Uma amostra reduz à metade a cada 3.5 horas, mas o laboratório precisa do nível em 5 horas — nenhuma tabela fornece isso. Como uma única fórmula substitui a tabela ausente?
Antes de ler, diga qual é a entrada necessária para o modelo y = Ae^(kt) e como um gráfico logarítmico pode recuperar k a partir dos dados.
O método
Em y = Ae^(kt), A é a quantidade inicial e k é a taxa proporcional: positiva para crescimento, negativa para decaimento. A meia-vida é ln 2/|k|; o tempo de duplicação é ln 2/k.
O logaritmo é a inversa da exponencial: y = a^x significa x = log_a y, definido apenas para y positivo. As leis dos logaritmos derivam das leis dos expoentes: log(uv) = log u + log v, log(u/v) = log u − log v, log(uᵏ) = k log u. Resolver a^x = b resulta em x = ln b / ln a. Plotar ln y contra t transforma y = Ae^(kt) na reta ln y = ln A + kt.
meia-vida: O tempo necessário para que uma quantidade decrescente caia até a metade de seu valor inicial; logaritmo: O expoente ao qual uma base especificada deve ser elevada para produzir um número positivo dado.
Exponenciais e logaritmos são funções inversas; ln y contra t é uma reta, e a meia-vida é ln 2 / 0.2 ≈ 3.47 horas
Verificando seu trabalho
Um ajustamento exponencial é um modelo: verifique sua unidade de tempo declarada e intervalo antes de prever, e compare uma previsão com uma medição recente (um resíduo) antes de confiá-la. Um k negativo indica decaimento; uma quantidade inicial negativa geralmente contradiz o contexto.
Em equações logarítmicas, registre primeiro o domínio original: todo argumento de todo logaritmo deve ser positivo, portanto os candidatos produzidos após combinar logaritmos devem ser verificados contra ele.
Caso resolvido
Conhecido: y = 80e^(−0.2t), y em gramas, t em horas. Metade da quantidade significa 40 = 80e^(−0.2t), logo e^(−0.2t) = 1/2. Aplicando ln: −0.2t = −ln 2, logo t = ln 2/0.2 ≈ 3.466 horas. O mesmo k fornece a meia-vida para qualquer quantidade inicial.
Exemplo:
Resolva 3^x = 20 usando a mesma sequência: tire logaritmos → aplique a lei da potência → divida → interprete. (Resposta: x ln 3 = ln 20, logo x = ln 20/ln 3 ≈ 2.727. Verificação: 3^2.727 ≈ 20.)
Limites e armadilhas
As leis dos logaritmos aplicam-se apenas a argumentos positivos; ln(x + y) NÃO possui lei da soma (ln 2 + ln 3 = ln 6 ≠ ln 5). O modelo exponencial exige que sua unidade de tempo coincida com k; uma taxa anual efetiva de 10% significa k = ln 1.1, não k = 0.1.
Atenção:
Para x e y positivos, ln(x + y) = ln x + ln y. Esta afirmação é falsa: a lei do produto é ln(xy) = ln x + ln y; não há lei para uma soma dentro de um logaritmo, como mostra x = y = 1 (ln 2 ≈ 0.69 mas ln 1 + ln 1 = 0).
Chave:
Exponenciais e logaritmos: y = Ae^(kt) com meia-vida ln 2/|k|; logs invertem exponenciais, seguem as leis do produto/quociente/potência e transformam um ajuste exponencial em uma reta. Verifique domínios e unidades antes de resolver.
Aulas interativas sobre este tópico
Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.
