Este material cobre o Tópico 1: Matemática Pura Avançada 进阶纯数学 1. Ele adiciona nova álgebra, matrizes, coordenadas polares, mais vetores e demonstração por indução.
Matemática Pura 1
Matemática Avançada do A-Level · Tópico 1
14:28
Matemática Pura 1
Aqui está uma equação cúbica, cruzando o eixo em três raízes. Encontrar essas raízes exatamente pode ser difícil — ou até impossível à mão. Mas aqui está uma bela…
Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
1.1
Raízes de equações polinomiais
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • recordar e usar as relações entre as raízes e os coeficientes de equações polinomiais | p.ex. para avaliar funções simétricas das raízes ou resolver problemas envolvendo coeficientes desconhecidos em equações; restrito apenas a equações de grau 2, 3 ou 4. |
| • usar uma substituição para obter uma equação cujas raízes estão relacionadas de forma simples às da equação original | Substituições não serão fornecidas para os casos mais fáceis, p.ex. onde as novas raízes são recíprocas ou quadrados ou uma função linear simples das raízes antigas. |
Fonte: Programa Cambridge International
Para uma equação polinomial, as raízes 根 estão ligadas aos coeficientes 系数. Para $ax^2 + bx + c = 0$ com raízes $\alpha, \beta$:
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}.$$
Para um cúbico $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ com raízes $\alpha, \beta, \gamma$:
$$\sum\alpha = -\frac{b}{a}, \qquad \sum\alpha\beta = \frac{c}{a}, \qquad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}.$$
Somas como $\sum\alpha$ e $\sum\alpha\beta$ são funções simétricas 对称函数 das raízes (não mudam se as raízes forem trocadas). Para encontrar uma equação cujas raízes mudam de forma simples, use uma substituição 代换 (por exemplo, ponha $w = \alpha + 1$).
Exemplo resolvido. A equação $x^2 - 5x + 6 = 0$ tem raízes $\alpha, \beta$. Encontre a equação com raízes $\alpha + 1, \beta + 1$.
Aqui $\alpha + \beta = 5$ e $\alpha\beta = 6$. A nova soma é $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, e o novo produto é $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. Então a nova equação é
$$x^2 - 7x + 12 = 0.$$
Explorar
Raízes de um polinômio
y = ax³ + bx² + cx + d
As raízes são onde a curva encontra o eixo x — sua soma e produto ligam-se aos coeficientes.
1.2
Funções racionais e gráficos
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • esboçar gráficos de funções racionais simples, incluindo a determinação de assíntotas oblíquas, em casos em que o grau do numerador e do denominador são no máximo 2 | Incluindo a determinação do conjunto de valores assumidos pela função, p.ex. pelo uso de um discriminante. O plotagem detalhada de curvas não será exigida, mas os esboços geralmente deverão mostrar características significativas, como pontos de virada, assíntotas e interseções com os eixos. |
| • compreender e usar relações entre os gráficos de $y = f(x)$, $y^2 = f(x)$, $y = \frac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ e $y = f(|x|)$ | Incluindo o uso desses gráficos esquemáticos no curso de resolução de equações ou inequações. |
Fonte: Programa Cambridge International
Uma função racional 有理函数 é uma fração de dois polinômios. Quando o numerador tem grau exatamente um maior que o denominador, o gráfico tem uma assíntota oblíqua 斜渐近线 (uma linha inclinada que a curva se aproxima); encontre-a dividindo. Você também deve ser capaz de relacionar o gráfico de $y = f(x)$ àqueles de $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ e $y = f(|x|)$. Encontre o conjunto de valores que a função pode assumir usando o discriminante 判别式, e localize seus pontos de virada 驻点.
Exemplo resolvido. Encontre a assíntota oblíqua de $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
Divida a fração: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Como $x \to \pm\infty$ o resto é $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, então a curva se aproxima da linha $y = x$ — a assíntota oblíqua.
Explorar
Funções racionais
y = a/(x − b) + c
Uma função racional possui assíntotas que a curva aproxima, mas nunca toca.
Vocabulário
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| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 进阶纯数学 | jìn jiē chún shù xué |
| roots/ruːts/ | 根 | gēn |
| coefficients/ˌkəʊɪˈfɪʃənts/ | 系数 | xì shù |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 代换 | dài huàn |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 有理函数 | yǒu lǐ hán shù |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | 斜渐近线 | xié jiàn jìn xiàn |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | 差分法 | chā fēn fǎ |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | 判别式 | pàn bié shì |
| turning points/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnts/ | 驻点 | zhù diǎn |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 部分分式 | bù fèn fēn shì |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | 旋转 | xuán zhuǎn |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 反射 | fǎn shè |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | 放大 | fàng dà |
| stretch/stretʃ/ | 拉伸 | lā shēn |
| shear/ʃɪə/ | 切变 | qiē biàn |
1.3
Soma de séries
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • usar os resultados padrão para $\sum r$, $\sum r^2$, $\sum r^3$ para encontrar somas relacionadas | |
| • usar o método das diferenças para obter a soma de uma série finita | O uso de frações parciais para expressar um termo geral em uma forma adequada pode ser necessário. |
| • reconhecer, por consideração direta de uma soma até $n$ termos, quando uma série é convergente, e encontrar a soma infinita nesses casos |
Fonte: Programa Cambridge International
Aprenda os resultados padrão:
$$\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2.$$
O método das diferenças 差分法 soma uma série cancelando termos do meio: se frações parciais 部分分式 escreverem cada termo como $f(r) - f(r+1)$, quase tudo se cancela. Da soma até $n$ termos, você pode ver se uma série é convergente 收敛 e, se for, encontrar sua soma infinita 无穷和.
Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.
$$\sum_{r=1}^{n}(2r + 1) = 2\sum_{r=1}^{n} r + \sum_{r=1}^{n} 1 = 2\cdot\tfrac12 n(n+1) + n = n(n+1) + n = n(n+2).$$
Explorar
Sequências e suas somas
Passe passo a passo pelos termos e pelo total acumulado — a ideia por trás de uma série e sua soma aos n termos.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| convergent/kənˈvɜːdʒənt/ | 收敛 | shōu liǎn |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | 无穷和 | wú qióng hé |
1.4
Matrizes
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| realizar operações de adição, subtração e multiplicação de matrizes, e reconhecer os termos matriz nula e matriz identidade (ou unitária) | Incluindo matrizes não quadradas. As matrizes terão no máximo 3 linhas e colunas. |
| recordar o significado dos termos singular e não singular aplicados a matrizes quadradas e, para matrizes $2 \times 2$ e $3 \times 3$, calcular determinantes e encontrar invertidas de matrizes não singulares | As notações $\det \mathbf{M}$ para o determinante de uma matriz $\mathbf{M}$, e $\mathbf{I}$ para a matriz identidade, serão usadas. |
| compreender e usar o resultado, para matrizes não singulares, $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ | A extensão para o produto de mais de duas matrizes pode ser necessária. |
| compreender o uso de matrizes $2 \times 2$ para representar certas transformações geométricas no plano $x$-$y$, em particular: – compreender a relação entre as transformações representadas por $\mathbf{A}$ e $\mathbf{A}^{-1}$ – reconhecer que o produto matricial $\mathbf{AB}$ representa a transformação resultante da transformação representada por $\mathbf{B}$ seguida pela transformação representada por $\mathbf{A}$ – recordar como o fator de escala de área de uma transformação está relacionado ao determinante da matriz correspondente – encontrar a matriz que representa uma dada transformação ou sequência de transformações | Compreensão dos termos rotação, reflexão, ampliação, alongamento e cisalhamento para transformações 2D será necessária. Outras transformações 2D podem ser incluídas, mas nenhum conhecimento específico delas é esperado. |
| compreender o significado de invariante aplicado a pontos e linhas no contexto de transformações representadas por matrizes, e resolver problemas simples envolvendo pontos invariantes e linhas invariantes. | p.ex. localizar os pontos invariantes da transformação representada por $\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, ou encontrar as linhas invariantes através da origem para $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, ou mostrar que qualquer linha com inclinação 1 é invariante para $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. |
Fonte: Programa Cambridge International
Uma matriz 矩阵 é um bloco retangular de números. Adição de matrizes soma entradas em posições correspondentes; você também pode subtrair e multiplicar matrizes (a multiplicação é linha $\times$ coluna). A matriz nula 零矩阵 tem todas as entradas $0$, e a matriz identidade 单位矩阵 (ou matriz unitária) $I$ deixa qualquer matriz inalterada sob multiplicação.
Para uma matriz $2\times 2$ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, o determinante 行列式 é $\det A = ad - bc$. Se $\det A \neq 0$ a matriz é não singular (caso contrário é uma matriz singular 奇异矩阵), e a matriz inversa 逆矩阵 é
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$
Para um produto, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Uma matriz $2\times 2$ pode representar uma transformação geométrica 几何变换 do plano — uma rotação 旋转, reflexão 反射, alargamento 放大, alongamento 拉伸 ou cisalhamento 切变: o determinante fornece o fator de escala de área, e um produto $AB$ significa "faça $B$, depois $A$". Pontos ou linhas que não se movem são chamados pontos invariantes 不变点和 linhas invariantes 不变直线.
Exemplo resolvido. Encontre a inversa de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, então
$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}.$$
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Matrizes como transformações
Altere as quatro entradas e observe o quadrado unitário mapear para uma nova forma. O determinante é o fator de escala da área.
Vocabulário
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| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | 矩阵 | jǔ zhèn |
| zero matrix/ˈzɪərəʊ ˈmeɪtrɪks/ | 零矩阵 | líng jǔ zhèn |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | 单位矩阵 | dān wèi jǔ zhèn |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | 行列式 | háng liè shì |
| singular matrix/ˈsɪŋɡjʊlə ˈmeɪtrɪks/ | 奇异矩阵 | qí yì jǔ zhèn |
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | 逆矩阵 | nì jǔ zhèn |
| geometric transformation/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk trænsfɔːˈmeɪʃn/ | 几何变换 | jǐ hé biàn huàn |
| invariant points/ɪnˈveərɪənt pɔɪnts/ | 不变点 | bù biàn diǎn |
| invariant lines/ɪnˈveərɪənt laɪnz/ | 不变直线 | bù biàn zhí xiàn |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | 极坐标 | jí zuò biāo |
| Cartesian coordinates/kɑːˈtiːzɪən kəʊˈɔːdɪnəts/ | 直角坐标 | zhí jiǎo zuò biāo |
| polar curves/ˈpəʊlə kɜːvz/ | 极坐标曲线 | jí zuò biāo qū xiàn |
| plane/pleɪn/ | 平面 | píng miàn |
1.5
Coordenadas polares
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender as relações entre coordenadas cartesianas e polares, e converter equações de curvas da forma cartesiana para polar e vice-versa | A convenção $r \geqslant 0$ será usada. |
| esboce polar curves simples, para $0 \leqslant \theta < 2\pi$ ou $-\pi < \theta \leqslant \pi$ ou um subconjunto de qualquer um desses intervalos | O plotamento detalhado de curvas não será exigido, mas espera-se que os esboços mostrem características significativas, como simetria, coordenadas de interseções com a linha inicial, a forma da curva no polo e os valores mínimos/máximos de $r$. |
| recordar a fórmula $\frac{1}{2} \int r^2 \mathrm{d}\theta$ para a área de um setor, e usar esta fórmula em casos simples. |
Fonte: Programa Cambridge International
Coordenadas polares 极坐标 dão um ponto pela sua distância $r$ da origem e seu ângulo $\theta$. Elas se ligam às coordenadas cartesianas 直角坐标 por
$$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad r^2 = x^2 + y^2.$$
Você deve esboçar curvas polares simples e encontrar a área de um setor com
$$\text{area} = \tfrac12\int r^2\,d\theta.$$
Exemplo resolvido. Converta a equação polar $r = 4\cos\theta$ para a forma cartesiana.
Multiplique ambos os lados por $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, então $x^2 + y^2 = 4x$. Completando o quadrado dá $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, um círculo de raio $2$ centrado em $(2, 0)$.
Explorar
Curvas polares
Escolha uma curva e altere a. Na forma polar, um ponto é definido por sua distância r e ângulo θ — isso desenha rosáceas, cardioides e espirais.
1.6
Vetores
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| usar a equação de um plano em qualquer uma das formas $ax + by + cz = d$ ou $\mathbf{r.n} = p$ ou $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ e converter equações de planos de uma forma para outra conforme necessário na resolução de problemas | |
| recordar que o produto vetorial $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ de dois vetores pode ser expresso tanto como $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\hat{\mathbf{n}}$, onde $\hat{\mathbf{n}}$ é um vetor unitário, ou na forma de componentes como $(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | |
| usar equações de retas e planos, junto com produto escalar e vetorial quando apropriado, para resolver problemas envolvendo distâncias, ângulos e interseções, incluindo: – determinar se uma reta está contida em um plano, é paralela a um plano ou intersecta um plano, e encontrar o ponto de interseção de uma reta e um plano quando existir – encontrar o pé da perpendicular de um ponto a um plano – encontrar o ângulo entre uma reta e um plano, e o ângulo entre dois planos – encontrar uma equação para a reta de interseção de dois planos – calcular a menor distância entre duas retas reversas – encontrar uma equação para a perpendicular comum a duas retas reversas. |
Fonte: Programa Cambridge International
Em três dimensões, um plano 平面 pode ser escrito como $ax + by + cz = d$, ou $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, ou $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Além do produto escalar, existe o produto vetorial 向量积 de dois vetores 向量:
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta\;\hat{\mathbf{n}},$$
que resulta em um vetor perpendicular a ambos. Com produtos escalares e vetoriais você pode encontrar distâncias, ângulos e onde linhas e planos se encontram — incluindo a menor distância entre linhas reversas 异面直线.
Exemplo resolvido. Encontre $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ para $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ e $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = \mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}.$$
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Vetores
a · b = |a||b|cos θ
O produto escalar é zero exatamente quando dois vetores são perpendiculares.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | 向量积 | xiàng liàng jī |
| vectors/ˈvektəz/ | 向量 | xiàng liàng |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | 异面直线 | yì miàn zhí xiàn |
| mathematical induction/ˌmæθɪˈmætɪkl ɪnˈdʌkʃn/ | 数学归纳法 | shù xué guī nà fǎ |
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | 猜想 | cāi xiǎng |
| inductive proof/ɪnˈdʌktɪv pruːf/ | 归纳证明 | guī nà zhèng míng |
| symmetric functions/sɪˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 对称函数 | duì chèn hán shù |
1.7
Demonstração por indução
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| usar o método de indução matemática para estabelecer um resultado dado | p.ex. $\sum_{r=1}^{n} r^4 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$, $u_n = \frac{1}{2}(1 + 3^{n-1})$ para a sequência dada por $u_{n+1} = 3u_n - 1$ e $u_1 = 1$, $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 3 \times 2^n - 2 & 1 - 2^n \\ 3 \times 2^{n+1} - 6 & 3 - 2^{n+1} \end{pmatrix}$, $3^{2n} + 2 \times 5^n - 3$ são divisíveis por 8. |
| reconhecer situações onde a conjetura baseada em uma prova limitada seguida por prova indutiva é uma estratégia útil, e realizá-la em casos simples. | p.ex. encontrar a $n$-ésima derivada de $x e^x$, encontrar $\sum_{r=1}^{n} r \times r!$. |
Fonte: Programa Cambridge International
Indução matemática 数学归纳法 prova um resultado para todo inteiro positivo $n$ em dois passos:
- Caso base: mostre que o resultado é verdadeiro para $n = 1$.
- Passo indutivo: assuma que é verdade para $n = k$, então prove para $n = k + 1$.
Se ambos os passos funcionarem, o resultado é verdadeiro para todos os $n$. Muitas vezes você primeiro faz uma conjetura 猜想 (um palpite razoável) a partir de alguns casos, depois confirma por prova indutiva 归纳证明.
Exemplo resolvido. Prove que $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.
Caso base $n = 1$: o lado esquerdo é $1$ e o lado direito é $\tfrac12(1)(2) = 1$. Verdadeiro. Passo indutivo: assuma $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Então
$$\sum_{r=1}^{k+1} r = \tfrac12 k(k+1) + (k+1) = (k+1)\left(\tfrac{k}{2} + 1\right) = \tfrac12 (k+1)(k+2).$$
Esta é a fórmula com $n = k + 1$, então por indução ela vale para todos os $n$.
Explorar
Rota de prova por indução
Veja a indução como uma primeira domino mais uma regra que empurra cada próximo caso.
1.7
Dicas de prova
- Use as relações entre raízes e coeficientes (soma, soma de pares, produto) em vez de resolver o polinômio.
- Para a demostração por indução, apresente o caso base, assuma o resultado para $n = k$, prove para $n = k+1$, e escreva uma conclusão clara.
- Esboce gráficos de funções racionais com suas assíntotas e pontos de virada; use o método das diferenças para uma soma.
- Para matrizes, conheça o determinante, a inversa e as linhas invariantes, e interprete cada transformação geometricamente.
Aulas interativas sobre este tópico
Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.