AP Statistics · Topic 1 · トピック 1
9:03
単変量データの探索
同じものを20回測定しても、20回の結果がすべて一致するとは限りません。20人の学生が同じ机を測りましたが、値は異なりました。これは…ではありません。
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Enduring Understanding (VAR-1): Given that variation may be random or not, conclusions are uncertain.
Learning Objective VAR-1.A: Identify questions to be answered, based on variation in one-variable data. [Skill 1.A]
長期的理解（VAR-1）： ばらつきがランダムである場合でもそうでない場合でも、結論には不確実性が伴う。
学習目標 VAR-1.A： 単一変数データのばらつきに基づいて、答えたい問いを特定せよ。[スキル 1.A]
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
Statistics 统计学 is the science of learning from data 数据 – numbers or labels collected from the real world. Data vary, so we describe patterns and account for the variation 变异 rather than expecting every value to match. A statistical question anticipates an answer based on data that vary.
Two distinctions run through the whole course. A parameter 参数 is a numerical summary of a whole population; a statistic 统计量 is a numerical summary of a sample - we use the statistic to estimate the parameter we cannot measure directly. And descriptive statistics 描述统计 only summarise the data set in hand, while inferential statistics 推断统计 use a sample to make and test claims about the larger population.
統計学とは、現実世界から収集された数値やラベルであるデータから学ぶ科学である。データは変動するため、すべての値が一致することを期待するのではなく、パターンを記述し、変動を説明する必要がある。統計学の問題は、変動するデータに基づく回答を前提としている。
コース全体を通じて2つの区別が存在する。パラメータとは全体の母集団の数値要約であり、統計量とは標本の数値要約である。直接測定できないパラメータを推定するために、統計量を使用する。また、記述統計は手持ちのデータセットを要約するのみであるのに対し、推論統計は標本を用いてより大きな母集団に関する主張を行ない、検証する。
Enduring Understanding (VAR-1): Given that variation may be random or not, conclusions are uncertain.
Learning Objective VAR-1.B: Identify variables in a set of data. [Skill 2.A]
Learning Objective VAR-1.C: Classify types of variables. [Skill 2.A]
長期的理解（VAR-1）： ばらつきがランダムである場合でもそうでない場合でも、結論には不確実性が伴う。
学習目標 VAR-1.B： データセットの変数を特定せよ。[スキル 2.A]
学習目標 VAR-1.C： 変数の種類を分類せよ。[スキル 2.A]
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
A variable 变量 is a characteristic that can differ between individuals. Two kinds:
Choosing the right graph and summary depends on which kind you have.
変数とは、個人間で異なる特性のこと。2つの種類がある：
適切なグラフと要选择合适的取决于你拥有哪种类型。
Every variable is either categorical (it labels each unit with a group) or quantitative (a measured number you can average). Which kind it is decides the graphs and summaries you are allowed to use. · 変数は質的変数（単位をグループで識別するもの）か量的変数（平均を取れる測定値）のいずれかです。この種類によって、使用可能なグラフや要約方法が決まります。
Enduring Understanding (UNC-1): Graphical representations and statistics allow us to identify and represent key features of data.
Learning Objective UNC-1.A: Represent categorical data using frequency or relative frequency tables. [Skill 2.B]
Learning Objective UNC-1.B: Describe categorical data represented in frequency or relative tables. [Skill 2.A]
永続的理解 (UNC-1): グラフや統計は、データの主要な特徴を特定・表現するために用いられる。
学習目標 UNC-1.A: 頻度表または相対頻度表を用いてカテゴリカルデータを表現する。[スキル 2.B]
学習目標 UNC-1.B: 頻度表または相対頻度表で表現されたカテゴリカルデータを説明する。[スキル 2.A]
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
A frequency table 频数表 lists each category's count (frequency); a relative frequency 相对频率 table lists each category's proportion 比例 (count ÷ total). Relative frequencies let you compare groups of different sizes fairly.
頻度表は各カテゴリの個数（頻度）をリストアップし、相対頻度表は各カテゴリの割合（個数 ÷ 総数）をリストアップする。相対頻度を用いることで、異なるサイズのグループ間を公平に比較できる。
Enduring Understanding (UNC-1): Graphical representations and statistics allow us to identify and represent key features of data.
Learning Objective UNC-1.C: Represent categorical data graphically. [Skill 2.B]
Learning Objective UNC-1.D: Describe categorical data represented graphically. [Skill 2.A]
Learning Objective UNC-1.E: Compare multiple sets of categorical data. [Skill 2.D]
永続的理解 (UNC-1): グラフや統計は、データの主要な特徴を特定・表現するために用いられる。
学習目標 UNC-1.C: グラフを用いてカテゴリカルデータを表現する。[スキル 2.B]
学習目標 UNC-1.D: グラフで表現されたカテゴリカルデータを説明する。[スキル 2.A]
学習目標 UNC-1.E: 複数のカテゴリカルデータのセットを比較する。[スキル 2.D]
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
Bar charts 条形图 show the count or proportion of each category as separated bars; a pie chart shows each category's share of the whole. The bar heights (or slices) let you compare categories at a glance. Bars may be ordered by size or by a natural category order.
棒グラフは各カテゴリの個数や割合を独立した棒で示し、円グラフは各カテゴリの全体に対する割合を示す。棒の高さ（または扇形の角度）により、カテゴリを一目で比較できる。棒はサイズ順や自然なカテゴリ順序で並べられることもある。
A pie chart turns each category's share of the whole into a slice: a bigger share is a bigger slice, and every slice together makes 100%. It is a picture of a relative-frequency table. · 円グラフは全体のうち各カテゴリーの割合をスライスに変換します。割合が大きいほどスライスの大きさも大きくなり、すべてのスライスを合わせると100%になります。これは相対頻度表の視覚的な表現です。
Enduring Understanding (UNC-1): Graphical representations and statistics allow us to identify and represent key features of data.
Learning Objective UNC-1.F: Classify types of quantitative variables. [Skill 2.A]
Learning Objective UNC-1.G: Represent quantitative data graphically. [Skill 2.B]
永続的理解 (UNC-1): グラフや統計は、データの主要な特徴を特定・表現するために用いられる。
学習目標 UNC-1.F: 定量的変数の種類を分類する。[スキル 2.A]
学習目標 UNC-1.G: グラフを用いて定量的データを表現する。[スキル 2.B]
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
For numbers, use a dotplot 点图, stem-and-leaf plot 茎叶图, or histogram 直方图 (bars over value intervals called bins). These show the distribution 分布 – how the values spread out. A histogram's bin width changes the picture, so choose it to reveal the shape.
数値に対しては、ドットプロット、茎葉図、またはヒストグラム（値区間であるビンの上に置かれた棒）を使用する。これらは分布、つまり値がどのように広がっているかを示す。ヒストグラムのビンの幅は視覚的に変化させるため、形状を明確にするために適切に選択する。
A histogram groups data into equal-width bins and draws a bar over each. Change the bins and notice how the same data can look jagged (too narrow) or smooth (too wide) — the shape is a choice. · ヒストグラムはデータを等幅のビンに分類し、各ビンの上に棒を描きます。ビンを変更すると、同じデータでもギザギザ（ビンが狭すぎる場合）や滑らか（ビンが広すぎる場合）に見え方が変わり、形状は選択によるものです。
| English | 日本語 |
|---|---|
| Statistics/stəˈtɪstɪks/ | 統計学 |
| data/ˈdeɪtə/ | データ |
| variation/ˌveərɪˈeɪʃn/ | 変異 |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | パラメータ |
| statistic/stəˈtɪstɪk/ | 統計量 |
| descriptive statistics/dɪˈskrɪptɪv stəˈtɪstɪks/ | 記述統計 |
| inferential statistics/ɪnfəˈrenʃl stəˈtɪstɪks/ | 推定統計学 |
| variable/ˈveərɪəbl/ | 変数 |
| Categorical/ˌkætɪˈɡɒrɪkl/ | 範疇的 |
| Quantitative/ˈkwɒntɪteɪtɪv/ | 定量的 |
| frequency table/ˈfriːkwənsi ˈteɪbl/ | 頻度表 |
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | 相対周波数 |
| proportion/prəˈpɔːʃn/ | 比例 |
| Bar charts/bɑː tʃɑːts/ | 棒グラフ |
| dotplot/ˈdɒtplɒt/ | ドットプロット |
| stem-and-leaf plot/stem ænd liːf plɒt/ | 茎葉図 |
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | ヒストグラム |
Enduring Understanding (UNC-1): Graphical representations and statistics allow us to identify and represent key features of data.
Learning Objective UNC-1.H: Describe the characteristics of quantitative data distributions. [Skill 2.A]
永続的理解 (UNC-1): グラフや統計は、データの主要な特徴を特定・表現するために用いられる。
学習目標 UNC-1.H: 定量的データの分布の特徴を説明する。[スキル 2.A]
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
Describe four things (remember SOCS):
Always describe shape/center/spread in context, with units.
4つの要素を記述する（SOCSを思い出す）：
常に、単位を添えて、文脈の中で形状・中心・ばらつきを記述すること。
| English | 日本語 |
|---|---|
| distribution/ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 分配 |
| Shape/ʃeɪp/ | 形状（Shape） |
| skewed/skjuːd/ | 歪んでいる |
| unimodal/ˌʌnɪˈmɒdl/ | 単一ピーク分布 |
| bimodal/baɪˈmɒdl/ | 二峰分布 |
| uniform/ˈjuːnɪfɔːm/ | 均一 |
| Outliers/ˈaʊtlaɪəz/ | 外れ値 |
| mean/miːn/ | 平均 |
| median/ˈmiːdiːən/ | 中央値 |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | 四分位範囲 |
| Enduring Understanding | Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|---|
UNC-1 | UNC-1.I |
|
UNC-1.J |
| |
UNC-1.K |
|
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
Use resistant measures (median, IQR) for skewed data; mean and standard deviation for roughly symmetric data.
The percentile 百分位数 of a value is the percent of the data at or below it – so the median is the 50th percentile and $Q_1$ the 25th. A cumulative relative frequency graph 累积相对频率图 makes percentiles easy to read: for each value it plots the proportion of the data at or below it, rising from 0 to 1. Go up from a value to the curve and across to its percentile, or reverse the steps to find the value at a given percentile (the same reading works from a cumulative-frequency table).
Worked example. For the data $4, 8, 6, 10, 7$: the mean is $\bar{x}=\dfrac{4+8+6+10+7}{5}=\dfrac{35}{5}=7$. Sorting to $4,6,7,8,10$, the median is the middle value, $7$. The mean and median agree here because the data are roughly symmetric.
歪んだデータには 抵抗性のある指標（中央値、IQR）を使用し、ほぼ対称的なデータには平均と標準偏差を使用する。
ある値の 百分位数 は、その値以下にあるデータの割合である。したがって、中央値は第50百分位数であり、$Q_1$は第25百分位数である。累積相対頻度グラフ を用いると百分位数を読み取りやすい。このグラフでは、各値に対してそれ以下のデータの比率をプロットし、0から1まで上昇する曲線を描く。値から垂直に上に進んで曲線に当たり、そこから水平に進んで対応する百分位数を見つけるか、逆に百分位数から値を求めることもできる（累積頻度表でも同様の読み取りが可能）。
** worked example.** データ $4, 8, 6, 10, 7$ において、平均は $\bar{x}=\dfrac{4+8+6+10+7}{5}=\dfrac{35}{5}=7$ である。昇順に並べた $4,6,7,8,10$ の中央の値が中央値 $7$ となる。ここではデータがほぼ対称的であるため、平均と中央値は一致している。
| English | 日本語 |
|---|---|
| standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | 標準偏差 |
| variance/ˈveərɪəns/ | 分散 |
| five-number summary/faɪv ˈnʌmbə ˈsʌməri/ | 5数要約 |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | パーセンタイル |
| cumulative relative frequency graph/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi ɡræf/ | 累積相対頻度グラフ |
| Enduring Understanding | Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|---|
UNC-1 | UNC-1.L |
|
UNC-1.M |
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Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
A boxplot 箱线图 draws the five-number summary: a box from $Q_1$ to $Q_3$ with the median inside, and whiskers to the most extreme non-outlier values. A point is an outlier if it lies more than $1.5\times\text{IQR}$ beyond a quartile – a rule you may be asked to apply. Boxplots are ideal for comparing several groups side by side.
Worked example. A dataset has $Q_1=20$ and $Q_3=32$, so $\text{IQR}=12$. The outlier fences are $Q_1-1.5(12)=2$ and $Q_3+1.5(12)=50$. Any value below $2$ or above $50$ is flagged as an outlier.
箱ひげ図 は5数要約を描く。$Q_1$ から $Q_3$ までの箱に中央値を含め、最も極端な外れ値ではない値までひげを伸ばす。ある点は四分位数から $1.5\times\text{IQR}$ 以上離れている場合、それは 外れ値 であり、このルールを適用するよう指示されることもある。箱ひげ図は複数のグループを横並びで比較するのに最適である。
** worked example.** データセットに $Q_1=20$ と $Q_3=32$ が含まれるため、$\text{IQR}=12$ となる。外れ値の境界値は $Q_1-1.5(12)=2$ と $Q_3+1.5(12)=50$ である。$2$ より小さい値や $50$ より大きい値はすべて外れ値としてフラグ付けされる。
Drag $Q_1$, the median, and $Q_3$ to see the box (its length is the IQR) and how the median's position inside the box reveals skew — a median close to $Q_1$ signals a right-skewed distribution. · $Q_1$、中央値、および$Q_3$をドラッグして、箱（その長さはIQR）を確認します。また、箱内の中央値の位置から歪みを見取ることができます。中央値が$Q_1$に近い場合、右に歪んだ分布を示しています。
| English | 日本語 |
|---|---|
| boxplot/ˈbɒksplɒt/ | 箱ひげ図 |
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 正規分布 |
Enduring Understanding (UNC-1): Graphical representations and statistics allow us to identify and represent key features of data.
Learning Objective UNC-1.N: Compare graphical representations for multiple sets of quantitative data. [Skill 2.D]
Learning Objective UNC-1.O: Compare summary statistics for multiple sets of quantitative data. [Skill 2.D]
永続的理解 (UNC-1): グラフや統計は、データの主要な特徴を特定・表現するために用いられる。
学習目標 UNC-1.N: 複数の定量データセットに対して、グラフによる表現を比較する。[スキル 2.D]
学習目標 UNC-1.O: 複数の定量データセットの要約統計量を比較する。[スキル 2.D]
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
To compare two or more groups, compare shape, center, and spread, and mention outliers – always with comparative words ("Group A has a higher median than Group B") and in context. Do not just describe each group separately; make the comparison explicit.
2つ以上のグループを比較するには、形状、中心、ばらつき を比較し、外れ値にも言及する。常に比較表現（「グループAの中央値はグループBよりも 高い」など）を用いて文脈の中で記述すること。各グループを個別に説明するだけでなく、明確に比較を行うこと。
A box plot draws the five-number summary. Placing two box plots on the same scale compares their centre (median), spread (IQR = box width) and skew at a glance — the fair way to compare groups. · 箱ひげ図は5数要約を視覚化します。同じスケール上に2つの箱ひげ図を配置することで、中心（中央値）、ばらつき（IQR＝箱の幅）、歪みを一目で比較でき、グループ間の公平な比較が可能になります。
Enduring Understanding (VAR-2): The normal distribution can be used to represent some population distributions.
Learning Objective VAR-2.A: Compare a data distribution to the normal distribution model. [Skill 2.D]
Learning Objective VAR-2.B: Determine proportions and percentiles from a normal distribution. [Skill 3.A]
Learning Objective VAR-2.C: Compare measures of relative position in data sets. [Skill 2.D]
長期的理解（VAR-2）： 正規分布は、ある集団の分布を表すために使用できる。
学習目標 VAR-2.A： データの分布を正規分布モデルと比較せよ。[スキル 2.D]
学習目標 VAR-2.B： 正規分布から割合とパーセンタイルを決定せよ。[スキル 3.A]
学習目標 VAR-2.C： データセット内の相対位置の尺度を比較せよ。[スキル 2.D]
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
A normal distribution 正态分布 is a symmetric, bell-shaped model described by its mean $\mu$ and standard deviation $\sigma$. The empirical rule 经验法则 (68–95–99.7): about 68% of values lie within $1\sigma$ of the mean, 95% within $2\sigma$, and 99.7% within $3\sigma$.
A $z$-score 标准分数 measures how many standard deviations a value is from the mean:
Worked example. Test scores are normal with $\mu=500$ and $\sigma=100$. A score of $700$ has $z=\dfrac{700-500}{100}=2$. By the empirical rule, $95\%$ of scores lie within $2\sigma$, so $2.5\%$ lie above $700$ – meaning a $700$ is at about the $97.5$th percentile.
正規分布 は対称的で釣鐘型のモデルであり、平均 $\mu$ と標準偏差 $\sigma$ で記述される。経験則（68–95–99.7）によれば、値の約68%が $1\sigma$ 以内に、95%が $2\sigma$ 以内に、99.7%が $3\sigma$ 内にある。
ある $z$-点 は、ある値が平均から何標準偏差離れているかを測る：
** worked example.** テスト点数は平均 $\mu=500$、標準偏差 $\sigma=100$ の正規分布に従います。得点 $700$ は $z=\dfrac{700-500}{100}=2$ に相当します。経験則により、得分の $95\%$ は $2\sigma$ の範囲内にあり、したがって $2.5\%$ は $700$ より上にあります。つまり、$700$ はおおよそ $97.5$ パーセンタイルに位置しています。
The proportion of data below a value equals the area under the curve to its left. Shade a tail or a central band to see the 68–95–99.7 empirical rule and read a $z$-score as an area. · ある値以下のデータの割合は、その左側の曲線下の面積に等しいため、尾部分または中央部を着色して68–95–99.7経験則を確認したり、$z$-点数を面積として読み取ったりできます。
| English | 日本語 |
|---|---|
| empirical rule/emˈpɪrɪkl ruːl/ | 経験則 |
| $z$-score/ˈzed skɔː/ | $z$-スコア |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · 一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。
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