Aplicações Analíticas da Diferenciação

O Teorema do Valor Médio 中值定理 (MVT) liga a taxa média de variação a uma instantânea:

Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$, então existe pelo menos um ponto $c$ em $(a,b)$ onde

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Em palavras: em algum lugar dentro do intervalo, a taxa instantânea é igual à taxa média. Geometricamente, alguma reta tangente é paralela à reta que une as extremidades.

Habilidade de prova. Assim como o TVC, o TVM é um teorema de existência, e questões pedem que você justifique. Nota máxima exige: (1) declare que $f$ é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$; (2) calcule a taxa média $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) conclua "pelo TVM existe um $c$ em $(a,b)$ com $f'(c)$ igual a esse valor." Ambas as hipóteses devem ser citadas.

Exemplo resolvido. Verifique o TVM para $f(x)=x^2$ em $[1,3]$. É um polinômio, então contínuo e diferenciável em todos os lugares. A taxa média é $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$. Igualando $f'(c)=2c=4$ dá $c=2$, que de fato está em $(1,3)$ – o ponto garantido.

O Teorema do Valor Extremo 极值定理 (EVT) garante a existência de extremos: uma função contínua em um intervalo fechado $[a,b]$ atinge ambos um máximo absoluto e um mínimo absoluto nele.

Um ponto crítico 临界点是 interior onde $f'(x)=0$ ou $f'(x)$ não existe. Todos os extremos locais (relativos) 局部极值 ocorrem em pontos críticos – mas nem todo ponto crítico é um extremo. Portanto, pontos críticos são os candidatos; você deve testar cada um.

A primeira derivada diz onde $f$ sobe ou desce:

• $f'(x) > 0$ em um intervalo $\Rightarrow$ $f$ é crescente 递增 ali;
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ é decrescente 递减.

No exame, "encontre os intervalos onde $f$ está crescendo" significa: encontre os pontos críticos, teste então o sinal de $f'$ entre eles, e justifique com o sinal de $f'$ (uma razão declarada, não apenas um intervalo).

Para classificar um ponto crítico $x=c$ como máximo local, mínimo local ou nenhum, verifique como $f'$ muda de sinal ali:

• $f'$ muda de $+$ para $-$ em $c$ $\Rightarrow$ máximo local 极大值;
• $f'$ muda de $-$ para $+$ em $c$ $\Rightarrow$ mínimo local 极小值;
• $f'$ não muda de sinal $\Rightarrow$ nem nenhum.

Sempre declare a mudança de sinal como sua justificativa.

Exemplo resolvido. Classifique os pontos críticos de $f(x)=x^3-3x^2$. Aqui $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, zero em $x=0$ e $x=2$. Testando sinais: $f'>0$ para $x<0$, $f'<0$ em $(0,2)$, e $f'>0$ para $x>2$. Portanto, $f'$ muda de $+\to-$ em $x=0$ (um máximo local, $f(0)=0$) e $-\to+$ em $x=2$ (um mínimo local, $f(2)=-4$).

Em um intervalo fechado, extremos absolutos (globais) ocorrem apenas em pontos críticos ou extremidades. O teste dos candidatos:

1. Liste todos os pontos críticos em $[a,b]$ e as duas extremidades.
2. Avalie $f$ em cada candidato.
3. A maior saída é o máximo absoluto; a menor é o mínimo absoluto.

Mostre a tabela de valores – a comparação é o argumento.

A derivada segunda descreve a curvatura:

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ é côncava para cima 上凹 (curvada como uma taça; $f'$ está aumentando);
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ é côncava para baixo 下凹 ($f'$ está diminuindo).

Um ponto de inflexão 拐点 é onde a concavidade muda, isto é, onde $f''$ muda de sinal (não meramente onde $f''=0$). Relate sua coordenada-$x$ e justifique com a mudança de sinal de $f''$.

Uma alternativa para classificar um ponto crítico $c$ onde $f'(c)=0$:

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ côncava para cima $\Rightarrow$ mínimo local;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ côncava para baixo $\Rightarrow$ máximo local;
• $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ o teste é inconclusivo – recorra ao teste da derivada primeira.

Caso especial: se uma função contínua tem apenas um ponto crítico em um intervalo e ele é um extremo local, esse ponto também é o extremo absoluto ali.

Características-chave de $f$, $f'$ e $f''$ espelham-se mutuamente. Para esboçar ou ler gráficos:

• $f$ crescente $\Leftrightarrow$ $f'$ acima do eixo; $f$ tem um máximo local $\Leftrightarrow$ $f'$ cruza de $+$ para $-$.
• $f$ côncava para cima $\Leftrightarrow$ $f'$ crescente $\Leftrightarrow$ $f''$ acima do eixo; $f$ tem um ponto de inflexão $\Leftrightarrow$ $f'$ tem um extremo local $\Leftrightarrow$ $f''$ cruza zero.

Esta é a habilidade de ler um gráfico para descrever outro. Um setup de exame muito comum dá o gráfico de $f'$ e pergunta sobre $f$: onde está $f$ crescendo (onde $f'>0$), onde estão os extremos de $f$ (onde $f'$ cruza zero, com mudança de sinal), onde está $f$ côncava para cima (onde $f'$ está aumentando). Responda perguntas sobre $f$ usando a altura e inclinação do gráfico de $f'$.

Otimização 最优化 usa a derivada para encontrar o valor maior ou menor de uma quantidade em um intervalo. É a maquinaria de candidatos/teste de derivada aplicada a um objetivo real.

Um procedimento confiável:

1. Escreva a quantidade a ser otimizada como uma função de uma variável (use uma equação de restrição para eliminar extras).
2. Defina o intervalo de entradas permitidas.
3. Encontre pontos críticos ($f'=0$ ou indefinido) e teste-os (teste da derivada primeira ou segunda, ou teste dos candidatos se o intervalo for fechado).
4. Responda à pergunta feita, com unidades e interpretação no contexto – a área máxima, o custo mínimo, etc.

Exemplo resolvido. Um fazendeiro tem $100\ \text{m}$ de cerca para um curral retangular contra uma parede, então apenas três lados precisam de cerca. Maximize a área. Deixe as duas extremidades serem $x$ e o lado paralelo à parede seja $y$; a restrição é $2x+y=100$, então $y=100-2x$. A área é

Tudo isso se estende a relações implicitamente definidas. Um ponto crítico de uma relação implícita é onde $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangente horizontal) ou é indefinido (tangente vertical). Como $\dfrac{dy}{dx}$ geralmente é uma relação em $x$ e $y$, e a derivada segunda envolve $x$, $y$ e $\dfrac{dy}{dx}$, substitua sua expressão de derivada primeira novamente ao encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, então raciocine sobre a concavidade a partir de seu sinal.

• $f'>0$ significa aumento, $f'<0$ diminuição; candidatos para extremos são onde $f'=0$ ou é indefinido.
• Classifique um ponto crítico com a mudança de sinal da derivada primeira ou o teste da derivada segunda ($f''>0$ mínimo, $f''<0$ máximo).
• $f''>0$ é côncava para cima, $f''<0$ côncava para baixo; um ponto de inflexão é onde a concavidade muda ($f''$ muda de sinal).
• Para um extremo absoluto em um intervalo fechado, também verifique as extremidades.
• Justifique toda conclusão citando o sinal de $f'$ ou $f''$ – o exame exige o raciocínio, não apenas a resposta.