H · Integration

AQA Nível A Matemática 7357, seção H (Integração), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas originais de ensino.

Pré-requisitos: diferenciação da seção G.

Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.

A pergunta

• O gráfico de velocidade de um corredor desce abaixo do eixo do tempo por algum tempo, depois sobe novamente. A "área sob a curva" é quase zero — o corredor não andou?
• Antes de ler, diga o que significa área assinada e como a distância total difere do deslocamento.

O método

• Integração inverte a diferenciação: uma primitiva de axⁿ é axⁿ⁺¹/(n+1) + C para n ≠ −1, enquanto 1/x integra para ln|x| + C. Uma integral definida de a até b é acumulação assinada: F(b) − F(a).
• A área assinada cancela onde a curva cruza o eixo, então a área positiva total precisa da integral DIVIDIDA em cada cruzamento. O Teorema Fundamental conecta ambas as direções: diferenciar uma função de acumulação retorna o integrando.
• primitiva: Uma função cuja derivada é o integrando dado; integral definida: A acumulação assinada de uma função entre dois limites; Teorema Fundamental: A ligação bidirecional em que diferenciar a função de acumulação devolve o integrando.

Verificando seu trabalho

• Verifique cada primitiva derivando-a novamente e mantenha a constante C para integrais indefinidas — um ponto fornecido a fixa. O caso n = −1 é separado: 1/x integra-se em ln|x|, nunca usando a regra da potência com divisão por zero.
• Antes de calcular a área total, encontre as mudanças de sinal do integrando no intervalo e separe-o ali; uma velocidade com mudança de sinal torna o deslocamento e a distância total respostas diferentes.

Caso resolvido

• Known: v(t) = 3t² − 3 for 0 ≤ t ≤ 2. An antiderivative is t³ − 3t. Displacement = [t³ − 3t] from 0 to 2 = (8 − 6) − 0 = 2 m. But v = 0 at t = 1, so total distance = −[t³ − 3t] from 0 to 1 + [t³ − 3t] from 1 to 2 = 2 + 4 = 6 m.

Exemplo:

Encontre a área entre y = x² e o eixo x de 0 a 1, depois a estimativa do retângulo de extremo direito com 4 tiras, usando a mesma sequência. (Resposta: integral exata ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.333; a estimativa é (1/4)(1/16 + 1/4 + 9/16 + 1) = 15/32 ≈ 0.469, uma superestimação para esta curva côncava crescente.)

Limites e armadilhas

• A integral é o limite das somas de retângulos; uma contagem finita de tiras apenas a estima, e o erro depende da curvatura. Não integre através de uma descontinuidade como 1/x em x = 0, e lembre-se que a área assinalada pode ser zero enquanto a área total é positiva.

Atenção:

Uma integral definida nem sempre é igual à área total positiva entre a curva e o eixo. Esta afirmação é falsa: a integral é ASSINALADA — regiões abaixo do eixo contam negativamente, assim o deslocamento pode ser pequeno ou zero enquanto a distância total percorrida é grande.

Chave:

Integração: primitivas verificadas por derivação, com C fixado por um ponto fornecido; integrais definidas são acumulação assinalada F(b) − F(a); a área total exige separação em cada mudança de sinal, e o Teorema Fundamental liga a acumulação ao integrando.