A pergunta
- A seção transversal de uma antena parabólica e a borda de uma roda são ambos círculos, mas apenas a borda pode ser escrita como (x − a)² + (y − b)² = r² com um centro legível à vista. O que essa equação oferece?
- Antes de ler, diga o que os parâmetros a, b e r controlam individualmente, e como uma direção tangente poderia ser encontrada sem diferenciação.
O método
- Uma reta passando por (x₁, y₁) com coeficiente angular m é y − y₁ = m(x − x₁). Retas paralelas compartilham m; coeficientes angulares finitos perpendiculares satisfazem m₁ × m₂ = −1.
- Um círculo com centro (a, b) e raio r é (x − a)² + (y − b)² = r². O raio até um ponto de contato é perpendicular à tangente ali, logo o coeficiente angular da tangente é o recíproco negativo do raio. Um diâmetro subtende um ângulo reto na circunferência.
- coeficiente angular: A variação em y por unidade de variação em x; círculo: O conjunto de pontos a uma distância fixa de um centro; tangente: Uma reta que toca o círculo em um único ponto, perpendicular ao raio ali.
*Coeficiente angular do raio 4/3 e coeficiente angular da tangente −3/4 multiplicam-se em −1: retas perpendiculares
Verificando seu trabalho
- Verifique se um ponto proposto pertence ao círculo substituindo-o em (x − a)² + (y − b)² = r² antes de construir uma tangente nele. Complete o quadrado para resgatar o centro da forma expandida x² + y² + px + qy + s = 0 — e ajuste também o lado direito.
- Intersecione uma reta com a circunferência por substituição: raiz repetida indica tangência, duas raízes indicam uma corda e discriminante negativo significa que não há interseção.
Caso resolvido
- Conhecido: a circunferência x² + y² = 25 e o ponto (3, 4) sobre ela (3² + 4² = 25 ✓). O raio de (0, 0) a (3, 4) tem inclinação 4/3, logo a inclinação da tangente é −3/4 pois m₁ × m₂ = −1. A tangente é y − 4 = −(3/4)(x − 3), que se reorganiza para 3x + 4y = 25.
Exemplo:
Encontre o centro e o raio de x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 usando a mesma sequência: agrupe os termos → complete quadrados em cada um → leia a forma padrão. (Resposta: (x − 2)² + (y + 1)² = 25, portanto o centro é (2, −1) e o raio é 5; note que os sinais dos parênteses se invertem no centro.)
Limites e armadilhas
- A regra do recíproco negativo exige inclinações finitas e não nulas; um raio horizontal resulta em uma tangente vertical, expressa como x = constante. Uma corda bissectada por uma perpendicular ao centro é atalho de triângulo retângulo: metade da corda, raio e distância ao centro obedecem ao Pitágoras.
Atenção:
A tangente num ponto da circunferência tem a mesma inclinação do raio até esse ponto. Esta afirmação é falsa: o raio e a tangente são perpendiculares no ponto de contato, logo suas inclinações multiplicam-se para −1 — em (3, 4), o raio tem 4/3 e a tangente tem −3/4.
Chave:
Geometria analítica: retas por ponto-inclinação, circunferências por (x − a)² + (y − b)² = r². Tangentes usam a relação de perpendicularidade ao raio; interseções usam substituição e o discriminante.