B · Algebra and functions

AQA A-level Mathematics 7357, secção B (Álgebra e funções), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas de ensino originais.

Pré-requisitos: Álgebra do GCSE: índices, radicais, fatoração e resolução de quadráticas.

Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.

A pergunta

• Dois alunos resolvem x² − 4x + 1 = 0. Um completa o quadrado e obtém respostas exatas; o outro substitui na fórmula e arredonda cedo, desviando-se em décimos. O que separa um método exato de um que deriva?
• Antes de continuar, diga que informação cada método de solução precisa e como você verificaria uma resposta final.

O método

• Uma equação quadrática pode ser resolvida por fatoração, completar o quadrado (a(x − h)² + k dando vértice (h, k)) ou pela fórmula. O discriminante b² − 4ac conta as raízes reais antes de qualquer resolução.
• A function assigns each input of its domain exactly one output. An inverse exists only if the function is one-to-one on its domain — restrict x² to x ≥ 0 first. Composition fg(x) = f(g(x)) applies g first, and fg and gf generally differ. Graph transformations read from the factored form a·f(b(x − h)) + k: scale by 1/b and a, then shift by h and k.
• completando o quadrado: Reescrever um quadrático na forma a(x−h)²+k para identificar o vértice e resolver exatamente; discriminante: A quantidade b²−4ac que determina quantas raízes reais existem; função: Uma regra que atribui exatamente uma saída para cada entrada permitida; domínio: O conjunto de entradas permitidas de uma função.

Verificando seu trabalho

• Verifique todas as soluções candidatas na equação ORIGINAL, especialmente após elevar ao quadrado (o que pode introduzir raízes falsas) ou dividir por uma expressão (o que pode perder o caso zero). Mantenha os radicais exatos até o arredondamento solicitado; arredondar no meio do cálculo é como perder uma décima.
• Para uma suposta inversa, verifique se f(f⁻¹(x)) = x no domínio da inversa, e declare esse domínio explicitamente — a inversa de x² existe apenas em um ramo restrito.

Caso resolvido

• Dado: x² − 4x + 1 = 0. Complete o quadrado: (x − 2)² − 4 + 1 = 0, logo (x − 2)² = 3. Rearranjando: x − 2 = ±√3. Substituindo, obtemos x = 2 + √3 ≈ 3.732 ou x = 2 − √3 ≈ 0.268. Verificação: (2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 7 − 4√3 − 8 + 4√3 + 1 = 0 ✓.

Exemplo:

Para f(x) = x² − 4 com domínio x ≥ 0, encontre a inversa e seu domínio usando a mesma sequência: relação dada → rearranjar → selecionar o ramo → declarar domínio e imagem. (Resposta: partindo de y = x² − 4, tem-se x = √(y + 4) usando o ramo x ≥ 0, assim f⁻¹(x) = √(x + 4) com domínio x ≥ −4 e imagem y ≥ 0.)

Limites e armadilhas

• A fórmula sempre funciona, mas formas exatas são preferíveis quando as raízes são radicais; um decimal é uma aproximação. A composição depende da ordem, e um gráfico transformado deve ser verificado acompanhando um ponto conhecido, não apenas pela fórmula.

Atenção:

A função f(x) = x² possui inversa sobre todos os números reais. Esta afirmação é falsa: duas entradas compartilham cada saída (2 e −2 ambas resultam em 4), então a correspondência reversa não é uma função — o domínio deve primeiro ser restringido, por exemplo, para x ≥ 0, resultando em f⁻¹(x) = √x.

Chave:

Álgebra e funções: complete o quadrado ou use a fórmula com o discriminante como contador de raízes; verifique as candidatas na equação original. Funções precisam de domínios declarados; inversas exigem ramos injetivos, e transformações gráficas leem-se da forma fatorada.