I · Numerical methods

AQA Nível A Matemática 7357, secção I (Métodos numéricos), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas originais de ensino.

Pré-requisitos: avaliação de funções e análise de sinal das secções B e G.

Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.

A pergunta

• A equação x³ − x − 1 = 0 não tem solução algébrica simples, contudo um engenheiro precisa da raiz com quatro casas decimais. Como uma resposta aproximada pode ser PROVADA correta até uma precisão declarada?
• Antes de ler, diga o que uma mudança de sinal indica e o que poderia tornar uma resposta decimal confiável.

O método

• Uma função contínua com sinais opostos em duas extremidades possui uma raiz entre elas. A bissecção divide o intervalo ao meio, mantendo a metade cujas extremidades ainda diferem em sinal; pare se o ponto médio for ele próprio uma raiz.
• Iteração x próximo = g(x) refina uma estimativa a partir de um rearranjo; um limite deve satisfazer L = g(L) e ser verificado na equação original. Newton–Raphson usa x próximo = x − f(x)/f′(x) com derivada não nula. A regra do trapézio estima uma integral definida: (h/2)(y₀ + 2y₁ + … + 2yₙ₋₁ + yₙ).
• Bisseção: Dividir uma faixa de raiz ao meio, mantendo a metade com mudança de sinal; Iteração: Repetir uma atualização x próximo = g(x) a partir da estimativa anterior; Newton–Raphson: Atualização da raiz x próximo = x − f(x)/f′(x); Regra do trapézio: Estimar uma integral somando tiras trapezoidais.

Verificando seu trabalho

• Uma mudança de sinal prova uma raiz apenas onde a função é CONTÍNUA: 1/x muda de sinal ao longo de x = 0 sem ter raiz ali. Relate uma raiz arredondada com seu intervalo, como 1.3247 com quatro casas decimais mostradas por uma mudança de sinal de f em [1.32465, 1.32475], para que a precisão seja provável.
• A iteração pode divergir ou ciclar: verifique as iterações, o domínio e a equação original. A regra do trapézio superestima ou subestima dependendo da curvatura, não de se a função simplesmente aumenta.

Caso resolvido

• Dados: f(x) = x² − 2 e x₀ = 1.5 para Newton–Raphson. f′(x) = 2x, logo x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) = 1.5 − (2.25 − 2)/3 = 1.5 − 0.0833… = 1.4166667. Um segundo passo: f(1.4166667) ≈ 0.0069444, f′ ≈ 2.8333333, logo x₂ ≈ 1.4142157, aproximando-se de √2.

Exemplo:

Estime ∫₀² x² dx com dois trapézios de igual largura e compare com o valor exato, usando a mesma sequência. (Resposta: h = 1, alturas 0, 1, 4, logo A = (1/2)(0 + 2 × 1 + 4) = 3. O valor exato é 8/3 ≈ 2.667 — a curva côncava torna a estimativa uma superestimação.)

Limites e armadilhas

• Cada método tem condições: a bissecção precisa de uma mudança de sinal contínua, Newton precisa de derivada não nula e pode falhar a partir de um início ruim, e |g′(L)| < 1 é uma condição local de convergência suficiente quando g′ é contínua próximo ao ponto fixo L e o valor inicial é suficientemente próximo; não é necessária. Mais faixas melhoram uma estimativa trapezoidal, mas nunca a tornam exata por afirmação.

Atenção:

Toda mudança de sinal prova uma raiz, incluindo uma através de descontinuidade. Esta afirmação é falsa: o raciocínio do teorema dos valores intermediários exige continuidade em todo o intervalo — através de uma assíntota, a função pode saltar de negativo para positivo sem nenhuma raiz.

Chave:

Métodos numéricos: encaixe uma raiz com mudança de sinal contínua e divida ao meio pela bisseção; itere com convergência verificada; Newton-Raphson usa a tangente; a regra trapezoidal estima integrais com a curvatura decidindo a direção do erro.