Diferenciação: Funções Compostas, Implícitas e Inversas

Unidade 2 diferenciou funções simples. Unidade 3 diferencia funções construídas dentro de outras funções. A regra da cadeia 链式法则 diferencia uma função composta 复合函数 $f\big(g(x)\big)$:

"Derivada da função externa (deixando a interna sozinha), vezes a derivada da interna." A derivada interna $g'(x)$ é a parte que os alunos esquecem, então sempre pergunte "qual é a interna e qual é sua derivada?" Exemplo:

Na notação de Leibniz, com $y=f(u)$ e $u=g(x)$, a regra lê-se $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – o intermediário $du$ parece se "cancelar". Questões de prova frequentemente dão uma tabela para $f$, $g$, $f'$, $g'$ e pedem $h'(a)$ onde $h(x)=f\big(g(x)\big)$; avalie $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ lendo valores.

Exemplo resolvido. Diferencie $h(x)=(2x^2+1)^5$. A função externa é "(algo)$^5$", a interna é $2x^2+1$:

Algumas curvas são definidas implicitamente – por uma equação em $x$ e $y$ que não está resolvida para $y$, como $x^2+y^2=25$. Diferenciação implícita 隐函数求id encontra $\dfrac{dy}{dx}$ sem resolver para $y$ primeiro. É apenas a regra da cadeia, tratando $y$ como uma função de $x$.

O método: diferencie ambos os lados em relação a $x$; toda vez que diferenciar um termo de $y$, multiplique por $\dfrac{dy}{dx}$ (a regra da cadeia); depois resolva algebricamente para $\dfrac{dy}{dx}$. Para $x^2+y^2=25$:

Exemplo resolvido. Encontre a reta tangente ao círculo $x^2+y^2=25$ no ponto $(3,4)$. De cima, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ ali, então a tangente é

Observe que a tangente é perpendicular ao raio, como a geometria promete – uma boa verificação de consistência.

Habilidade de prova – "Mostre que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Este prompt exato aparece nos últimos anos (p.ex. "Mostre que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Como o alvo é dado, você deve mostrar cada passo algébrico limpo: diferencie ambos os lados, use as regras do produto/cadeia em termos mistos de $xy$, agrupe todos os termos de $\dfrac{dy}{dx}$ de um lado, fatore e divida. Uma linha final correta que pula a álgebra ganha pouco. Partes seguintes pedem então uma reta tangente, ou onde a tangente é horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, então o numerador é $0$) ou vertical (o denominador é $0$).

Se $g$ é a função inversa 反函数 de $f$ (portanto $f(g(x))=x$), a regra da cadeia liga suas derivadas:

Em palavras: a derivada da inversa em um ponto é o recíproco 倒数 da derivada da função original no ponto correspondente. Um setup comum de prova dá uma tabela e um ponto $(a,b)$ em $f$ (portanto $(b,a)$ está em $g$), e pede $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Exemplo resolvido. Suponha $f(2)=5$ e $f'(2)=3$, e $g$ seja a inversa de $f$. Como $(2,5)$ está em $f$, o ponto $(5,2)$ está em $g$, e

Os gráficos de $f$ e $g$ são imagens espelhadas através de $y=x$, então suas inclinações em pontos correspondentes são recíprocas.

A mesma ideia dá as derivadas das funções trigonométricas inversas 反三角函数. As três que você deve saber:

Combine essas com a regra da cadeia quando a entrada for ela mesma uma função, p.ex. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

Tópico de habilidade: derivadas reais misturam várias regras, então leia a estrutura da expressão primeiro, de fora para dentro.

• É uma soma? Diferencie termo a termo.
• Um produto ou quociente? Aplique essa regra, e espere usar a regra da cadeia internamente.
• Uma composta (algo dentro de algo)? Regra da cadeia.
• Dado implicitamente? Derivação implícita.

Nomeie a operação mais externa, aplique sua regra e recursione para dentro. Limpeza evita erros de sinal e de registro que custam pontos.

Derivar $f'$ produz a segunda derivada 二阶导数 $f''$; repetir dá derivadas de ordem superior. As notações:

A segunda derivada mede como a inclinação está mudando; ela impulsiona a curvatura 凹凸性 e aceleração em unidades futuras. Para encontrar $f''$ implicitamente, diferencie a expressão para $\dfrac{dy}{dx}$ novamente (com as regras do quociente e da cadeia), depois substitua $\dfrac{dy}{dx}$ de volta.

• Use a regra da cadeia para funções compostas – diferencie a parte externa, depois multiplique pela derivada da interna (o fator mais esquecido).
• Para diferenciação implícita, diferencie ambos os lados em relação a $x$ e acople $\tfrac{dy}{dx}$ cada vez que $y$ for diferenciado, depois resolva.
• Encontre a segunda derivada diferenciando duas vezes (velocidade → aceleração).
• Combine as regras com cuidado em expressões aninhadas (regra da cadeia dentro do produto, etc.).
• O gráfico da função inversa é o reflexo em $y=x$; sua inclinação é o recíproco da original no ponto correspondente.