AQA Nível A Matemática 7357, secção G (Diferenciação), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas de ensino originais.
Pré-requisitos: manipulação algébrica e notação de função da secção B.
Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.
7.2
Diferenciação
A pergunta
A curva de distância-tempo de um carro continua se curvando, então nenhuma única "velocidade" se aplica a toda a jornada — contudo o velocímetro mostra um único número agora. O que esse número significa geometricamente?
Antes de ler, diga como a inclinação da tangente difere da velocidade média entre dois tempos.
O método
A derivada é o limite do quociente de diferença [f(x+h) − f(x)]/h quando h → 0: a inclinação da tangente e a taxa instantânea. Para y = axⁿ, dy/dx = anxⁿ⁻¹; as formas trigonométricas e exponenciais seguem: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, em radianos.
Um ponto estacionário tem dy/dx = 0; classifique-o pela mudança de sinal da derivada ou pelo sinal da segunda derivada (positivo: mínimo local; negativo: máximo local). As regras da cadeia, do produto e do quociente tratam formas compostas, mantendo todo fator de taxa interna.
derivada: A taxa instantânea de variação, a inclinação da tangente; ponto estacionário: Um ponto onde a derivada é zero; segunda derivada: A derivada da derivada, medindo como a inclinação muda.
f′(x) = 0 encontra os candidatos; f″ os classifica. A derivada é o limite das inclinações das secantes quando h → 0
Verificando seu trabalho
Uma derivada zero é apenas um candidato: y = x³ é estacionária em 0 mas continua subindo, então a classificação exige a mudança de sinal ou f″. Em um intervalo restrito, compare também os valores dos limites — o extremo global pode estar numa extremidade.
Após diferenciar um produto como xeˣ, verifique em uma entrada fácil: a regra do produto dá eˣ + xeˣ, que em x = 0 vale 1, não 0. Multiplicar as derivadas separadas daria o valor errado ali.
Caso resolvido
Conhecido: y = x³ − 3x, logo dy/dx = 3x² − 3. Estacionário onde 3x² − 3 = 0: x = ±1. A segunda derivada é 6x: em x = 1 é 6 > 0, logo (1, −2) é um mínimo local; em x = −1 é −6 < 0, logo (−1, 2) é um máximo local.
Exemplo:
Para y = x³ − 3x em x = 2, encontre as equações da tangente e da normal usando a mesma sequência: ponto de f → inclinação de f′ → equações da reta. (Resposta: y = 2 em x = 2 e a inclinação é 9, logo a tangente é y − 2 = 9(x − 2) e a normal é y − 2 = −(1/9)(x − 2).)
Limites e armadilhas
A derivada fornece a inclinação, não a coordenada y — o ponto vem sempre da curva original. Uma tangente horizontal (inclinação 0) tem uma normal vertical, expressa como x = constante, pois o recíproco negativo de zero não existe.
Atenção:
Todo ponto com derivada zero é um máximo ou mínimo local. Esta afirmação é falsa: y = x³ tem dy/dx = 0 em x = 0 mas a derivada 3x² permanece positiva de ambos os lados — um ponto de inflexão estacionário, sem nenhum extremo.
Chave:
Diferenciação: a derivada é o limite da inclinação da secante, fornecendo a inclinação da tangente e a taxa. Os candidatos estacionários vêm de f′ = 0 e são classificados pela mudança de sinal ou f″; tangentes e normais usam o ponto de f e a inclinação de f′.
