Matemática Pura 2

As funções hiperbólicas 双曲函数 são construídas a partir da função exponencial:

Elas obedecem identidades muito semelhantes às trigonométricas, a principal sendo $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Os três reciprocais completam o conjunto: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, e $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ – todos construídos a partir de $e^x$ também, e dignos de reconhecimento em integrais e gabaritos. As funções hiperbólicas inversas 反双曲函数 têm uma forma logarítmica 对数形式, por exemplo $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.

Exemplo resolvido. Mostre que $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.

Você pode escrever três equações lineares em três incógnitas como uma única equação matricial 矩阵方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Se $A$ é não singular há uma solução; se $A$ é singular as equações são inconsistentes (sem solução) ou têm infinitas soluções.

Para uma matriz quadrada $A$, a equação característica 特征方程 é $\det(A - \lambda I) = 0$. Suas soluções são os autovalores 特征值 $\lambda$, e para cada um o vetor $\mathbf{v}$ com $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ é um autovetor 特征向量. Você pode então escrever $A = QDQ^{-1}$, onde $D$ é uma matriz diagonal 对角矩阵 de autovalores e as colunas de $Q$ são os autovetores.

Exemplo resolvido. Encontre os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

A equação característica é

Então $\lambda = 1$ ou $\lambda = 3$. (O autovetor para $\lambda = 3$ é $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ e para $\lambda = 1$ é $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.)

Agora você pode diferenciar as funções hiperbólicas e as funções inversas $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ e assim por diante. Você também pode encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para curvas dadas implicitamente ou parametricamente.

Uma série de Maclaurin 麦克劳林级数 escreve uma função como uma série de potências:

Por exemplo $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$

Exemplo resolvido. Encontre a série de Maclaurin de $f(x) = \ln(1+x)$ até o termo em $x^3$.

$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ então $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ então $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ então $f'''(0) = 2$. Substituindo na série:

Aprenda estas integrais padrão:

Uma substituição trigonométrica, uma substituição hiperbólica ou completar o quadrado 配方法 no denominador lida com formas relacionadas. Uma fórmula de redução 递推公式 liga uma integral $I_n$ a $I_{n-1}$, para que você possa trabalhar passo a passo. A integração também fornece o comprimento de arco 弧长 de uma curva e a área de superfície de revolução 旋转曲面面积 quando uma curva é girada em torno de um eixo.

Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.

Aqui $a^2 = 4$, então $a = 2$ e

Limitando uma soma por uma integral. Desenhe retângulos de largura unitária abaixo ou acima de uma curva decrescente como $y=\frac1x$. Cada retângulo de altura $\frac1r$ está contido entre duas tiras integrais, então somando dá

Encolher a largura do retângulo para $\frac1n\to 0$ transforma tal soma em uma soma de Riemann 黎曼和 que iguala a integral no limite, ex: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^{n}f\!\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$.

Um número complexo 复数 na forma polar é $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. O teorema de De Moivre 棣莫弗定理 diz que para qualquer inteiro $n$,

É usado para expandir $\cos n\theta$ e $\sin n\theta$ em potências, somar séries e encontrar as $n$ raízes da unidade 单位根 (soluções de $z^n = 1$, igualmente espaçadas ao redor do círculo unitário).

Exemplo resolvido. Use o teorema de De Moivre para expressar $\cos 3\theta$ em termos de $\cos\theta$.

Tome a parte real de $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:

Para uma equação linear de primeira ordem $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiplique pelo fator integrante 积分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$. O lado esquerdo torna-se então $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, permitindo integrar diretamente.

Para uma equação linear com coeficientes constantes, a solução geral 通解 é a soma de duas partes: a função complementar 余函数 (a solução da equação com o lado direito igual a $0$, encontrada pela equação auxiliar) e uma integral particular 特积分 (qualquer uma das soluções da equação completa). Condições iniciais fixam as constantes para dar a solução particular 特解; equações mais simples com variáveis separáveis 可分离变量 são integradas diretamente.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.

O fator integrante é $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Multiplicando tudo resulta em $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, logo

Segunda ordem, coeficientes constantes. Para $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, resolva a equação auxiliar 辅助方程 $m^2+bm+c=0$. A função complementar depende de suas raízes:

• duas raízes reais distintas $m_1,m_2$: $y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$;
• uma raiz repetida $m$: $y=(A+Bx)e^{mx}$;
• raízes complexas $p\pm qi$: $y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$.

Em seguida, adicione uma integral particular tentando uma forma correspondente a $f(x)$ (um polinômio, $ae^{bx}$, ou $a\cos px+b\sin px$); se essa tentativa já aparecer na função complementar, multiplique-a por $x$.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. A equação auxiliar $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ tem uma raiz repetida $m=2$, logo $y=(A+Bx)e^{2x}$.

• Aprenda as identidades hiperbólicas e derivadas, e use as funções hiperbólicas inversas na integração.
• Resolva uma equação diferencial linear como função complementar $+$ integral particular, depois aplique as condições de fronteira.
• Use o teorema de De Moivre para potências e raízes de números complexos e para derivar identidades trigonométricas.
• Reduza uma integral a uma forma padrão mediante uma substituição especificada.