English
| Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|
13.1.A |
|
電磁気的誘導
AP Physics C: 電磁気学 · トピック 13
9:11
電磁気的誘導
あなたが使ってきた電力のほぼすべては、磁石とコイルの線が互いに動いて始まる同じ方法で始まり、燃料も燃焼も必要としなかった：ただ…
英語ナレーション・英語＋中文字幕 burning-in
13.1
磁束
シラバス
出典: College Board AP コースおよび試験説明書
磁束は、面を通過する磁場の量を表す。平坦なループを貫く均一な磁場の場合、それは$\Phi_B=\vec{B}\cdot\vec{A}=BA\cos\theta$の内積である; 一般的には表面積分である
$$\Phi_B=\int \vec{B}\cdot d\vec{A}.$$
面積ベクトルは面に垂直であり（閉じた面からは外向き）、磁束の符号は内積から決まる。$B$が変わる、面積が変わる、あるいはループが回転する場合に磁束は変化する – これら3つの経路をすべて念頭に置くこと。なぜなら、それぞれが試験問題になるからである。
13.2
電磁誘起
シラバス
学習目標 13.2.A: 磁束の変化に伴って生じる誘起起電力を記述する。
- 13.2.A.1 ファラデーの法則は、変化する磁束とそれに伴う誘起起電力との関係を示す。
- 式: $\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt} = -\dfrac{d\left(\vec{B} \cdot \vec{A}\right)}{dt}$
- 13.2.A.1.i 対象とする表面の面積が一定の場合、誘起起電力は、面積に、磁束密度の面に対する垂直成分の変化率を掛けた値に等しい。
- 13.2.A.1.ii 磁場が一定の場合、誘導起電力は、磁場と、磁場に垂直な方向の面積の変化率との積に等しい。
- 13.2.A.1.iii 長いソレノイドで起電力が誘起される場合、全誘導起電力は、単一ループの誘導起電力にソレノイドのループ数を乗じたものとなる。
- 数式: $\left|\mathcal{E}_{\text{sol}}\right| = N\left|\dfrac{d\Phi_B}{dt}\right|$
- 13.2.A.2 レンツの法則は、変化する磁束によって生じる誘起起電力の方向を決定するために用いられる。
- 13.2.A.2.i 誘導起電力は、磁束の変化に反する方向の磁場を生む電流を発生させる。
- 13.2.A.2.ii 右手の法則は、電流、起電力、および磁束の関係性を決定するために用いられる。
- 13.2.A.3 マクスウェルの方程式は、電磁気学を完全に記述する一連の方程式である。マクスウェルの第三式はファラデーの電磁誘導の法則であり、変化する磁束と誘導された電界との関係を示している。
- 式: $\mathcal{E} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{\ell} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$
- 13.2.A.4 マクスウェルの方程式を用いることで、電気および磁場が波動方程式に従い、電磁波が真空中で一定の速度で伝播することが示せる。
- 式（導出）: $c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$
境界声明: AP Physics C: Electricity & Magnetismでは、学生にマクスウェルの方程式から真空中での光の速度を数学的に導出することを求めない。上記の関係性は、学生が進んだ物理学の授業でより深く学ぶことのできる物理現象への応用、含意、および関連性を示すためにのみ記載されている。
出典: College Board AP コースおよび試験説明書
変化する磁束は起電力emfを誘起する – ファラデーの法則:
$$\varepsilon=-\frac{d\Phi_B}{dt}.$$
面積が一定の場合、$\varepsilon=-A\,\dfrac{dB_\perp}{dt}$；磁場が一定の場合、$\varepsilon=-B\,\dfrac{dA_\perp}{dt}$。$N$巻のコイルは単一ループの起電力を増幅します：$|\varepsilon_{\text{sol}}|=N\left|\dfrac{d\Phi_B}{dt}\right|$。
レンツの法則はマイナス記号である: 誘起電流は、それを生んだ磁束の変化に逆らうよう自身の磁場を作る向きに流れる。ループに磁石を近づければループは押し返し、離せば引き戻す。 右手の法則を使って「変化に逆らう」ことを電流の向きに変換する。
長さ$L$の棒が速度$v$で磁場内を滑動する様子は、記憶すべき特殊ケースである – モーションエムフ$\varepsilon=BLv$。
計算例。 導棒 $0.20\ \text{m}$ が速度 $3.0\ \text{m/s}$ で磁場 $0.50\ \text{T}$ 内を横切る：生じる起電力は $\varepsilon=BLv=0.50(0.20)(3.0)=0.30\ \text{V}$ 。同様に、単一ループの磁束が $0.020\ \text{Wb}$ から $0.008\ \text{Wb}$ に $0.030\ \text{s}$ の間に減少する場合、平均起電力は $\varepsilon=\dfrac{0.012}{0.030}=0.40\ \text{V}$ となる。
ファラデーの法則は、より深い形でマクスウェル方程式の第3式でもある: 変化する磁気磁束は巡回する電気場$\oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\dfrac{d\Phi_B}{dt}$を生じ、その場がループ内の荷電粒子を動かす原因となる。これらを合わせると、マクスウェル方程式は光速度$c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$で伝播する電磁波を予測する（この関係を知ることは必要だが、APでは導出は問われない）。
探索
磁石を動かして電流を誘起する
コイルを通り抜ける磁束の変化が起電力を誘起する（ファラデーの法則）。その方向は変化に逆らう（レンツの法則）。磁石を速く動かせば大きな起電力を得られる。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| Magnetic flux/mæɡˈnetɪk flʌks/ | 磁束 |
| surface integral/ˈsɜːfɪs ˈɪntɪɡrəl/ | 面積分 |
| area vector/ˈeərɪə ˈvektə/ | 面積ベクトル |
| emf/emf/ | 起電力 |
| Faraday's law/ˈfærədeɪz lɔː/ | ファラデーの法則 |
| Lenz's law/ˈlentsɪz lɔː/ | レンツの法則 |
| induced current/ɪnˈdjuːst ˈkʌrənt/ | 誘導電流 |
| right-hand rule/raɪt hænd ruːl/ | 右手の法則 |
| motional emf/ˈməʊʃənl emf/ | 運動起電力 |
| Maxwell's equations/ˈmækswelz ɪˈkweɪʒnz/ | マクスウェルの方程式 |
| electromagnetic waves/ɪˌlektrəʊməɡˈnetɪk weɪvz/ | 電磁波 |
| eddy currents/ˈedi ˈkʌrənts/ | 渦電流 |
| generator/ˈdʒenəreɪtə/ | 発電機 |
| inductance/ɪnˈdʌktəns/ | インダクタンス |
| inductor/ɪnˈdʌktə/ | コイル |
| solenoid/ˈsəʊlənɔɪd/ | ソレノイド |
| magnetic permeability/mæɡˈnetɪk ˌpɜːməˈbɪlɪti/ | 透磁率 |
| RL circuit/ˌɑː ˈel ˈsɜːkɪt/ | RL回路 |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程式 |
| time constant/taɪm ˈkɒnstənt/ | 時間定数 |
| LC circuit/ˌel ˈsiː ˈsɜːkɪt/ | LC回路 |
| oscillates/ˈɒsɪleɪts/ | 振動する |
| simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | 簡谐運動 |
| conservation of energy/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv ˈenədʒi/ | エネルギー保存則 |
13.3
誘起電流と磁気力
シラバス
学習目標 13.3.A: 外部磁場と導体内部の誘起電流との相互作用によって導体に働く力を説明せよ。
- 13.3.A.1 導電性ループに誘起電流が生じると、既に存在する磁場がループ内の移動する荷電粒子に磁気力を作用させる。
- 式: $\vec{F}_B = \displaystyle\int I\left(d\vec{\ell} \times \vec{B}\right)$
- 13.3.A.2 導電性ループに電流が誘起される場合、磁気力は外部磁場内にあるループの一部にのみ作用する。これらの磁気力により、並進運動または回転運動の加速度が生じることがある。
- 13.3.A.3 導電性ループに働く力は、ループ内の誘起電流に比例する。この誘起電流は、磁束の変化率、ループの抵抗、およびループの速度に依存する。
- 13.3.A.4 磁場中を移動して誘起起電力を受ける導電性ループには、ニュートンの第二法則を適用できる。
出典: College Board AP コースおよび試験説明書
一度誘起電流が流れると、外部磁場がそれに対して力$\vec{F}=\int I\,d\vec{l}\times\vec{B}$を加える – レンツの法則によれば、その力は always 誘起を引き起こす運動に抵抗する。ループの一部が実際に磁場内に含まれている部分のみが力を受けるが、これはループを加速させたり回転させたり、あるいはブレーキをかけたりする可能性がある。これが渦電流ブレーキの起源であり、移動中のループや棒に対して他の力学問題と同様にニュートンの第二法則を適用できる。
古典的な構成は、抵抗器で接続された導電レールの上を滑動する棒である:
worked example (the full chain). 距離$L=0.20\ \text{m}$で間隔を置かれたレールに抵抗$R=0.60\ \Omega$があり、ページ内向きの磁束密度$0.50\ \text{T}$の磁場中にある。棒を一定の速度$3.0\ \text{m/s}$で押す。すると: $\varepsilon=BLv=0.30\ \text{V}$; $I=\varepsilon/R=0.50\ \text{A}$; 磁場は棒に対して$F=BIL=0.50(0.50)(0.20)=0.050\ \text{N}$の反発力を加える。押す力が$P=Fv=0.15\ \text{W}$のパワーで仕事を行い – これはちょうど抵抗器で散逸する$P=I^2R=0.15\ \text{W}$に等しい。機械的仕事は電気エネルギーに変換される: これは発電機であり、エネルギー保存則が成り立つ。押さえずに解放すれば、棒は指数関数的に減速する: $ma=-\dfrac{B^2L^2}{R}v$。
Exam skill. FRQはこの exact chain をたどる: 磁束$\to$ → 起電力$\to$ → 電流$\to$ → 力$\to$ → ニュートンの第二法則。各リンクを個別に書き、最後にレンツの法則で方向を確認する。
13.4
自己誘導
シラバス
学習目標 13.4.A: インダクタ（コイル）の物理的・電気的特性を説明せよ。
- 13.4.A.1 自己誘導とは、導体が電流の変化に逆らおうとする性質である。
- 13.4.A.1.i 導体のインダクタンス（自己誘導係数）は導体の物理的性質に依存する。直線状の導体は通常、インダクタンスがゼロであるとモデル化される。
- 13.4.A.1.ii ソレノイドなどのコイルは、有意なインダクタンスを持つ回路素子である。
- 13.4.A.1.iii ソレノイドのインダクタンスは、総巻数、ソレノイドの長さ、断面積、およびコアの透磁率に依存する。
- 数式: $L_{\text{sol}} = \dfrac{\mu_{\text{core}} N^2 A}{\ell}$
- 13.4.A.2 インダクタは、自身を通る電流によって生成される磁場内にエネルギーを蓄える。
- 式: $U_L = \dfrac{1}{2} L I^2$
- 13.4.A.2.i インダクタに電流が流れているときに生じる磁場内に蓄えられたエネルギーは、抵抗器を通じて散逸するか、またはコンデンサを充電するために使用され得る。
- 13.4.A.2.ii インダクタで生成されたエネルギーが他の形態のエネルギーへ転移する際、保存の法則に従う。
- 13.4.A.3 インダクタにファラデーの誘導の法則を適用し、自己誘導の定義を用いることで、誘起起電力を自己誘導と電流の変化率で表すことができる。
- 式: $\mathcal{E}_i = -L\dfrac{dI}{dt}$
出典: College Board AP コースおよび試験説明書
自己誘導インダクタンスとは、導体が自身の電流の変化に抵抗しようとする性質である: 変化する電流は自身の磁束を変化させ、それが自己誘起による起電力を生む。ファラデーの法則より、
$$\varepsilon=-L\frac{dI}{dt}.$$
コイルとは、大きなインダクタンスを持つように設計された回路素子であり、通常はソレノイドで構成される。幾何学的形状により
$$L_{\text{sol}}=\frac{\mu_{\text{core}}N^2A}{\ell},$$
$N$の総巻数、断面積$A$、長さ$\ell$、そしてコアの透磁率が与えられる。（直線導体はインダクタンスをゼロとみなすモデル化がなされる。）電流$I$を流しているコイルは、その磁場中にエネルギーを蓄える：
$$U_L=\tfrac{1}{2}LI^2,$$
このエネルギーは後で抵抗器で散逸したり、コンデンサへ移動したりする——通常のエネルギー保存則が適用される。
13.5
抵抗器とコイルを含む回路
シラバス
学習目標 13.5.A: 抵抗と単一のインダクタを含む回路の物理的・電気的特性を説明せよ。
- 13.5.A.1 電流が変化すると、抵抗はインダクタに蓄えられていたエネルギーを散逸させる。
- 13.5.A.2 バッテリーの起電力が$\mathcal{E}$である直列LR回路にはキルヒホフのループ則を適用でき、ループ内の電流を表す微分方程式が得られる。
- 式（導出）: $\mathcal{E} = IR + L\dfrac{dI}{dt}$
- 13.5.A.3 時間定数は、LR回路の挙動における重要な特徴である。
- 13.5.A.3.i 回路の時間定数は、LR回路が定常状態に達する速さを表す指標であり、式 $\tau = \dfrac{L}{R_{\text{eq}}}$ で記述される。
- 13.5.A.3.ii 時間定数は、システムが初期の変化率で変化し続けた場合に、LR回路が定常状態に達するために要する時間を表す。
- 13.5.A.3.iii 初期電流がゼロのインダクタにおいて、時間定数は、インダクタ内の電流が最終的な漸近値の約 63 パーセントに達するために要する時間を表す。
- 13.5.A.3.iv 初期電流があるインダクタにおいて、時間定数は、インダクタ内の電流が初期値の約 37 パーセントに達するために要する時間を表す。
- 13.5.A.4 インダクタの電気特性は、インダクタ内の電流が変化する時間区間中に変化し、長い時間の経過後には定常状態の挙動を示すようになる。
- 13.5.A.4.i インダクタを含む回路でスイッチを最初に閉じたり開いたりしたりする場合、誘導起電力は、インダクタを含む枝の印加電圧差と等しく、かつ逆向きとなる。
- 13.5.A.4.ii インダクタ両端の電圧差、インダクタ内の電流、およびインダクタに蓄えられたエネルギーは、時間に対して指数関数的に変化し、回路の初期条件によって決まる漸近線を持つ。
- 13.5.A.4.iii 回路の時定数よりもはるかに長い時間が経過した後、インダクタは零抵抗の導線として振る舞う。
出典: College Board AP コースおよび試験説明書
電池$\varepsilon$、抵抗器$R$、コイル$L$が直列に接続されたRL回路において、キルヒホフのループ則から微分方程式が得られる：
$$\varepsilon=IR+L\frac{dI}{dt}\quad\Rightarrow\quad I(t)=\frac{\varepsilon}{R}\big(1-e^{-t/\tau}\big),\qquad \tau=\frac{L}{R}.$$
時間定数$\tau$が変化のペースを決める：$\tau$経過後、上昇中の電流は最終値の約$63\%$に達し（減衰中の場合は$37\%$まで下がる）、これは初期速度で変化が生じた場合の所要時間とも等しい。2つの極限状態を習得しておくことが重要である——これらが多くの概念問題の答えとなる：
- スイッチ闭合直後（$t=0$）：電流は即座に変化できないため、コイルは一時的に電流の流れを遮り、印加された電位差と等しく逆向きの自己誘導起電力を発生させる。
- 長期間経過後（$t\gg\tau$）：電流は一定値$dI/dt=0$となり、コイルは単なる導線の振る舞いをする——これはコンデンサの正反対の挙動である。
** worked example.** $\varepsilon=12\ \text{V}$, $R=6.0\ \Omega$, $L=3.0\ \text{H}$: 最終電流$\varepsilon/R=2.0\ \text{A}$, $\tau=L/R=0.50\ \text{s}$. $t=0.50\ \text{s}$における電流は$2.0(1-e^{-1})\approx1.3\ \text{A}$. $t=0$ではコイルの電位差は全体的な$12\ \text{V}$となり、$t\to\infty$になるにつれてゼロに減少する. 電流、コイル電圧、蓄えられたエネルギーはすべて時間に依存して指数関数的に変化する。
13.6
コンデンサとコイルを含む回路
シラバス
学習目標 13.6.A: キャパシタと単一のインダクタからなる回路の物理的・電気的特性を説明する。
- 13.6.A.1 充電されたキャパシタとインダクタのみからなる回路（LC回路）において、インダクタを流れる最大電流は、回路内のエネルギー保存則を用いて求めることができる。
- 13.6.A.2 LC回路において、キャパシタに蓄えられた電荷の時間依存性は、単純調和運動としてモデル化できる。
- 式（導出）: $\dfrac{d^2 q}{dt^2} = -\dfrac{1}{LC} q$
- 13.6.A.3 振動するLC回路の角周波数は、LC回路を表す微分方程式から導出できる。
- 式（導出）: $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$
出典: College Board AP コースおよび試験説明書
LC回路には抵抗成分がなく、エネルギーの散逸がないため、振動を起こし、コンデンサの静電場とコイルの磁界の間でエネルギーを往復させる。ループ則より
$$\frac{d^2q}{dt^2}=-\frac{1}{LC}\,q,$$
質量-バネ系と同じ式が得られ、簡易調和運動となり、電荷が変位の役割を果たす。
$$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$
全エネルギー$\dfrac{q^2}{2C}+\tfrac12LI^2$は一定に保たれる：最大電荷時はすべてのエネルギーがコンデンサに、最大電流時はすべてのエネルギーがコイルにある。
** worked example.** $L=2.0\ \text{H}$, $C=8.0\ \mu\text{F}$: $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{2.0(8.0\times10^{-6})}}=250\ \text{rad/s}$, 周期$T=2\pi/\omega\approx0.025\ \text{s}$. コンデンサが$12\ \text{V}$に充電され始まると、$U=\tfrac12CV^2=5.8\times10^{-4}\ \text{J}$となる。最大電流は$\tfrac12LI_{\max}^2=U$から導かれ、$I_{\max}=\sqrt{2U/L}=0.024\ \text{A}$となる——エネルギー保存則によるものであり、積分計算は不要である。
13.6
試験対策
- 磁束$\Phi_B=\int \vec B\cdot d\vec A$を計算し、ファラデーの法則$\varepsilon=-\tfrac{d\Phi_B}{dt}$から誘導起電力を求める。
- レンツの法則（マイナス符号）を用いて方向を決定する：誘導電流は磁束の変化に逆らう方向に流れる。
- 磁束は3通りの変化があり（$B$の変化、面積の変化、角度の変化）、どの要因が変化しているかを特定して微分する。
- 長さ$L$の棒が速度$v$で移動する場合、運動起電力は$BLv$となる。
- コイルはエネルギー$\tfrac12 LI^2$を蓄え、電流の変化に抵抗する（RL時間定数$\tau=L/R$）。
このトピックのインタラクティブ授業
一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。