J · Vectors

AQA Nível A Matemática 7357, secção J (Vetores), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas originais de ensino.

Pré-requisitos: geometria analítica da secção C e Pitágoras.

Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.

A pergunta

• Um drone voa de A(1, 2) para B(5, 5), mas o software da missão pede também o trajeto de retorno. Qual única fórmula fornece tanto o deslocamento de ida quanto seu reverso exato?
• Antes de ler, diga o que um vetor de deslocamento precisa além de uma distância, e como o trajeto de retorno difere.

O método

• Um vetor possui magnitude e direção. Vetores posição localizam pontos a partir de uma origem; o deslocamento de A para B é AB = b − a, e BA = −AB inverte-o. Some e subtraia componentes; um múltiplo escalar mantém o vetor paralelo.
• O produto escalar a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b| cos θ mede o ângulo: vetores perpendiculares têm a·b = 0, e a·a = |a|². A magnitude vem de Pitágoras: |(4, 3)| = 5.
• Vetor: Uma grandeza com magnitude e direção; Deslocamento: O vetor de um ponto a outro, b − a; Produto escalar: A soma dos produtos das componentes, igual a |a||b| cos θ.

Verificando seu trabalho

• Mantenha a ordem da subtração: BA = −AB, então trocar as extremidades inverte cada componente. Uma alegação de paralelismo exige uma relação de múltiplo escalar entre os vetores; um esboço isolado não é uma prova.
• Para colinearidade de três pontos, mostre que dois deslocamentos são paralelos E compartilham um ponto comum; vetores paralelos em locais diferentes nada provam sobre uma única linha.

Caso resolvido

• Conhecido: a = (4, 1) e b = (1, 3). O produto escalar é a·b = 4 × 1 + 1 × 3 = 7. As magnitudes são |a| = √17 e |b| = √10, logo cos θ = 7/(√17 × √10) ≈ 0.537, resultando em θ ≈ 57.5°. Como a·b ≠ 0, os vetores não são perpendiculares.

Exemplo:

Com A(1, 2) e B(5, 5), encontre o deslocamento AB, sua magnitude e o deslocamento de retorno, usando a mesma sequência. (Resposta: AB = (5, 5) − (1, 2) = (4, 3); |AB| = (4² + 3²) = 5; BA = (−4, −3), mesma magnitude na direção oposta.)

Limites e armadilhas

• Um vetor responde "quanto e qual direção"; uma distância é apenas um escalar. O produto escalar considera a direção: é maior quando os vetores se alinham, zero quando perpendiculares e negativo quando se opõem.

Atenção:

AB e BA têm os mesmos componentes. Esta afirmação é falsa: BA = −AB inverte cada componente — de B de volta a A é (−4, −3), não (4, 3). Apenas as magnitudes coincidem.

Chave:

Vetores: deslocamento = final − inicial, invertido pelo trajeto de retorno; componentes somam-se; múltiplos escalares permanecem paralelos; o produto escalar dá o ângulo, com perpendicularidade exatamente em a·b = 0.