D · Sequences and series

AQA A-level Mathematics 7357, secção D (Sequências e séries), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas originais de ensino.

Pré-requisitos: sequências aritméticas e equações simultâneas do GCSE.

Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.

A pergunta

• Um poupador deposita a mesma quantia todos os anos enquanto um investimento cresce na mesma percentagem anualmente. Após oito anos, qual saldo pode ser totalizado exatamente numa única linha?
• Antes de ler, diga qual das duas cresce por adição e qual por multiplicação, e o que cada fórmula de soma requer.

O método

• Uma sequência aritmética adiciona uma diferença constante: uₙ = a + (n − 1)d. Sua série soma pareando extremos: Sₙ = n(a + uₙ)/2. Uma sequência geométrica multiplica por uma razão constante: uₙ = arⁿ⁻¹, com Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) para r ≠ 1.
• Uma soma geométrica infinita existe apenas quando |r| < 1, pois os termos diminuem tendendo a zero: S∞ = a/(1 − r). Uma relação de recorrência define cada termo pelo anterior e precisa de um valor inicial; uma sequência periódica repete após um número fixo de passos.
• Sequência aritmética: sequência com diferença constante entre termos; sequência geométrica: sequência com razão constante entre termos; relação de recorrência: regra que dá cada termo pelo valor precedente; sequência periódica: sequência cujos termos se repetem após um número fixo de passos.

Verificando seu trabalho

• Recupere a e d de dois termos declarados usando equações simultâneas antes de aplicar fórmula: u₃ = 10 e u₇ = 22 resultam em 4d = 12, logo d = 3 e a = 4. A contagem de termos deve resultar em inteiro positivo; frações ou raízes negativas são rejeitadas, nunca arredondadas para o lugar.
• Verifique uma soma alegada diretamente contra os primeiros termos e valide um alvo mínimo contra os inteiros EM AMBOS os lados da travessia.

Caso resolvido

• Conhecido: a = 5, d = 3, n = 8. O oitavo termo é u₈ = 5 + 7 × 3 = 26. A soma é S₈ = n(a + uₙ)/2 = 8(5 + 26)/2 = 124. Cada um dos quatro pares extremos totaliza 31, e 4 × 31 = 124 ✓.

Exemplo:

Para a = 12, r = 0.5, encontre a soma infinita e o primeiro n cuja soma parcial exceda 23.9, usando a mesma sequência: conhecido → fórmula → substituição → verificação inteira. (Resposta: S∞ = 12/(1 − 0.5) = 24. As somas parciais são Sₙ = 24(1 − 0.5ⁿ): S₇ = 24(1 − 1/128) = 23.8125 < 23.9 e S₈ = 24(1 − 1/256) = 23.90625 ≥ 23.9, logo n = 8.)

Limites e armadilhas

• A fórmula da soma infinita é inválida em r = 1 ou r = −1, onde os termos não diminuem; uma razão negativa converge se sua MAGNITUDE for inferior a 1. Uma relação de recorrência preserva exatamente a ordem da operação: B próximo = 1.1B + 50 difere de 1.1(B + 50).

Atenção:

Toda série geométrica tem soma finita no infinito. Esta afirmação é falsa: a soma existe apenas quando |r| < 1. Em r = 2, os termos crescem sem limite, e em r = −1, as somas parciais oscilam eternamente — nenhuma converge.

Chave:

Sequências e séries: aritmética adiciona (pareie as extremidades para somar), geométrica multiplica (Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r) e S∞ = a/(1−r) apenas para |r| < 1). Recupere parâmetros dos termos dados e exija respostas inteiras para contagens.