Matemática Avançada do A-Level

Para uma equação polinomial, as raízes 根 estão ligadas aos coeficientes 系数. Para $ax^2 + bx + c = 0$ com raízes $\alpha, \beta$:

Para um cúbico $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ com raízes $\alpha, \beta, \gamma$: Somas como $\sum\alpha$ e $\sum\alpha\beta$ são funções simétricas 对称函数 das raízes (não mudam se as raízes forem trocadas). Para encontrar uma equação cujas raízes mudam de forma simples, use uma substituição 代换 (por exemplo, ponha $w = \alpha + 1$).

Exemplo resolvido. A equação $x^2 - 5x + 6 = 0$ tem raízes $\alpha, \beta$. Encontre a equação com raízes $\alpha + 1, \beta + 1$.

Aqui $\alpha + \beta = 5$ e $\alpha\beta = 6$. A nova soma é $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, e o novo produto é $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. Então a nova equação é

Uma função racional 有理函数 é uma fração de dois polinômios. Quando o numerador tem grau exatamente um maior que o denominador, o gráfico tem uma assíntota oblíqua 斜渐近线 (uma linha inclinada que a curva se aproxima); encontre-a dividindo. Você também deve ser capaz de relacionar o gráfico de $y = f(x)$ àqueles de $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ e $y = f(|x|)$. Encontre o conjunto de valores que a função pode assumir usando o discriminante 判别式, e localize seus pontos de virada 驻点.

Exemplo resolvido. Encontre a assíntota oblíqua de $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.

Divida a fração: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Como $x \to \pm\infty$ o resto é $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, então a curva se aproxima da linha $y = x$ — a assíntota oblíqua.

Aprenda os resultados padrão:

O método das diferenças 差分法 soma uma série cancelando termos do meio: se frações parciais 部分分式 escreverem cada termo como $f(r) - f(r+1)$, quase tudo se cancela. Da soma até $n$ termos, você pode ver se uma série é convergente 收敛 e, se for, encontrar sua soma infinita 无穷和.

Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.

Uma matriz 矩阵 é um bloco retangular de números. Adição de matrizes soma entradas em posições correspondentes; você também pode subtrair e multiplicar matrizes (a multiplicação é linha $\times$ coluna). A matriz nula 零矩阵 tem todas as entradas $0$, e a matriz identidade 单位矩阵 (ou matriz unitária) $I$ deixa qualquer matriz inalterada sob multiplicação.

Para uma matriz $2\times 2$ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, o determinante 行列式 é $\det A = ad - bc$. Se $\det A \neq 0$ a matriz é não singular (caso contrário é uma matriz singular 奇异矩阵), e a matriz inversa 逆矩阵 é

Para um produto, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Uma matriz $2\times 2$ pode representar uma transformação geométrica 几何变换 do plano — uma rotação 旋转, reflexão 反射, alargamento 放大, alongamento 拉伸 ou cisalhamento 切变: o determinante fornece o fator de escala de área, e um produto $AB$ significa "faça $B$, depois $A$". Pontos ou linhas que não se movem são chamados pontos invariantes 不变点和 linhas invariantes 不变直线.

Exemplo resolvido. Encontre a inversa de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, então

Coordenadas polares 极坐标 dão um ponto pela sua distância $r$ da origem e seu ângulo $\theta$. Elas se ligam às coordenadas cartesianas 直角坐标 por

Você deve esboçar curvas polares simples e encontrar a área de um setor com

Exemplo resolvido. Converta a equação polar $r = 4\cos\theta$ para a forma cartesiana.

Multiplique ambos os lados por $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, então $x^2 + y^2 = 4x$. Completando o quadrado dá $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, um círculo de raio $2$ centrado em $(2, 0)$.

Em três dimensões, um plano 平面 pode ser escrito como $ax + by + cz = d$, ou $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, ou $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Além do produto escalar, existe o produto vetorial 向量积 de dois vetores 向量:

que resulta em um vetor perpendicular a ambos. Com produtos escalares e vetoriais você pode encontrar distâncias, ângulos e onde linhas e planos se encontram — incluindo a menor distância entre linhas reversas 异面直线.

Exemplo resolvido. Encontre $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ para $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ e $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.

Indução matemática 数学归纳法 prova um resultado para todo inteiro positivo $n$ em dois passos:

1. Caso base: mostre que o resultado é verdadeiro para $n = 1$.
2. Passo indutivo: assuma que é verdade para $n = k$, então prove para $n = k + 1$.

Se ambos os passos funcionarem, o resultado é verdadeiro para todos os $n$. Muitas vezes você primeiro faz uma conjetura 猜想 (um palpite razoável) a partir de alguns casos, depois confirma por prova indutiva 归纳证明.

Exemplo resolvido. Prove que $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.

Caso base $n = 1$: o lado esquerdo é $1$ e o lado direito é $\tfrac12(1)(2) = 1$. Verdadeiro. Passo indutivo: assuma $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Então

Esta é a fórmula com $n = k + 1$, então por indução ela vale para todos os $n$.

• Use as relações entre raízes e coeficientes (soma, soma de pares, produto) em vez de resolver o polinômio.
• Para a demostração por indução, apresente o caso base, assuma o resultado para $n = k$, prove para $n = k+1$, e escreva uma conclusão clara.
• Esboce gráficos de funções racionais com suas assíntotas e pontos de virada; use o método das diferenças para uma soma.
• Para matrizes, conheça o determinante, a inversa e as linhas invariantes, e interprete cada transformação geometricamente.

As funções hiperbólicas 双曲函数 são construídas a partir da função exponencial:

Elas obedecem identidades muito semelhantes às trigonométricas, a principal sendo $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Os três reciprocais completam o conjunto: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, e $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ – todos construídos a partir de $e^x$ também, e dignos de reconhecimento em integrais e gabaritos. As funções hiperbólicas inversas 反双曲函数 têm uma forma logarítmica 对数形式, por exemplo $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.

Exemplo resolvido. Mostre que $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.

Você pode escrever três equações lineares em três incógnitas como uma única equação matricial 矩阵方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Se $A$ é não singular há uma solução; se $A$ é singular as equações são inconsistentes (sem solução) ou têm infinitas soluções.

Para uma matriz quadrada $A$, a equação característica 特征方程 é $\det(A - \lambda I) = 0$. Suas soluções são os autovalores 特征值 $\lambda$, e para cada um o vetor $\mathbf{v}$ com $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ é um autovetor 特征向量. Você pode então escrever $A = QDQ^{-1}$, onde $D$ é uma matriz diagonal 对角矩阵 de autovalores e as colunas de $Q$ são os autovetores.

Exemplo resolvido. Encontre os autovalores de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

A equação característica é

Então $\lambda = 1$ ou $\lambda = 3$. (O autovetor para $\lambda = 3$ é $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ e para $\lambda = 1$ é $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.)

Agora você pode diferenciar as funções hiperbólicas e as funções inversas $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ e assim por diante. Você também pode encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para curvas dadas implicitamente ou parametricamente.

Uma série de Maclaurin 麦克劳林级数 escreve uma função como uma série de potências:

Por exemplo $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$

Exemplo resolvido. Encontre a série de Maclaurin de $f(x) = \ln(1+x)$ até o termo em $x^3$.

$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ então $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ então $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ então $f'''(0) = 2$. Substituindo na série:

Aprenda estas integrais padrão:

Uma substituição trigonométrica, uma substituição hiperbólica ou completar o quadrado 配方法 no denominador lida com formas relacionadas. Uma fórmula de redução 递推公式 liga uma integral $I_n$ a $I_{n-1}$, para que você possa trabalhar passo a passo. A integração também fornece o comprimento de arco 弧长 de uma curva e a área de superfície de revolução 旋转曲面面积 quando uma curva é girada em torno de um eixo.

Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.

Aqui $a^2 = 4$, então $a = 2$ e

Limitando uma soma por uma integral. Desenhe retângulos de largura unitária abaixo ou acima de uma curva decrescente como $y=\frac1x$. Cada retângulo de altura $\frac1r$ está contido entre duas tiras integrais, então somando dá

Encolher a largura do retângulo para $\frac1n\to 0$ transforma tal soma em uma soma de Riemann 黎曼和 que iguala a integral no limite, ex: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^{n}f\!\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$.

Um número complexo 复数 na forma polar é $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. O teorema de De Moivre 棣莫弗定理 diz que para qualquer inteiro $n$,

É usado para expandir $\cos n\theta$ e $\sin n\theta$ em potências, somar séries e encontrar as $n$ raízes da unidade 单位根 (soluções de $z^n = 1$, igualmente espaçadas ao redor do círculo unitário).

Exemplo resolvido. Use o teorema de De Moivre para expressar $\cos 3\theta$ em termos de $\cos\theta$.

Tome a parte real de $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:

Para uma equação linear de primeira ordem $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiplique pelo fator integrante 积分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$. O lado esquerdo torna-se então $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, permitindo integrar diretamente.

Para uma equação linear com coeficientes constantes, a solução geral 通解 é a soma de duas partes: a função complementar 余函数 (a solução da equação com o lado direito igual a $0$, encontrada pela equação auxiliar) e uma integral particular 特积分 (qualquer uma das soluções da equação completa). Condições iniciais fixam as constantes para dar a solução particular 特解; equações mais simples com variáveis separáveis 可分离变量 são integradas diretamente.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.

O fator integrante é $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Multiplicando tudo resulta em $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, logo

Segunda ordem, coeficientes constantes. Para $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$, resolva a equação auxiliar 辅助方程 $m^2+bm+c=0$. A função complementar depende de suas raízes:

• duas raízes reais distintas $m_1,m_2$: $y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$;
• uma raiz repetida $m$: $y=(A+Bx)e^{mx}$;
• raízes complexas $p\pm qi$: $y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$.

Em seguida, adicione uma integral particular tentando uma forma correspondente a $f(x)$ (um polinômio, $ae^{bx}$, ou $a\cos px+b\sin px$); se essa tentativa já aparecer na função complementar, multiplique-a por $x$.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. A equação auxiliar $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ tem uma raiz repetida $m=2$, logo $y=(A+Bx)e^{2x}$.

• Aprenda as identidades hiperbólicas e derivadas, e use as funções hiperbólicas inversas na integração.
• Resolva uma equação diferencial linear como função complementar $+$ integral particular, depois aplique as condições de fronteira.
• Use o teorema de De Moivre para potências e raízes de números complexos e para derivar identidades trigonométricas.
• Reduza uma integral a uma forma padrão mediante uma substituição especificada.

Um projétil 抛射体 move-se livremente sob a gravidade, portanto tem aceleração constante 匀加速 $g$ para baixo e nenhuma aceleração horizontal. Trate os movimentos horizontal e vertical separadamente. Se for lançado com velocidade $u$ e ângulo $\alpha$:

Eliminando $t$ obtém-se a equação cartesiana 直角坐标方程 da trajetória 轨迹 (o caminho), que é uma parábola. Para uma velocidade de lançamento fixa, todas as trajetórias ficam abaixo de uma parábola delimitadora 包络抛物线 (o envoltório dos pontos alcançáveis). O alcance no solo nivelado é $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ e a altura máxima é $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$.

Exemplo resolvido. Uma bola é lançada a $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ num ângulo de $30^\circ$ em relação à horizontal. Encontre o alcance e a altura máxima.

Momento 力矩 de uma força em relação a um ponto é força $\times$ distância perpendicular; mede o efeito de torção. O peso de um corpo atua no seu centro de massa 质心, que pode ser encontrado usando simetria 对称 para uma forma plana uniforme (uma chapa 薄片), ou tratando um corpo composto como um conjunto de partículas.

Um corpo rígido sob forças coplanares 共面力 está em equilíbrio 平衡 quando ambas as condições são satisfeitas: a soma vetorial das forças é zero, e a soma dos momentos em relação a qualquer ponto é zero. Um corpo também pode estar à beira do tombar 翻倒 (virar) ou deslizamento 滑动 (escorregar).

Exemplo resolvido. Uma viga uniforme $AB$ de comprimento $4\ \text{m}$ e peso $100\ \text{N}$ repousa sobre um pivô em $A$. Uma força vertical $F$ em $B$ mantém-na horizontal. Encontre $F$.

Tome momentos em relação a $A$ (o peso atua no centro, $2\ \text{m}$ de distância de $A$):

Para uma partícula movendo-se em um círculo de raio $r$, a velocidade angular 角速度 $\omega$ relaciona-se à velocidade por $v = r\omega$. A aceleração aponta para o centro — a aceleração centrípeta 向心加速度 — com magnitude

Em um círculo horizontal 水平圆 a velocidade é constante — como em um pêndulo cônico 圆锥摆 (uma massa balançada por uma corda). Em um círculo vertical 竖直圆 use conservação de energia, pois a velocidade muda com a altura; a força de contato normal 法向接触力 ou tensão da corda fornecem a força centrípeta.

Exemplo resolvido. Uma partícula move-se em um círculo horizontal de raio $2\ \text{m}$ com velocidade angular $3\ \text{rad s}^{-1}$. Encontre sua velocidade e aceleração.

Lei de Hooke 胡克定律 afirma que a tensão em uma corda elástica ou mola é proporcional à sua extensão $x$:

onde $L$ é o comprimento natural e $\lambda$ é o módulo de elasticidade 弹性模量. Esticar armazena energia potencial elástica 弹性势能:

Exemplo resolvido. Uma corda elástica de comprimento natural $2\ \text{m}$ e módulo $50\ \text{N}$ é esticada em $0.5\ \text{m}$. Encontre a tensão e a energia armazenada.

Quando a força depende da posição $x$, use a aceleração na forma $a = v\dfrac{dv}{dx}$, o que transforma a lei de Newton em uma equação diferencial 微分方程 relacionando $v$ e $x$.

Exemplo resolvido. Uma partícula de massa $8\ \text{kg}$ move-se ao longo de uma linha sob uma força variável 变力 de magnitude $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ atuando na direção do movimento. Quando $x = 0$, $v = 1$. Encontre $v$ em termos de $x$.

A lei de Newton dá $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Separando e integrando:

Em $x = 0$, $v = 1$ dá $C = 4$, logo $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$. Portanto $v = \tfrac14 x^2 + 1$.

Em uma colisão, o momento linear total é conservado — a conservação do momento linear 动量守恒. A elasticidade é medida pela lei experimental de Newton 牛顿实验定律, que define o coeficiente de restituição 恢复系数 $e$:

Aqui $e = 1$ é perfeitamente elástica (sem perda de energia) e $e = 0$ é inelástica (os corpos ficam juntos). Em um impacto oblíquo 斜碰撞, decomponha as velocidades ao longo e perpendicularmente à linha de impacto, aplicando a restituição ao longo dela.

Exemplo resolvido. Uma esfera $A$ de massa $2\ \text{kg}$ movendo-se a $5\ \text{m s}^{-1}$ colide com uma esfera estacionária $B$ de massa $3\ \text{kg}$, com $e = 0.5$. Encontre as velocidades afterwards.

Momento: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, logo $2v_A + 3v_B = 10$. Restituição: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Resolvendo conjuntamente, obtemos $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ e $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.

• Para projéteis, decomponha em movimento horizontal (velocidade constante) e vertical ($a = g$), ligados pelo mesmo tempo.
• Para um corpo rígido em equilíbrio, tome momentos em um ponto que elimine uma força desconhecida.
• Para movimento circular, use $F = mv^2/r = m\omega^2 r$ em direção ao centro; em um círculo vertical, verifique a velocidade mínima no topo.
• Com uma força variável, use $a = v\,\frac{dv}{dx}$ e integre; energia potencial elástica $= \frac{\lambda x^2}{2L}$.

Uma variável contínua $X$ é descrita por uma função densidade de probabilidade 概率密度函数 $f(x)$, que pode ser definida por partes. A probabilidade sobre um intervalo é a área sob $f$, e a média de qualquer função de $X$ é

A função de distribuição acumulada 累积分布函数 $F(x) = P(X \leqslant x)$ é o total acumulado: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, e $f(x) = F'(x)$. Use $F$ para encontrar probabilidades e percentis 百分位数 (por exemplo, a mediana 中imedia resolve $F(x) = 0.5$).

Exemplo resolvido. Uma variável tem $f(x) = \tfrac12 x$ para $0 \leqslant x \leqslant 2$. Encontre a mediana.

A função de distribuição acumulada é $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. Defina $F(m) = 0.5$:

A distribuição de uma variável relacionada. Se $Y=g(X)$, encontre a distribuição de $Y$ através de sua função cumulativa. Para $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, então diferencie para $f_Y=F_Y'$. Quando $g$ é monotonicamente crescente há um atalho, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.

Exemplo resolvido. Com $f_X(x)=\tfrac12 x$ em $[0,2]$ (logo $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), seja $Y=X^2$. Para $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, logo $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – isto é, $Y$ é uniforme em $[0,4]$.

Quando uma amostra é pequena e a variância populacional é desconhecida, baseie seu teste de hipótese 假设检验 na distribuição $t$ em vez da normal. A mesma ideia dá um intervalo de confiança 置信区间 para a média:

onde $t$ vem das tabelas $t$ com $n - 1$ graus de liberdade. Para comparar duas populações, use um teste t de amostra dupla (2-sample) ou amostra pareada $t$, após encontrar uma estimativa agrupada 合并估计 da variância compartilhada quando apropriado.

Exemplo resolvido. Uma amostra de $n = 10$ tem média $\bar{x} = 50$ e desvio padrão $s = 4$. Encontre um intervalo de confiança $95\%$ para a média (use $t = 2.262$ para $9$ graus de liberdade).

Um teste $\chi^2$ (teste qui-quadrado 卡方检验) compara contagens observadas $O$ com contagens esperadas $E$ de uma distribuição teórica 理论分布:

Compare isso com um valor de tabela para o número correto de graus de liberdade 自由度. Dois usos: um teste de ajuste de bondade 拟合优度 (se os dados seguem o modelo proposto?) e um teste de independência 独立性 de duas variáveis em uma tabela de contingência 列联表.

Exemplo resolvido. Quatro categorias igualmente prováveis dão contagens observadas $20, 30, 25, 25$ (logo cada contagem esperada é $25$). Teste o ajuste no nível $5\%$.

Com $4 - 1 = 3$ graus de liberdade, o valor da tabela é $7.815$. Como $2 < 7.815$, não rejeite o modelo.

Um teste não paramétrico 非参数检验 não faz suposição de que os dados são normais, sendo útil quando essa suposição falha. Os básicos são:

• o teste dos sinais 符号检验: conte quantos valores estão acima e abaixo de uma mediana proposta, e teste essas contagens com um modelo binomial;
• o teste de posto sinalizado de Wilcoxon 威尔科克森符号秩检验 (o teste para pareamento matched-pairs para dados pareados), que também usa os tamanhos das diferenças, não apenas seus sinais;
• o teste de soma de postos de Wilcoxon 威尔科克森秩和检验, para comparar duas amostras separadas.

Exemplo resolvido. Teste se uma mediana é $5$. Em uma amostra de $10$ valores (nenhum igual a $5$), $9$ ficam acima $5$ e $1$ fica abaixo. Teste no nível $5\%$ (bilateral).

Sob $H_0$ (mediana $= 5$), o número acima segue $B(10, 0.5)$. O resultado observado ($9$ acima) é extremo, então encontre $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. Para um teste bilateral, compare com $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. Como $0.0107 < 0.025$, rejeite $H_0$: há evidências de que a mediana não é $5$.

A função geradora de probabilidade 概率母函数 de uma variável discreta $X$ é

Ela compacta toda a distribuição em uma única função. A média e a variância vêm de suas derivadas em $t = 1$: $E(X) = G'(1)$ e $\mathrm{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - \big(G'(1)\big)^2$. Além disso, a FGP de uma soma de variáveis independentes é o produto de suas FGPs.

Exemplo resolvido. $X$ tem $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. Encontre $E(X)$ usando a FGP.

Aqui $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, então $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ e

• Para uma variável aleatória contínua, a pdf integra-se a $1$ sobre seu intervalo, e $E(X) = \int x f(x)\,dx$.
• Use a distribuição $t$ quando a amostra é pequena e a variância populacional é desconhecida; declare os graus de liberdade.
• Para um teste qui-quadrado, compute $\sum (O-E)^2/E$, compare com o valor crítico nos graus de liberdade corretos, e combine classes com $E < 5$.
• Declare $H_0$ e $H_1$ e dê a conclusão no contexto para todo teste.