仕事、エネルギー、出力

力の行う仕事

仕事とは、力がその作用点を力の方向に沿って動かすことで行われる。1点問の定義には以下を記す：**仕事とは、力と力の方向に動いた距離の積である。**一定の力 $F$ が変位 $s$ を生じたときに行われる仕事は

ここで $\theta$ は力と変位のなす角である。力の変位方向成分のみが仕事を行う。

** worked example **。子供がロープを使って雪の上をスレッヂ $5.0\ \text{m}$ を引き、力 $20\ \text{N}$ を地面とのなす角 $60°$ で加えている。ロープが行う仕事求めよ。

単位：$\text{J} = \text{N m}$。仕事はスカラー量である。

特殊な場合：

• 運動と同じ方向の力（$\theta = 0$）：$W = Fs$、正の仕事、物体へエネルギーが与えられる。
• 運動に直角な力（$\theta = 90°$）：$W = 0$。平らな道路の車にかかる支持力は仕事を行わない。
• 運動と逆向きの力（$\theta = 180°$）：$W = -Fs$、負の仕事、物体からエネルギーが奪われる（例：摩擦力）。

角度 $\alpha$ の斜面を上る物体について、高さ $h$ 上昇する際に重力に逆らって行われる仕事は $mgh$ であり、斜面長さ $L$ にわたって水平方向に押す際に行われる仕事は $\cos\alpha$ を用いる。

定義に関する2つの多肢選択問題：摩擦のない表面を一定速度で滑る物体には仕事を行わない（運動方向に力がなく）、あるいは単に持ち上げられている物体にも仕事を行わない（動かない）。力を上げて動かせたときには仕事を行う。また、粗い床を一定速度で押した箱については、押す力が行う仕事は全体距離に対して $F \times d$ であるが、経路は段階に分かれる。

** worked example **。質量 $4.9\ \text{kg}$ のブロックを、長さ $8.0\ \text{m}$ で高さ $1.5\ \text{m}$ 上昇する粗い斜面を、斜面に沿った力 $12\ \text{N}$ で一定速度で押し上げる。摩擦力に逆らって行われた仕事求めよ。

一定速度とは運動エネルギーの変化がないことを意味するため、押す力が行う仕事は重力ポテンシャルエネルギーの増加分と摩擦力に逆らって行われた仕事に分かれる。押す力による仕事：$12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$。GPEの増加分（鉛直上昇を用いて）：$4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$。したがって摩擦力に逆らって行われた仕事は $96 - 72 = 24\ \text{J}$ であり、摩擦力は $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$ である。この問題における最も一般的なミスは、$mgh$ で斜面長を用いることだ。

エネルギー保存則

エネルギーは生成も破壊も never — 単に一つの形から別の形へ変化する、あるいは一つの物体から別の物体へ移動するだけです。閉じた系では境界を越えてエネルギーが移転しないため、総エネルギーは一定です。これをエネルギー保存則と呼びます。採点用要点として：エネルギーは創造も破壊もせず、ただ一つの形から別の形へ移転するのみ（したがって、エネルギーが入ったり出たりしない限り総エネルギーは一定である）。

エネルギー方程式を書く際は、エネルギーが始めと終わりに持つすべての形式をリストアップしてください。このカリキュラムでの一般的な形式：運動エネルギー、重力ポテンシャルエネルギー、弾性ポテンシャルエネルギー、電気的エネルギー、熱エネルギー、音、化学エネルギー。

無摩擦の斜面を転がるボールは重力ポテンシャルエネルギーを運動エネルギーに変換します：$mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$、したがって$v = \sqrt{2gh}$。摩擦がある場合、このエネルギーの一部は斜面と空気への熱エネルギーとなります。

** worked example **。ボールを滑らかなランプ $1.2\ \text{m}$ の高さの頂上から静止状態から放つ。底端での速さ求めよ（$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$ とする）。

すべての重力ポテンシャルエネルギーが運動エネルギーに変換されるため、$v = \sqrt{2gh}$ （質量は約分される）：

同じ考えはグラフからも読み取れる。高度 $H$ から空気抵抗が無視できるほど小さい状態で落下するボールについて、GPEは高度に対して直線的に減少し（$mgh$）、KEは直線的に増加し（$mg(H - h)$）、両者の和はあらゆる高度において一定の $mgH$ を成す。

エネルギー連鎖はバネを通過することがある。バネに運動エネルギー $110\ \text{J}$ を持って衝突し、さらに斜面を下って少许滑るため、バネが止まる前に重力位置エネルギーがさらに $20\ \text{J}$ 減少するブロックは、最大圧縮時に $110 + 20 = 130\ \text{J}$ の弾性位置エネルギーを蓄える（摩擦による損失がない場合）。バネの力-圧縮グラフから圧縮量を求めることができる：蓄えられるエネルギーは直線下面的積であり、フークの法則に従うバネでは $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ （トピック6）であるため、最大力が $2600\ \text{N}$ なら $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$ となる。その瞬間、ブロックに働く合力はバネの力から斜面方向の重力成分を引いたものであり、加速度は $F = ma$ （トピック3）より導かれる。

効率

システムの効率とは

電力に関する同様の考え方：

現実のシステムでは、入力の一部が「有効でない」形（通常は熱エネルギー）に変換されるため、効率は常に100%未満である。総エネルギー $E$ が供給され、$Q$ が廃棄された場合、有効出力は $E - Q$ であり、効率は $(E - Q) / E$ となる。入力 $1.7\ \text{kW}$ で効率 $53\%$ のモーターは、有用な出力 $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ を提供する。

効率 $\eta$ 、電圧 $V$ 、電流 $I$ で負荷を上げる電動機の場合、有効出力電力は $\eta V I$ である。これより力、昇降速度、または張力を求めることができる。

演習例。 電動機が $50\ \text{kg}$ の負荷を一定の $0.40\ \text{m s}^{-1}$ で上げ、$250\ \text{W}$ の電気消費電力を消費している。効率を求めよ（$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$ とする）。

有効出力電力は $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$ なので、

演習例。 モーターが $240\ \text{N}$ の力でブロックを垂直方向に $12\ \text{m}$ だけ $60\ \text{s}$ で持ち上げた。モーターの入力電力は $900\ \text{W}$ である。有効出力電力と効率を求めよ。

ブロックに対する仕事：$W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$ 。有効出力電力：$P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$ 。効率：$48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$ 。入力の大部分はモーターおよびケーブル内の熱エネルギーに使われる。逆算すると、有効出力 $20\ \text{kW}$ で $1500\ \text{kg}$ を $20\ \text{m}$ だけ上げるエレベーターモーターには、$t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$ が必要である。

電力とは、仕事を遂行する速さ、あるいはエネルギーを伝達する速さである：

単位：$\text{W} = \text{J s}^{-1}$ 。電力はスカラー量である。

電力、力、速度

物体が速度 $v$ で移動し、運動方向に力 $F$ が働いている場合、短い時間 $\Delta t$ 内での変位は $v\,\Delta t$ であり、なされた仕事は $F v\,\Delta t$ である。これを $\Delta t$ で割ると：

これは力学で最も有用な結果の一つである。「$P = Fv$ を導く」という解答には、ちょうど以下の3行が必要である：$P = W / t$ 、運動方向の力については $W = Fs$ 、そして $s / t = v$ ；次に、車両や負荷が一定速度で動く問題に適用せよ。

演習例。 自動車が一定の $25\ \text{m s}^{-1}$ で移動し、合計抵抗力が $600\ \text{N}$ である。エンジン出力を求めよ。

一定速度では駆動力が抵抗力と等しいので、

• 平坦な道で一定の速度$v$で走行する自動車について、エンジン出力は全抵抗Force must balance: $P = F_{\text{resist}} \cdot v$。もし空気抵抗が$v^{2}$に比例して増大する場合、速度を倍にするとその抵抗力が4倍になり、それをバランスさせるために必要なパワーは8倍となる：$P = Fv \propto v^{3}$。これは、与えられた抵抗がバランスされるべき抵抗力であることを前提としている。
• 重量 $mg$ を一定速度 $v$ で真上に持ち上げる場合、有効出力電力は $P = mg \cdot v$ である。
• 航空機が一定高度でホバーしている場合、揚力は重量に等しく、常に空気を下方へ押し下げなければならないため、大きな電力が必要である。
• クレーンが $600\ \text{kg}$ を1分あたり一定の $12\ \text{m}$ で持ち上げる場合、昇降速度は $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$ であり、有効出力電力は $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$ である。まず速度を $\text{m s}^{-1}$ に変換すること。
• 一定の風力によって一定速度で推進される帆船もまた、水からの等しい抵抗力を受ける。一定速度とは合力ゼロを意味するため、風の power $Fv$ はすべて水の抵抗に対する仕事に使われている。

一様重力場（惑星表面付近）において、質量 $m$ が高さ $\Delta h$ だけ上昇または下降するときの重力位置エネルギーの変化量は

その由来

質量 $m$ をゆっくり持ち上げて（運動エネルギー変化なし）、高さ $\Delta h$ を上げるために重力に逆らってなされた仕事は、得られた重力位置エネルギーに等しい：

• 質量に働く重力は $mg$ で下向き、
• ゆっくり持ち上げるのに必要な力は $mg$ で上向き、
• この力がなした仕事は $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$ 、
• この仕事は $\Delta E_{\text{P}}$ となる。

したがって$\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$。これを使うには$m$と$\Delta h$が必要であり（$g$も必要）、速度や時間は不要である。2点満点の導出では、同じ4行を用い、条件を明記する：ブロックは一定速度で上げられるため、持ち上げる力は重り$mg$に等しく、その力が鉛直距離$\Delta h$で行った仕事は$mg\Delta h$であり、これが重力ポテンシャルエネルギーの増加量である。$100\ \text{g}$の物体が$10\ \text{m}$落下すると$0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$を失い、約$10\ \text{J}$である。質量はキログラム単位であるべき。

質量 $m$ の物体が速度 $v$ で移動するときの運動エネルギーは

その由来

静止している質量$m$に合力$F$を加える。変位$s$の間に速度が$0$から$v$まで均等に増加する。$v^{2} = u^{2} + 2as$より$u = 0$を用いて、

質量に対する仕事は

これらの全仕事が運動エネルギーとなるので、$E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$。試験では仮定を随所記載する：物体は静止から始まり、力は一定なので加速度は等加速度であり、$F = ma$ はニュートンの第二法則である。

Because $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, quadrupling the speed multiplies the kinetic energy by sixteen: an object with $1500\ \text{J}$ at $10\ \text{m s}^{-1}$ has $24\,000\ \text{J}$ at $40\ \text{m s}^{-1}$. The same square is why a stopping force is found from energy: a ball of mass $1.2\ \text{kg}$ moving at $3.0\ \text{m s}^{-1}$ that is stopped by a cushion over $0.020\ \text{m}$ loses $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, so the average force on it is $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$: the work done by the cushion equals the kinetic energy lost.

運動エネルギーと運動量

$p = mv$ と $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$ を組み合わせると：

速度ではなく 運動量 が与えられている場合に有用である。質量が一定のとき、運動量が $p_{1}$ から $p_{2}$ に変化する場合、運動エネルギーの変化は $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$ である。

力とエネルギーが混在する問題に対する有益な手順：

1. 開始状態と終了状態を求める。 それぞれの運動エネルギーと位置エネルギーを記述する。
2. 外部力による仕事をリストアップする（摩擦、押し力など）。摩擦は通常エネルギーを奪い、押し力は追加することがある。
3. エネルギー保存則：$E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$ 。

例：

• 長さ $L$ 、高さ $h$ のスロープを 一定の速度 で押しのけた箱：$E_{\text{K}}$ は変化しないので、押し力のなす仕事は $\Delta E_{\text{P}}$ と摩擦力に逆らう仕事の和となる。
• 摩擦のない表面で運動エネルギー $E_{\text{K}}$ でスプリングに衝突するブロック：最大 圧縮 $x$ において、すべての運動エネルギーが弾性位置エネルギー $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ （ここで $k$ は ばね定数 ）に変化している。
• 高さ $h_{1}$ から落下して高さ $h_{2}$ まで跳ね上がるボール：比率 $h_{2}/h_{1}$ は保持される機械的エネルギーの割合 $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$ である。
• 異なる角度で同じ高さに投げる 飛翔体 ：最終的な速度は等しい（高さが唯一の要因である）。成分を用いて方向を求める。
• バンジージャンパー ：プラットフォームからコードが張る点まで、GPEがKEに変換される。そこからコードが伸びてエネルギーを弾性位置エネルギーとして取り込むため、KEはコードの引き pulling が最初に重量と等しくなる地点で最大となり、その後最低点でゼロになる。最低点では失われたGPE $=$ が弾性PEとして蓄積される（および熱エネルギーを含む）。

力が角度を持つ場合の出力

速度に平行な成分のみがエネルギーを伝達する：$P=Fv\cos\theta$。ここで$\theta$は力と速度の間の角度である。これは$W=Fs\cos\theta$および$P=W/t$から導かれる。

** worked example（解例）**。カートの速度に対して60°の角度で、速度2.0 m/sで移動するカートに120 Nの引き力が作用している。$P=Fv\cos\theta=120\times2.0\times\cos60^\circ=120\ \text{W}$。垂直成分は仕事を行わない。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• 仕事 $=$ 力 $\times$ 力の方向に移動した距離 — 角度がある場合は $Fs\cos\theta$ を用いる。
• エネルギー保存則 ：GPEの減少 $=$ KEの増加（$+$ 抵抗に逆らってなされた仕事）。
• 電力 $=$ 仕事 $/$ 時間 $= Fv$ ；効率 $=$ 有効出力 $\div$ 全入力。
• GPEでは斜面に沿った距離ではなく、鉛直 方向の高さの上昇分を用いる。

一般的なミス

• エネルギー変化の答えとして高さの変化を与える。計算を完了する：$\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ 。
• $mg\Delta h$において斜面に沿った距離を高さとして用いる、または重さが必要である箇所で質量を用いる。垂直方向に得られた高さを適用し、求める量が $m$ kg なのか $W$ N なのかを確認する。
• 加速している自動車の抵抗力を $P = Fv$ に代入する。 $F$ は駆動力であり、一定速度でのみ抵抗力と等しい。
• 100%を超える効率、あるいは効率を出力を廃棄量で割ったものとする誤り。効率は「有効な出力」を「総入力量」で割ったものであり、総入力量は常に大きい数値となる。
• 問題がエネルギーを求めているのに、力-伸びグラフの傾きを読み取ってしまう誤り。蓄積されたエネルギーは直線下の面積であり、傾きではない。