E · Trigonometry

AQA A-level Mathematics 7357, secção E (Trigonometria), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas de ensino originais.

Pré-requisitos: trigonometria de triângulos retângulos do GCSE e valores exatos.

Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.

A pergunta

• Dois alunos recebem A = 30°, a = 7 e b = 10. Um relata um triângulo; o outro insiste que há dois, ambos retos. Que informação separa os casos?
• Antes de ler, diga qual regra pareia lados com ângulos opostos e que verificação extra uma resposta de arco-seno exige.

O método

• No círculo unitário, o ponto no ângulo θ é (cos θ, sin θ), então os sinais seguem o quadrante e os valores exatos vêm dos triângulos 30-60-90 e 45-45-90. Um radiano é o ângulo cujo arco é igual ao raio: s = rθ e área do setor = r²θ/2 exigem radianos.
• A lei dos senos pareia lados opostos e ângulos: a/sin A = b/sin B. A lei dos cossenos a² = b² + c² − 2bc cos A usa o ângulo oposto a a. No caso ambíguo, sin B = b sin A / a pode dar B ou seu suplemento 180° − B — ambos devem ser testados contra o ângulo restante.
• círculo unitário: O círculo de raio 1 no qual (cos θ, sin θ) é o ponto no ângulo θ; radiano: O ângulo subtendido por um arco de comprimento igual ao raio; lei dos senos: A regra a/sin A = b/sin B que pareia lados opostos e ângulos; lei dos cossenos: A regra a² = b² + c² − 2bc cos A; caso ambíguo: A situação da lei dos senos onde dois triângulos podem se ajustar aos mesmos dados.

Verificando seu trabalho

• Escolha a regra baseada nas informações conhecidas: um par lado-ângulo correspondente exige a lei dos senos; dois lados com o ângulo INCLUÍDO, ou três lados, exigem a lei dos cossenos. Para área, ab sin C / 2 precisa do ângulo ENTRE a e b.
• Teste cada ângulo candidato: o ângulo restante C = 180° − A − B deve ser positivo e todos os lados positivos. O arco-seno da calculadora retorna apenas o valor principal agudo — o suplemento é um candidato separado.

Caso resolvido

• Conhecido: lados 6 e 8 fecham 60°. Use a lei dos cossenos: c² = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos 60° = 36 + 64 − 96 × 0.5 = 52. Então c = √52 = 2√13 ≈ 7.21. A área é (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3/2) = 12√3.

Exemplo:

Para A = 30°, a = 7, b = 10, encontre os possíveis valores de B usando a mesma sequência: conhecido → lei dos senos → ambas as ramificações → verificação de validade. (Resposta: sin B = 10 × sin 30°/7 = 5/7, então B ≈ 45.6° ou B ≈ 180° − 45.6° = 134.4°. Ambos deixam um terceiro ângulo positivo, então DOIS triângulos se encaixam.)

Limites e armadilhas

• O caso ambíguo precisa da contagem: com h = b sin A e A agudo, a < h não tem solução, a = h um triângulo reto, h < a < b duas soluções, e a ≥ b uma solução. Equações trigonométricas em um intervalo devem listar todas as soluções: sin x = 1/2 em [0, 2π) tem tanto π/6 quanto 5π/6.

Atenção:

O valor do arco-seno da calculadora é o único ângulo possível em um problema da lei dos senos. Esta afirmação é falsa: o seno é positivo em dois quadrantes, então o suplemento 180° − B é um segundo candidato e deve ser verificado, o que é exatamente o caso ambíguo.

Chave:

Trigonometria: círculo unitário para valores e sinais, radianos para arcos e setores, lei dos senos com seu caso ambíguo, lei dos cossenos para ângulos incluídos e ab sin C / 2 para área — sempre com verificação de validade no ângulo restante.