Chain, product, quotient and implicit differentiation
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| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | regra da cadeia |
Does the inside expression change too?
- A cost curve is a power of a changing expression. Differentiating the outer power alone misses the rate of its input.
- This lesson studies chain rule 链式法则: The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function.
A expressão interna também muda?
- Uma curva de custo é uma potência de uma expressão variável. Diferenciar apenas a potência externa ignora a taxa de sua entrada.
- Esta aula estuda a regra da cadeia: a regra que multiplica a derivada externa pela derivada interna para uma função composta.
Choose the mathematical structure
- For y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). For uv, differentiate to u prime v+uv prime. For u/v, use (u prime v-uv prime)/v², where v≠0.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Escolha a estrutura matemática
- Para y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). Para uv, diferencie para u prime v+uv prime. Para u/v, use (u prime v-uv prime)/v², onde v≠0.
- Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Which description correctly defines chain rule?
The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. At x=0, the gradient is 12. For x²+y²=25, differentiate implicitly: 2x+2y y prime=0, so y prime=-x/y when y≠0.
Passe por um caso verificado
- Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Para y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. Em x=0, a inclinação é 12. Para x²+y²=25, diferencie implicitamente: 2x+2y y prime=0, então y prime=-x/y quando y≠0.
Chain, product, quotient and implicit differentiation
For y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x)
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find the derivative of (3x+1)^4 at x=0.
Chain rule gives 4(3x+1)³×3; at zero this is 12.
Test a tempting shortcut
- A derivative of a product is not the product of the derivatives. In implicit differentiation, every differentiated function of y brings a dy/dx factor. A quotient's denominator is squared.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
The derivative of u(x)v(x) is always u prime times v prime. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Teste um atalho tentador
- A derivada de um produto não é o produto das derivadas. Na diferenciação implícita, toda função diferenciada de y traz um fator dy/dx. O denominador de um quociente é elevado ao quadrado.
- Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
A derivada de u(x)v(x) é sempre u prime vezes v prime. Esta afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
For x²+y²=25, find dy/dx at (3,4).
Implicit differentiation gives 2x+2y y prime=0, so y prime=-3/4.
The derivative of u(x)v(x) is always u prime times v prime.
A derivative of a product is not the product of the derivatives. In implicit differentiation, every differentiated function of y brings a dy/dx factor. A quotient's denominator is squared.
Interpret a new situation
- Choose a useful form before differentiating: expanding a short polynomial may be simpler. For related rates, write the relation in symbols, differentiate with respect to time, then substitute measured values.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete uma nova situação
- Escolha uma forma útil antes de diferenciar: expandir um polinômio curto pode ser mais simples. Para taxas relacionadas, escreva a relação em símbolos, diferencie em relação ao tempo e substitua os valores medidos.
- Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
For y=xe^x, find dy/dx at x=0.
Product rule gives e^x+xe^x; at zero this is 1.
Match each part of a complete solution to its purpose.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question.
Use this in your course
- 7357 · A-level · G. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use isso em seu curso
- 7357 · A-level · G. Combine o nível-alvo e a especificação antes de atribuir extensões.
- Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
A regra que multiplica a derivada externa pela derivada interna para uma função composta. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.