Product and quotient rules with retained exclusions
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| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | regra do quociente |
Ambos os fatores em uma área variável podem mudar. Por que multiplicar suas derivadas separadas perde a maior parte da taxa?
- Ambos os fatores em uma área variável podem mudar. Por que multiplicar suas derivadas separadas perde a maior parte da taxa?
- Esta aula estuda regra do quociente: A regra para diferenciar uma razão de duas funções variáveis quando o denominador é diferente de zero.
Escolha a estrutura matemática
- Para u,v diferenciáveis, (uv)′=u′v+uv′. Para v≠0, (u/v)′=(u′v−uv′)/v². A regra do produto tem duas contribuições: mudança em qualquer fator enquanto o outro fornece seu valor atual. A regra do quociente usa a derivada do numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre v².
- Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Which description correctly defines quotient rule?
The rule for differentiating a ratio of two changing functions when the denominator is nonzero.
Passe por um caso verificado
- Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Para y=x²e^x, y′=2xe^x+x²e^x=e^x(x²+2x), então y′(1)=3e. Para z=(x²+1)/(x−1), x≠1, z′=[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)²; em x=2 vale −1. Divisão polinomial dá z=x+1+2/(x−1), logo z′=1−2/(x−1)², uma verificação independente. Para w=(x²−1)/(x−1), x≠1, cancelamento resulta em w=x+1 e w′=1 apenas naquele domínio original. O ponto ausente em x=1 não é restaurado; sua extensão contínua seria uma função diferente.
Product and quotient rules with retained exclusions
For differentiable u,v, (uv)′=u′v+uv′
Choose the derivative rule and preserve every coefficient, inner rate and input restriction.
For x²e^x, find its derivative at x=0.
e⁰(0²+2×0)=0.
Teste um atalho tentador
- Multiplicar u′v′ não é a derivada de uv. Inverter o numerador do quociente inverte seu sinal. O denominador ao quadrado não elimina o polo ou buraco original. Simplificar antes de diferenciar pode ajudar, mas deve preservar as exclusões. Um ponto estacionário do quociente também deve pertencer ao domínio original.
- Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Cancelar um fator de um quociente automaticamente restaura todas as entradas excluídas. Essa afirmação é falsa. Explique qual definição ou pressuposto ela viola.
For the worked z, find z′(2).
(4−4−1)/(2−1)²=−1.
Cancelling a factor from a quotient automatically restores every excluded input.
Multiplying u′v′ is not the derivative of uv. Reversing the quotient numerator flips its sign. The squared denominator does not eliminate the original pole or hole. Simplifying before differentiating can help, but it must preserve exclusions. A stationary quotient point must also lie in the original domain.
Interprete uma nova situação
- Nomeie u,v e escreva u′,v′ antes da substituição. Mantenha parênteses em ambos os termos do numerador do quociente até a expansão completa. Fatorize a derivada de um produto apenas após coletar ambas as contribuições. Compare uma forma expandida ou dividida quando disponível e substitua no domínio original antes de avaliar ou resolver y′=0.
- Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
For w=(x²−1)/(x−1), find w′(2).
Cancellation gives x+1 only for x≠1; its derivative at the allowed input 2 is 1.
Match each part of a complete solution to its purpose.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question.
Use isso em seu curso
- 7357 · A-level · G. Combine o nível-alvo e a especificação antes de atribuir extensões.
- Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
A regra para diferenciar uma razão de duas funções variáveis quando o denominador é diferente de zero. Escolha a relação, mostre o método, verifique seus pressupostos e interprete o resultado.