Limites e Continuidade

Por que isso importa. Há cerca de 2,400 anos, o pensador grego Zenão argumentou que uma corredora nunca poderia terminar uma corrida: primeiro ela teria de percorrer metade da distância, depois metade do que restou, depois metade disso, para sempre. Segundo ele, uma quantidade infinita de etapas não poderia ser concluída. A resposta levou mais de dois mil anos: as distâncias $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots$ ficam tão próximas de $1$ quanto quisermos, portanto seu limite é exatamente $1$. Newton e Leibniz construíram o cálculo com base nessa ideia entre as décadas de 1660 e 1680, e Augustin-Louis Cauchy deu a ela uma definição rigorosa em 1821. Toda derivada e toda integral neste curso é um limite.

Cálculo é a matemática da mudança e do acúmulo. Ele responde duas grandes perguntas: quão rápido algo está mudando agora, e quanto se acumulou até agora? A Unidade 1 constrói a única ferramenta na qual ambas as questões se baseiam – o limite.

Comece com um enigma. O velocímetro de um carro marca $60$ km/h. O que isso significa em um instante único? Velocidade é distância sobre tempo. Mas em um instante nenhum tempo passa e nenhuma distância é percorrida, então a fração parece ser $\tfrac{0}{0}$ – indefinido.

• A taxa média de variação usa um intervalo inteiro: a mudança em uma quantidade dividida pela mudança em outra. Divide-se por zero, tornando-se indefinida, quando a mudança na entrada seria zero.
• A taxa instantânea de variação é o que queremos em um ponto. É o valor ao qual a taxa média tende à medida que o intervalo diminui até zero.

O truque inteligente não é substituir por zero (indefinido), mas observar para onde a taxa média tende à medida que o intervalo fica cada vez menor. Esse valor tendente é um limite. Assim, o cálculo nos permite descrever a mudança num instante – como um limite das taxas médias sobre intervalos cada vez menores. Essa única ideia impulsiona a derivada (Unidade 2) e, invertida, a integral (Unidade 6). Tudo o mais nesta unidade define limites cuidadosamente e os calcula confiavelmente.

Dada uma função $f$, o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $c$ é um número real $R$ se $f(x)$ puder ser tornado arbitrariamente próximo de $R$ ao tomar $x$ suficientemente próximo de $c$ – mas não igual a $c$. Escrevemos

As últimas palavras são o cerne de um limite: ele descreve o comportamento de $f$ perto de $c$, não o valor em $c$. A função pode estar indefinida em $c$, ou definida mas igual a algo diferente – o limite não se importa.

Um limite pode ser mostrado de três formas: graficamente, numericamente (uma tabela) e analiticamente (álgebra). Aprender a transitar entre essas representações é uma habilidade central.

(Nota: a definição epsilon-delta de um limite não é testada no Exame AP, portanto este material não a utiliza.)

Um gráfico é frequentemente a maneira mais rápida de ler um limite. Para encontrar $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, passe o dedo ao longo da curva em direção a $x = c$ de cada lado e pergunte: para que altura a curva está indo?

• Rastrear da esquerda (entradas menores que $c$): isso fornece o limite lateral esquerdo, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
• Trace a partir da direita (entradas maiores que $c$): isso fornece o limite lateral direito, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
• Estes são os limites laterais. Se ambos tendem à mesma altura $R$, então o limite bilateral existe e é $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Crucialmente, ignore o próprio ponto. Os gráficos marcam a diferença entre o limite e o valor:

• Um círculo aberto marca uma altura que a curva aproxima mas não atinge – um "buraco".
• Um círculo fechado marca o valor real $f(c)$.

Um limite não existe (frequentemente escrito DNE) quando os dois lados divergem (um salto), quando a função é descontrolada (cresce sem limite) ou quando oscila perto de $c$ com flutuações que não convergem para um único valor. Oscilação sozinha não impede um limite: $x\sin(1/x)\to0$ quando $x\to0$. Por exemplo:

Observe a escala de um gráfico: uma visão geral pode ocultar comportamentos importantes próximos a um ponto, portanto confirme com álgebra sempre que possível.

Exemplo resolvido: valores próximos e um ponto específico

Neste gráfico criado pelo professor, leia as alturas de aproximação antes do ponto preenchido.

Ambos os limites laterais em 2 são iguais a 2, logo o limite bilateral é 2. O ponto cheio fornece $f(2)=4$. Trata-se de uma descontinuidade removível: defina $f(2)=2$ para tornar a função contínua.

Aqui, o limite lateral esquerdo em 0 é 1, o lateral direito é 3, e $f(0)=2$. Os limites laterais desiguais significam que o limite bilateral não existe. Nenhuma escolha de $f(0)$ altera os ramos vizinhos; o salto não pode ser removido mudando apenas um ponto.

Quando você tem dados ou uma fórmula, mas não uma imagem, uma tabela de valores estima numericamente um limite. Escolha entradas que se aproximem de $c$ por ambos os lados e observe as saídas.

Por exemplo, para estimar $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (que é $\tfrac{0}{0}$ em $x=2$):

Ambos os lados marcham em direção a $4$, então estimamos que o limite é $4$. Uma tabela apenas sugere um valor – é uma estimativa numérica, não uma prova.

A maioria dos limites é encontrada analiticamente usando teoremas de limite. Se $\lim_{x\to c} f(x)$ e $\lim_{x\to c} g(x)$ existem, o limite de uma combinação é a mesma combinação dos limites:

• Soma / diferença: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
• Produto: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
• Quociente: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, desde que o limite inferior não seja $0$.
• Composto: se $g$ for contínuo em $\lim_{x\to c} f(x)$, então $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

A regra prática: para uma função construída a partir de polinômios, raízes e similares, tente primeiro a substituição direta – insira $x = c$. Se obtiver um número real, esse é o limite. Limites laterais seguem os mesmos teoremas, lidos apenas de uma direção.

A substituição direta às vezes resulta na forma indeterminada $\tfrac{0}{0}$. Isso não significa que o limite falhou – significa que você deve reescrever a função em uma forma equivalente que remova a dificuldade, depois fazer a substituição. Três movimentos padrão:

• Fatorar e cancelar uma função racional. Exemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
• Multiplicar pelo conjugado para simplificar um radical. Exemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
• Use formas alternativas de funções trigonométricas (identidades) para simplificar.

O fator cancelado é por isso que o gráfico original tinha um buraco: as duas funções concordam em todos os lugares exceto em $x=c$, portanto, elas compartilham o mesmo limite lá.

Este é um tópico de habilidade, não novo conteúdo: escolha a ferramenta certa para o limite à sua frente.

1. Tente a substituição direta primeiro. Uma resposta real significa que você terminou.
2. Obtendo $\tfrac{0}{0}$? Reescreva – fatore e cancele, ou use o conjugado, ou uma identidade trigonométrica – e depois substitua.
3. Um número não-zero sobre $0$ (como $\tfrac{5}{0}$)? O limite é infinito ou não existe (DNE) – verifique o sinal de cada lado (veja assíntotas verticais abaixo).
4. Quando $x\to\pm\infty$? Compare os termos dominantes (veja limites no infinito).
5. Preso entre duas funções? O teorema do confronto pode ser aplicado.

O teorema do encaixe (também chamado teorema do sanduíche) encontra um limite aprisionando a função entre outras duas. Se $g(x) \le f(x) \le h(x)$ próximo de $c$, e

Os dois resultados famosos provados dessa forma, ambos usados extensivamente no cálculo, são:

Outro tópico de habilidade: o mesmo limite vive em um gráfico, uma tabela e uma forma algébrica, e você deve ser capaz de traduzir entre eles. Um gráfico mostra a forma e quaisquer buracos ou saltos; uma tabela fornece evidências numéricas; a álgebra dá um valor exato e uma razão. Respostas fortes usam uma representação para confirmar outra.

Uma função é descontínua em $c$ quando seu gráfico se “rompe” nesse ponto. Três tipos comuns são:

• Descontinuidade removível – um único buraco. O limite bilateral existe, mas o ponto está ausente ou mal posicionado.
• Descontinuidade de salto – os dois limites laterais existem, mas divergem, fazendo a curva pular.
• Descontinuidade infinita – a função explode para $\pm\infty$ em uma assíntota vertical.

Comparação resolvida: classifique e justifique um reparo

Em 2, $A(x)=(x^2-4)/(x-2)$ simplifica-se para $x+2$ para $x\ne 2$. Seu limite é 4; defina $A(2)=4$ para remover o buraco. Em contraste, $B(x)=1$ para $x<2$ e 3 para $x\ge 2$ possui limites laterais finitos desiguais 1 e 3. Alterar $B(2)$ não pode remover seu salto. Para $C(x)=1/(x-2)$, o lado esquerdo tende a $-\infty$ e o direito a $+\infty$: uma descontinuidade infinita, sem limite finito disponível como reparo.

A continuidade é definida por um teste de três etapas. Uma função $f$ é contínua em $x=c$ exatamente quando as três condições são atendidas:

Em palavras: o ponto está lá, o limite está lá, e os dois concordam. Se qualquer uma falhar, $f$ é descontínua em $c$. Este teste é a espinha dorsal de quase todas as questões de continuidade, então aprenda-o como uma lista de verificação.

Uma função é contínua em um intervalo se for contínua em todo ponto desse intervalo. Raramente verificamos ponto a ponto, pois famílias inteiras são contínuas em seus domínios:

Funções polinomiais, racionais, potências, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas são contínuas em todos os pontos de seus domínios.

Assim, uma função racional é contínua em toda parte exceto onde seu denominador é zero; $\ln x$ é contínua para $x>0$; e assim por diante. Saber isso permite declarar a continuidade rapidamente e com precisão.

Se o limite existe em um buraco, a descontinuidade é removível: redefina a função naquele único ponto para igualar o limite, e o gráfico será reparado. Formalmente, defina o valor ausente como $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

Para uma função definida por partes, a continuidade na fronteira $x=c$ exige que as duas partes se encontrem: o valor da parte esquerda, o valor da parte direita e $f(c)$ devem ser iguais. Este é um cenário comum de prova – você resolve para um parâmetro (constante desconhecida) que faz as partes coincidirem:

Exemplo resolvido. Encontre a constante $k$ que torna esta função contínua em $x=2$:

• Limite pela esquerda: $\displaystyle \lim_{x\to 2^-}(kx+1) = 2k+1$.
• Limite pela direita e valor: $\displaystyle \lim_{x\to 2^+}(x^2-k) = f(2) = 4-k$.
• Iguale-os: $2k+1 = 4-k$, então $3k=3$ e $k=1$.

Verificação: com $k=1$, ambas as partes fornecem $3$ em $x=2$, portanto todas as três condições do teste de continuidade são satisfeitas.

A ideia de limite estende-se aos limites infinitos. Quando uma função cresce ilimitadamente perto de $x=c$, escrevemos $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Isso descreve uma assíntota vertical em $x=c$: o gráfico se aproxima da linha vertical $x=c$ e dispara em direção a $\pm\infty$.

Isso ocorre onde um número não-zero é dividido por algo que se aproxima de $0$, como em um zero de um denominador que não se cancela. Sempre verifique cada lado separadamente – os dois lados podem disparar em direções opostas (uma para $+\infty$, uma para $-\infty$).

Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1}$ e $\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1}$.

A substituição resulta em $\tfrac{3}{0}$: um número não nulo sobre $0$, logo cada limite lateral é infinito. Decida o sinal de cada lado:

• Para $x$ logo abaixo de $1$ (tente $x=0.99$): numerador $\approx 3$, denominador $=-0.01$, um número negativo pequeno. Logo $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1} = -\infty$.
• Para $x$ logo acima de $1$ (tente $x=1.01$): numerador $\approx 3$, denominador $=+0.01$. Logo $\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1} = +\infty$.

A reta $x=1$ é uma assíntota vertical, e o limite duplo não existe.

Também podemos deixar a entrada crescer: limites no infinito descrevem o comportamento final de uma função conforme $x\to\pm\infty$. Se as saídas convergem para um valor finito $L$, então $y=L$ é uma assíntota horizontal.

Para uma função racional, compare os graus do numerador e do denominador:

• grau superior < grau inferior $\Rightarrow$ o limite é $0$ (assíntota $y=0$);
• grau superior = grau inferior $\Rightarrow$ limite é a razão dos coeficientes dominantes;
• grau superior > grau inferior $\Rightarrow$ a função é ilimitada (sem assíntota horizontal).

Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-5x}{6x^2+1}$.

Os graus são iguais ($2$ e $2$), logo o limite é a razão dos coeficientes principais. Para mostrar por quê, divida cada termo por $x^2$:

Logo $y=\tfrac{1}{2}$ é uma assíntota horizontal.

De modo geral, comparamos as magnitudes relativas (taxas de crescimento relativo) das funções: longe da origem, uma exponencial supera qualquer polinômio, e um polinômio supera qualquer logaritmo. Na prova, “quando $t\to\infty$, qual quantidade é maior/onde a taxa se estabiliza?” responde-se com um limite no infinito.

O Teorema do Valor Intermediário é um teorema de existência – garante a existência de um valor sem indicar onde ele está:

Se $f$ é contínua no intervalo fechado $[a,b]$, e $d$ é qualquer número entre $f(a)$ e $f(b)$, então existe pelo menos um número $c$ em $(a,b)$ tal que $f(c)=d$.

Uma curva ininterrupta não pode pular uma altura entre seus pontos finais – ela deve passar por todas elas.

Habilidade para prova – como justificar com o TVI. Essas questões aparecem quase todo ano (por exemplo, “Deve haver um valor $c$ tal que $R(c)=155$?” ou “Existe um momento em que $r'(t)=-6$?”). Uma justificativa completa obtém crédito total em três etapas:

1. Declarar a continuidade. Diga que a função é contínua em $[a,b]$ (freqüentemente porque é diferenciável, ou dada como contínua).
2. Mostrar que $d$ está aprisionada. Calcule os valores nos dois pontos finais e mostre que o alvo $d$ está entre eles, p.ex. $f(a) < d < f(b)$.
3. Conclua pelo nome. "Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um $c$ em $(a,b)$ tal que $f(c)=d$."

Pular a declaração de continuidade, ou não mostrar que $d$ está entre os pontos finais, faz perder o ponto – o teorema exige ambas as condições.

Exemplo resolvido. Mostre que $f(x)=x^3-x-1$ tem uma raiz entre $x=1$ e $x=2$.

1. $f$ é um polinômio, logo é contínuo em $[1,2]$.
2. $f(1)=1-1-1=-1$ e $f(2)=8-2-1=5$, logo $f(1) < 0 < f(2)$.
3. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um $c$ em $(1,2)$ tal que $f(c)=0$.

O teorema não informa onde $c$ está nem quantos desses valores existem (aqui $c\approx 1.32$, encontrado com calculadora).

Erros comuns com o TVI.

• Usá-lo em uma função que não é contínua em todo o intervalo: $g(x)=\tfrac{1}{x}$ tem $g(-1)=-1$ e $g(1)=1$, mas $g$ nunca é $0$, porque $g$ se rompe em $x=0$.
• Lendo de trás para frente: um $f$ contínuo pode atingir uma altura fora $[f(a),f(b)]$ também, e pode atingir $d$ mais de uma vez. O teorema garante apenas pelo menos um $c$ para cada $d$ entre os valores dos extremos.

• Um limite descreve o que $f(x)$ aproxima-se, o que não precisa ser igual a $f(a)$ — o limite lateral existe apenas se ambos os lados concordarem.
• Tente a substituição direta primeiro; para uma forma de $\tfrac00$, fatore e cancele ou racionalize antes de substituir.
• Uma função é contínua em $a$ quando o limite existe, $f(a)$ está definido e eles são iguais.
• Use o Teorema do Valor Intermediário para garantir uma raiz: uma função contínua que muda de sinal em $[a,b]$ assume todos os valores entre.
• Leia as assíntotas horizontais pelo comportamento final (limites em $\pm\infty$) e as assíntotas verticais nos zeros do denominador que restam após a simplificação de fatores comuns; verifique os limites laterais.

Erros comuns.

• Dizer que um limite não existe porque $f(a)$ não está definido. Um buraco no gráfico não impede que o limite exista.
• Parar em $\tfrac00$ e escrever "$0$" ou "indefinido". $\tfrac00$ é um sinal para fatorar, racionalizar ou simplificar, não uma resposta.
• Usar o teorema do valor intermediário sem afirmar que a função é contínua no intervalo fechado: na prova, a justificativa não recebe pontos sem essa afirmação.
• Escrever $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$ e depois dizer que o limite é um número. Um limite infinito descreve um comportamento ilimitado (uma assíntota vertical); o limite não existe como número real.
• Encontrar uma assíntota horizontal substituindo por um número grande em vez de comparar os termos de maior grau.

Prática. As questões 3 e 4 seguem o estilo de itens discursivos recentes (teorema do valor intermediário a partir de uma tabela; teorema do confronto com duas funções limitantes).

1. Encontre $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$.
2. Encontre $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$.
3. Uma função contínua $f$ tem $f(1)=4$, $f(3)=-2$ e $f(5)=6$. Qual é o menor número de soluções que $f(x)=0$ deve ter em $1\le x\le 5$? Justifique sua resposta.
4. Para todo $x$ próximo de $1$, $2x+1 \le k(x) \le x^2+2$. Encontre $\displaystyle\lim_{x\to 1}k(x)$ e diga o que mais é necessário saber para concluir que $k$ é contínua em $x=1$.
5. Seja $f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-x-2}$. Encontre todas as assíntotas verticais, assíntotas horizontais e descontinuidades removíveis.
6. Encontre $k$ de modo que $f(x)=x^2+k$ para $x<2$ e $f(x)=3x-1$ para $x\ge 2$ seja contínua em $x=2$.

Respostas.

1. Fatore: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ para $x\ne3$, portanto o limite é $6$.
2. $\dfrac{\sin 3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\to 3\cdot 1 = 3$.
3. Pelo menos duas. $f$ é contínua em $[1,3]$ e $[3,5]$; $f(1)=4>0>-2=f(3)$ e $f(3)=-2<0<6=f(5)$, portanto, pelo teorema do valor intermediário, há um zero em $(1,3)$ e outro em $(3,5)$.
4. Ambos os limites são iguais a $3$ em $x=1$ (e $x^2+2-(2x+1)=(x-1)^2\ge0$), portanto, pelo teorema do confronto, $\lim_{x\to1}k(x)=3$. $k$ é contínua em $1$ somente se também $k(1)=3$.
5. $f(x)=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$. Descontinuidade removível (buraco) em $x=2$, onde o limite é $\tfrac{2\cdot4}{3}=\tfrac83$; assíntota vertical $x=-1$; assíntota horizontal $y=2$ (razão entre os coeficientes dos termos de maior grau).
6. O limite à esquerda $4+k$ deve ser igual a $f(2)=5$, portanto $k=1$.