действующие на рамку.

Стороны PS и QR расположены перпендикулярно полю, поэтому каждая испытывает силу $F = BIL = 0.30 \times 1.2 \times 0.080 = 2.9 \times 10^{-2}\ \text{N}$; токи в них текут в противоположных направлениях, поэтому по правилу Флеминга силы равны по модулю и противоположны по направлению: одна направлена вверх, другая — вниз. Стороны PQ и SR параллельны полю и не испытывают никаких сил. Две силы образуют пару, которая поворачивает рамку вокруг её оси; по мере поворота рамки силы сохраняют свою величину, но их перпендикулярное расстояние уменьшается, поэтому вращающий момент падает до нуля, когда плоскость рамки становится перпендикулярной полю. Это принцип действия электрического двигателя и измерительного механизма с подвижной рамкой.

Магнитная индукция

Это уравнение также определяет магнитную индукцию $B$:

Таким образом, $B$ — это сила, приходящаяся на единицу тока и единицу длины проводника, расположенного перпендикулярно полю. Единица измерения: тесла, $\text{T} = \text{N A}^{-1}\ \text{m}^{-1}$.

Определения на два балла. Магнитная индукция — это сила, приходящаяся на единицу тока и единицу длины, действующая на (прямой) проводник, расположенный перпендикулярно полю. Необходимы оба уточнения «на единицу тока» и «на единицу длины», а также уточнение «перпендикулярно» (или «под прямым углом»): без него определение неверно, так как сила также зависит от угла. Тесла — это индукция, создающая силу одного ньютона на одном метре проводника с током одного ампера, расположенном перпендикулярно полю: $1\ \text{T} = 1\ \text{N A}^{-1}\ \text{m}^{-1}$.

Направление — правило левой руки Флеминга

Используйте левую руку (правило левой руки Флеминга): указательный палец = Field (поле), средний палец = Current (ток), большой палец = сила (тяга). Расположите их под прямым углом друг к другу.

Заряд $Q$, движущийся со скоростью $v$ через поле, испытывает

где $\theta$ — угол между $v$ и $B$. То же правило левой руки (средний палец указывает направление движения положительного заряда — для отрицательного заряда укажите в обратную сторону). Сила максимальна, когда $v$ расположен перпендикулярно $B$, и равна нулю, когда $v$ направлен вдоль $B$.

Два случая отсутствия силы. Заряженная частица в магнитном поле не испытывает силы, если она покоится (нет $v$) или движется параллельно или антипараллельно полю ($\sin\theta = 0$). В отличие от электрического поля, которое действует на покоящийся заряд с той же силой: эта разница является ключевой идеей селектора скорости ниже.

Движение по окружности в однородном поле

Заряд, движущийся под прямым углом к однородному полю, испытывает силу, направленную под прямым углом как к $v$, так и к $B$. Эта сила не совершает работы (так как всегда направлена перпендикулярно движению), поэтому кинетическая энергия и скорость остаются неизменными — частица движется по окружности. Приравняйте магнитную силу к центростремительной силе:

Разбор примера. Протон (масса $1.7 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, заряд $1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$) движется со скоростью $2.0 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$ под прямым углом к полю $0.50\ \text{T}$. Найдите радиус его круговой траектории.

Таким образом, радиус зависит от импульса $mv$. Период равен

что не зависит от скорости — более быстрая частица описывает большую окружность, но тратит на оборот то же самое время. Если $v$ также имеет компоненту вдоль $B$, эта компонента остается неизменной, а траектория представляет собой спираль.

"Объясните, почему траектория является круговой." Магнитная сила всегда направлена под прямым углом к вектору скорости, поэтому она изменяет направление движения, но не скорость, а её величина $BQv$ является постоянной, поскольку $B$, $Q$ и $v$ постоянны. Сила постоянной величины, постоянно перпендикулярная скорости, является именно центростремительной силой, поэтому траектория представляет собой окружность. Укажите все три идеи: перпендикулярность, постоянство модуля, неизменность скорости.

Разбор примера. Электроны, движущиеся со скоростью $1.7 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$, входят в однородное поле с индукцией $4.8\ \text{mT}$ под прямым углом к нему. Найдите радиус их траектории. Затем электроны заменяются на позитроны (та же масса, заряд $+e$), движущиеся со скоростью $3.4 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ вдоль той же начальной линии: опишите, как изменится траектория.

Позитроны отклоняются в противоположную сторону (положительный заряд, поэтому правило Флеминга с указательным пальцем по направлению движения дает силу в противоположную сторону), и поскольку $r \propto v$ их радиус в два раза больше, $4.0\ \text{cm}$. Их период тот же самый ($T = 2\pi m/BQ$ не содержит $v$): они проходят по большей окружности вдвое быстрее.

Эффект Холла

Пластина проводника, по которому течет ток $I$, в поле $B$, перпендикулярном току, развивает напряжение между своими гранями — напряжение Холла $V_{\text{H}}$ (эффект Холла).

Движущиеся заряды испытывают магнитную силу $BQv_{\text{d}}$ ($v_{\text{d}}$ — это скорость дрейфа), поэтому они накапливаются на одной грани, создавая электрическое поле $E$, которое препятствует дальнейшему накоплению. В установившемся состоянии $eE = Bev_{\text{d}}$, следовательно $E = B v_{\text{d}}$. Учитывая $V_{\text{H}} = E w$ и $I = n e v_{\text{d}} w t$:

где $q$ — заряд носителя. Гальванометр (датчик) использует это для измерения $B$: пропустите известный ток через тонкую полупроводниковую пластину и измерьте $V_{\text{H}}$ (максимальное значение достигается, когда пластина расположена под прямым углом к $B$).

Вывод формулы для $V_{\text{H}} = BI/(ntq)$ (на экзамене требуется полный вывод). Возьмите слой толщиной $d$, на котором возникает напряжение Холла, и толщиной $t$ вдоль направления $B$, так что ток проходит через поперечное сечение $A = dt$. (1) В установившемся состоянии электрическая сила, действующая на носитель, уравновешивает магнитную силу: $qE = Bqv$, следовательно $E = Bv$. (2) Поле Холла равномерно распределено по ширине, поэтому $V_{\text{H}} = Ed = Bvd$. (3) Ток равен $I = nAvq = n\,dt\,vq$, следовательно $v = I/(n\,dt\,q)$. Подставляя выражения: $V_{\text{H}} = Bd \cdot I/(n\,dt\,q) = BI/(ntq)$. Два момента, на которые следует обратить внимание: напряжение возникает между гранями, перпендикулярными магнитной силе, а не торцами, где входит ток; и оно больше для полупроводников, концентрация носителей $n$ которых в миллионы раз меньше, чем у металлов, поэтому датчики используют полупроводниковые слои.

Использование гальванометра. Показание прибора пропорционально $B$, но также зависит от ориентации: оно максимально, когда плоскость слоя перпендикулярна полю, и равно нулю, когда поле лежит в плоскости слоя. Поэтому (1) поверните датчик до получения максимального показания, и (2) калибруйте его в известном поле, поскольку $V_{\text{H}} \propto B$ при постоянном токе.

Разбор примера. Гальванометр показывает максимальное значение $24\ \text{mV}$ в однородном поле с индукцией $32\ \text{mT}$. Во втором поле, после повторной установки датчика на максимум, показание составило $15\ \text{mV}$. Найдите индукцию второго поля.

$V_{\text{H}} \propto B$ (та же щуп, тот же ток): $B = 32 \times 15/24 = 20\ \text{mT}$. Если бы щуп оставили под другим углом, показание было бы меньше, а $B$ занижена, поэтому «вращать для максимума» является частью метода.

Фильтр скоростей

Фильтр скоростей использует пересекающиеся электрическое и магнитное поля, чтобы пропускать только частицы с определенной скоростью. При электрической силе $qE$ и магнитной силе $qvB$, направленных навстречу друг другу, результирующая сила равна нулю только тогда, когда

Частицы со скоростью $E/B$ проходят прямо; более быстрые или медленные отклоняются.

Вывод и объяснение селектора. Магнитная сила, действующая на положительный ион, движущийся через перекрещённые поля, равна $BQv$, направлена под прямым углом к его движению; электрическое поле создаётся так, что электрическая сила $QE$ направлена противоположно (пластины должны быть расположены так, чтобы поле было направлено против магнитной силы). Чтобы ион проходил прямо, $QE = BQv$, следовательно $v = E/B$, независимо от заряда и массы. Более быстрый ион испытывает большую магнитную силу и отклоняется в сторону действия магнитной силы; более медленный отклоняется в другую сторону под действием неизменной электрической силы. На вопрос «объясните, как электрическое поле может заставить частицу достичь точки Z» укажите направление электрической силы, её равенство по модулю магнитной силе и приведите $E = Bv$. Это селекция скорости."

Два длинных параллельных провода находятся в магнитном поле друг друга. Используя правило левой руки Флеминга: параллельные токи (в одном направлении) притягиваются; антипараллельные токи (в противоположных направлениях) отталкиваются. Это лежит в основе определения ампера в СИ.

Объяснение силы (стандартное задание на три балла). (1) Ток в проводе P создаёт вокруг него магнитное поле (окружности с центром на P). (2) В точке Q это поле перпендикулярно току в Q, поэтому Q — проводник с током в магнитном поле — испытывает силу $BIL$. (3) Правило левой руки Флеминга определяет её направление: к P при токах в одном направлении, от P при противоположных. По третьему закону Ньютона сила, действующая на P, равна по модулю и противоположна по направлению, поэтому оба провода притягиваются (или оба отталкиваются) с одинаковой силой. Удвоение тока в одном проводе удваивает силу, действующую на оба: сила на Q возрастает, потому что $I_{\text{Q}}$ увеличилась вдвое, а сила на P — потому что поле, в котором он находится, усилилось вдвое.

Магнитный поток

Магнитный поток $\Phi$ через плоскую площадь $A$, перпендикулярную $B$, равен

Если нормаль к площади составляет угол $\theta$ со $B$, используйте $\Phi = B A \cos\theta$. Единица измерения: вебер, $\text{Wb} = \text{T m}^{2}$. Для катушки из $N$ витков потокосцепление равно $N\Phi = N B A$.

Определения на два балла. Магнитный поток равен произведению магнитной индукции на площадь (контура), перпендикулярную полю. Потокосцепление равно произведению потока на число витков катушки, $N\Phi$, в вебер-витках. Указывать «перпендикулярно» (или «нормально к полю»): $\Phi = BA$ верно только для составляющей площади, перпендикулярной $B$.

Разбор примера. Небольшая катушка из 64 витков и площадью поперечного сечения $0.71\ \text{cm}^{2}$ помещена внутрь длинного соленоида на его оси, где магнитная индукция равна $2.5\ \text{mT}$. Найдите потокосцепление катушки.

Для вычисления потока через катушку используется собственная площадь катушки, а не соленоида: $\Phi = BA = (2.5 \times 10^{-3})(0.71 \times 10^{-4}) = 1.8 \times 10^{-7}\ \text{Wb}$, поэтому потокосцепление равно $N\Phi = 64 \times 1.8 \times 10^{-7} = 1.1 \times 10^{-5}\ \text{Wb}$. При изменении тока в соленоиде ЭДС, индуцированная в малой катушке, равна скорости изменения этого потокосцепления.

Законы Фарадея и Ленца

При изменении потокосцепления в контуре возникает электродвижущая сила (ЭДС) — это явление называется электромагнитной индукцией.

Закон Фарадея: индуцированная ЭДС равна скорости изменения потокосцепления:

Разбор примера. Катушка из $200$ витков и площадью $0.010\ \text{m}^{2}$ расположена так, что её плоскость перпендикулярна полю $0.50\ \text{T}$. Поле равномерно убывает до нуля за время $0.20\ \text{s}$. Найдите среднюю индуцированную ЭДС.

Потокосцепление изменяется от $N\Phi = NBA = 200 \times 0.50 \times 0.010 = 1.0\ \text{Wb}$ до нуля, поэтому

Закон Ленца: индуцированная ЭДС направлена так, чтобы противодействовать изменению, которое её вызвало. Это закон сохранения энергии — если бы она усиливала изменение, энергия появлялась бы из ничего. Объединённая форма записи:

Что изменяет поток?

• изменение $B$ (движение магнита рядом с катушкой),
• изменение площади $A$ (стержень, скользящий по рельсам),
• изменение ориентации (поворот катушки в поле — переменный ток, следующая тема).

Снятие показаний ЭДС с графика потока. Индуцированная ЭДС — это производная (наклон) графика потокосцепления (со знаком минус для закона Ленца). Линейно растущий поток даёт постоянную ЭДС; постоянный поток даёт нулевую ЭДС, какой бы большой ни был сам поток; более быстрое падение даёт ЭДС большего модуля противоположного знака. Задание «Нарисуйте зависимость ЭДС от времени» решается дифференцированием графика потока на глаз, по участкам.

Разбор примера. Катушка из 64 витков, рассмотренная выше, помещена в соленоид, магнитная индукция в котором равномерно возрастает от $0$ до $2.5\ \text{mT}$ за время $40\ \text{ms}$, после чего поддерживается постоянной. Найдите ЭДС, индуцированную в катушке во время роста, и afterwards.

Во время нарастания потокосцепление линейно возрастает до $1.1 \times 10^{-5}\ \text{Wb}$: $\varepsilon = \Delta(N\Phi)/\Delta t = 1.1 \times 10^{-5}/0.040 = 2.8 \times 10^{-4}\ \text{V}$ ($0.28\ \text{mV}$), оставаясь постоянным во время этого процесса. После этого потокосцепление становится постоянным, поэтому ЭДС равна нулю, хотя катушка всё ещё находится в сильном поле: именно изменение потока индуцирует ЭДС.

Разбор примера (отсечение потока). Самолёт с размахом крыльев $60\ \text{m}$ летит горизонтально со скоростью $250\ \text{m s}^{-1}$, где вертикальная составляющая земного магнитного поля составляет $45\ \mu\text{T}$. Найдите ЭДС между концами крыльев.

За время $\Delta t$ крыло описывает площадь $L v \Delta t$, пересекая поток $B L v \Delta t$, следовательно, $\varepsilon = BLv = (45 \times 10^{-6})(60)(250) = 0.68\ \text{V}$. Учитывается только компонента $B$, перпендикулярная описанной площади (в данном случае — вертикальная). Между концами крыльев возникает разность потенциалов, но ток не течёт, так как нет замкнутой цепи; правила Флеминга определяют, какой конец является положительным.

Демонстрации

• перемещение стержневого магнита в катушку вызывает отклонение стрелки гальванометра; при извлечении магнита отклонение меняет знак (закон Ленца), а при быстром движении оно больше (закон Фарадея).

• медный диск, раскачивающийся в магнитное поле, быстро тормозится — в нём индуцируются вихревые токи, которые препятствуют движению.

Электромагнитное торможение, объясняемое законом Ленца. Алюминиевый диск транспортного средства вращается между полюсами электромагнита. Диск пересекает силовые линии поля, поэтому в нём индуцируется ЭДС; поскольку диск является проводником, по нему текут вихревые токи; согласно закону Ленца эти токи создают силы, препятствующие движению диска, тем самым замедляя транспортное средство. Кинетическая энергия преобразуется в тепловую энергию в диске. Торможение сильнее на высокой скорости (больше скорость отсечения потока, значит, больше ток) и ослабевает по мере замедления; оно не может удерживать неподвижное транспортное средство, так как отсутствие движения означает отсутствие индуцированного тока.

Колебания магнита в катушке. Стержневой магнит на пружине колеблется, входя и выходя из катушки, подключённой к резистору. Изменяющееся потокосцепление индуцирует ЭДС; при замкнутой цепи течёт ток, и, согласно закону Ленца, поле катушки препятствует движению магнита, поэтому колебания затухают: энергия уходит из системы в виде тепла на резисторе, а амплитуда уменьшается. Если разомкнуть ключ, ЭДС всё равно будет индуцироваться, но ток течь не будет, поэтому катушка больше не затухает движение.

Что увеличивает индуцированную ЭДС

Из $\varepsilon = N\,d\Phi/dt$ с учётом $\Phi = BA$: большее число витков $N$, более сильное $B$, большая площадь $A$ или более быстрое изменение — каждое из этих условий приводит к увеличению индуцированной ЭДС.

Определение направления по закону Ленца. При приближении северного полюса магнита к катушке индуцированный ток делает ближнюю грань катушки северным полюсом, чтобы оттолкнуть магнит; при удалении магнита ближняя грань становится южным полюсом, чтобы притянуть его. В каждом случае человек, двигающий магнит, совершает работу против этой силы, и эта работа является источником электрической энергии: закон Ленца — это скрытый закон сохранения энергии. Два предложения для запоминания: индуцированная ЭДС направлена так, что создаваемые ею эффекты противодействуют изменению, её вызвавшему (Ленц) и индуцированная ЭДС пропорциональна скорости изменения потокосцепления (Фарадей).

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• Сила на проводник с током $F = BIL\sin\theta$; на движущийся заряд $F = BQv\sin\theta$; направление определяется по правилу левой руки Флеминга, второй палец направлен вдоль обычного тока (противоположно для электрона).
• Заряд, движущийся перпендикулярно $B$, движется по окружности: $BQv = mv^{2}/r$, следовательно, $r = mv/(BQ)$ и $T = 2\pi m/(BQ)$, независимо от скорости. Составляющая $v$ вдоль $B$ остаётся неизменной: траектория представляет собой спираль.
• Перекрёстные поля: частица с зарядом $v = E/B$ проходит без отклонения. Холловский датчик: $V_{\text{H}} = BI/(ntq)$, максимальен, когда пластинка расположена перпендикулярно $B$; используется полупроводник, потому что концентрация носителей $n$ мала.
• Индукция: ЭДС $=$ скорости изменения потокосцепления $N\Phi$ (Фарадей); её направление противодействует изменению (Ленц). На графике зависимости ЭДС от времени ЭДС равна наклону графика: постоянное изменение даёт постоянную ЭДС, отсутствие изменения даёт ноль.
• Срезание потока: $\varepsilon = BLv$ для проводника длиной $L$, движущегося со скоростью $v$ под прямым углом к $B$ (площадь, метаемая в секунду, умноженная на $B$).
• Определения содержат фразы «на единицу тока на единицу длины», «перпендикулярно полю», «площадь, перпендикулярную полю» и «скорость изменения потокосцепления»: каждая из них оценивается баллом.

Распространенные ошибки

• Пропуск фразы «перпендикулярно полю» в определении индукции или определение тессы без указания 1 Н, 1 м, 1 А.
• Использование правой руки для определения силы на проводник с током (вместо правила левой руки) или указание вторым пальцем вдоль движения электрона вместо направления обычного тока.
• Утверждение о том, что неподвижный заряд испытывает магнитную силу, или что заряд, движущийся вдоль линий поля, также испытывает её.
• Объяснение кругового движения без указания на перпендикулярность силы скорости и постоянство её модуля; или утверждение о том, что магнитная сила изменяет скорость заряда.
• Использование площади соленоида вместо площади маленькой катушки при вычислении потокаосцепления.
• Фраза «большой поток индуцирует ЭДС»: ЭДС вызывает только изменяющийся потокосцепление. Катушка, покоящаяся в постоянном поле, не имеет ЭДС.
• Цитирование правила Ленца как «ток противодействует магниту» без фразы «то изменение, которое его вызывает», или закона Фарадея без упоминания «скорости изменения» или «потокосцепления».
• Изображение силовых линий прямого провода в виде равномерно расположенных окружностей или без стрелок; изображение силовых линий соленоида, пересекающихся внутри него.
• Забывание о том, что удвоение тока в одном из двух параллельных проводов удваивает силу, действующую на оба (третий закон Ньютона).