A · Proof

AQA A-level Mathematics 7357, seção A (Prova), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas de ensino originais.

Pré-requisitos: manipulação algébrica do GCSE.

Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.

A pergunta

• A fórmula n² + n + 41 produz números primos para n = 0, 1, 2, até 39. Um aluno conclui que é sempre primo. Como um único número pode derrubar quarenta confirmações?
• Antes de ler, diga que tipo de argumento poderia validar uma afirmação sobre TODOS os casos, e o que poderia validar uma sobre UM caso específico.

O método

• Uma prova dedutiva parte de definições declaradas e segue logicamente: inteiros ímpares 2a+1 e 2b+1 somam 2(a+b+1), que é par — provado para cada par.
• Um contraexemplo refuta uma afirmação universal com um caso válido de falha: em n = 41, o valor é 41 × 43 = 1763, não primo. Uma demonstração por contradição assume a negação e deriva uma impossibilidade: se √2 = p/q em termos mínimos, então p² = 2q² força p par, e escrevendo p = 2r força q par também — contradizendo termos mínimos, logo √2 é irracional.
• dedução: provar uma afirmação por passos lógicos a partir de fatos aceitos; contraexemplo: um único caso válido que desprova uma afirmação universal; contradição: assumir a negação e derivar uma impossibilidade.

Verificando seu trabalho

• Verificar n = 0, 1, 2, …, 39 é forte evidência, mas não uma prova: a afirmação refere-se A TODOS os inteiros positivos. Uma prova deve cobrir todos os casos de uma vez — por álgebra geral, por exaustão de uma lista finita completa ou por contradição.
• Antes de aceitar uma prova, verifique sua estrutura: ela parte de premissas e não da conclusão? A contradição ataca a premissa declarada? Verificar exemplos confirma a aritmética, mas não substitui o argumento geral.

Caso resolvido

• Conhecido: o contraexemplo candidato n = 41. Substituição: n² + n + 41 = 41² + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 × 43 = 1763. O valor tem um fator de 41, logo não é primo — um caso falho basta para refutar a afirmação universal (n = 40, resultando em 1681 = 41², também falha).

Exemplo:

Teste se a soma de dois números pares é sempre par usando dedução: escreva os dois números como 2a e 2b e mostre a estrutura. (Resposta: 2a + 2b = 2(a + b), que é múltiplo de 2, logo par para todo par — sem necessidade de exemplos.)

Limites e armadilhas

• Cada método tem uma forma exigida: dedução precisa de variáveis gerais, exaustão precisa de uma lista genuinamente completa de casos, e contradição precisa que a impossibilidade decorra diretamente da negação. Uma prova sobre inteiros não cobre automaticamente números reais, e uma identidade provada para todos os valores difere de uma equação verdadeira apenas em soluções particulares.

Atenção:

Verificar uma afirmação para os primeiros cem inteiros prova-a para todo inteiro positivo. Esta afirmação é falsa: uma amostra finita é evidência, nunca prova — n² + n + 41 resiste a 40 verificações (n = 0 a 39) e falha na 41ª (n = 40 resulta em 1681 = 41²), portanto apenas um argumento geral ou um contraexemplo define uma afirmação universal.

Chave:

Prova: dedução works das definições com variáveis gerais; um contraexemplo anula uma afirmação universal com um caso; contradição assume a negação e deriva uma impossibilidade. Exemplos verificam e refutam — nunca provam algo universal.