素粒子物理学

ゲイガー＝マルゼンα粒子散乱

アルファ粒子 αを薄い金箔に照射すると、次のことが観察された：

• ほとんどは直進して通り抜け、わずかなのみ回折しか生じず、
• 稀に小さな角度で回折し、
• 極めて稀に（約$1$個中$8000$個）$90°$度以上の大きな角度で回折した。

この結果からル瑟フォードは以下のことを導き出した：

• 原子の大部分は空白空間である（ほとんどのα粒子が直進して通り抜けるため）、
• 中心に非常に小さく密度が高く正に帯電した原子核が存在する（稀な大角度散乱には、α粒子を押し返すための集中した電荷が必要であるため）、
• 原子の質量のほぼすべてはこの原子核に含まれている。

オーダーの大小：原子の直径 $\sim 10^{-10}\ \text{m}$、原子核の直径 $\sim 10^{-15}\ \text{m}$ — 原子核は原子より約$10^{5}$倍小さい。

3つの結果と各々が示すこと — 採点基準はこれらを以下のように正確に対応させている：

実験に関する3つの詳細も問われることがある：箔は薄いため、各α粒子は最大1つの原子核としか衝突せず（吸収されない）、室は真空であるためα粒子が空気によって停止したり散乱されたりしない、金が使われるのは、非常に薄い箔に加工でき、かつ重く高電荷の原子核を持つからである。

** worked example.** α粒子の極めて少数が90°以上の角度で散乱される理由を説明せよ。

原子核にほぼ正面衝突するように接近するα粒子のみが反射される。原子核とα粒子はともに正に帯電しているため、近接時に静電的な反発力が非常に大きく、さらに原子核の質量はα粒子よりもはるかに大きいため、反射するのはα粒子側である。原子核が非常に小さいため、それほど近づくα粒子は極めて稀である——したがって少数である。α粒子が接近する際、その運動エネルギーは電気ポテンシャルエネルギーに変換され、最接近点では一時的に静止し、すべての運動エネルギーがポテンシャルエネルギーとなる。

回折は軌道が原子核にどれだけ近いかによって決まる：距離が短いほど角度は大きくなり、軌道は原子核を通る直線に対して対称的である。

単純な原子核モデル

原子には以下が含まれる：

• 中心の陽子（正に帯電、電荷$+e$）と中性子（無電荷）からなる原子核、
• 原子核を取り巻く電子（電荷$-e$）。

陽子と中性子の質量はほぼ同じ（$\approx 1\ \text{u}$）であり、電子の質量は陽子の約$\tfrac{1}{1836}$である。

** worked example.** ウラン-238、$^{238}_{92}\text{U}$の原子の構造を記述せよ。

陽子92個と$238 - 92 = 146$個の中性子を含む原子核、および周囲を回る92個の電子を持つ。「軌道電子」はカリキュラムでの用語であり、電子は原子核の外側にあり、中性原子では電子数と陽子数が等しい。

表記法と主要な数値

核種が$^{A}_{Z}\text{X}$と表される場合：

• 陽子数$Z$（原子番号とも呼ぶ）：陽子の数。元素を決定する。
• 核子数$A$（質量数とも呼ぶ）：核子（陽子＋中性子）の総数。
• 中性子数$N = A - Z$。

中性原子は電子数と陽子数が等しい。

同位体

同位体とは、同じ元素（同じ$Z$）で中性子数が異なる（異なる$A$）原子のことである。化学的には同じ挙動を示すが、原子核内では異なる。例：$^{12}_{6}\text{C}$と$^{14}_{6}\text{C}$は炭素の同位体である。

出題者の言葉：同位体とは、陽子数が同じが中性子数が異なる核（または原子）であり、つまり同じ陽子数$Z$で異なる核子数$A$を持つ。水素には3つある：

** worked example.** トリチウム、$^{3}_{1}\text{H}$は水素の同位体である。中性トリチウム原子における陽子数、中性子数、電子数を答え、その原子核のクォーク構成を示せ。

$Z = 1$陽子; $A - Z = 3 - 1 = 2$中性子; 電子1個（電荷がゼロなので、電子数$=$陽子数）。原子核は陽子1個（uud）と中性子2個（udd, udd）からなり、上型クォーク4個と下型クォーク5個である。電荷の確認: $4 \times \tfrac{2}{3} - 5 \times \tfrac{1}{3} = +1$、陽子数。原子の「ラベル付き図」とは、原子核（陽子1個、中性子2個）の外側を電子1個が軌道を描いて回っている様子を指す。

核反応における保存則

どのような核反応においても：

• 核子数$A$は保存される（全体$A$前$=$全体$A$後）、
• 電荷は保存される（これは電荷保存則である）。

これらの2つの法則を用いれば、崩壊方程式や反応方程式をバランスさせることができる。

統一原子質量単位

統一原子質量単位の記号は $\text{u}$ で、$^{12}_{6}\text{C}$ 原子の質量がちょうど $12\ \text{u}$ となるように定義されている。数値的に、

陽子の質量は $\approx 1.007\ \text{u}$ ；中性子の質量は $\approx 1.009\ \text{u}$ ；電子の質量は $\approx 5.5 \times 10^{-4}\ \text{u}$ である。

** worked example.** 核Xは核子数14個と$p$陽子を持つ。その電荷対質量比は$4.1 \times 10^{7}\ \text{C kg}^{-1}$である。$p$を求め、Xを同定せよ。

電荷$= pe$、質量$\approx 14\ \text{u}$。よって$\dfrac{pe}{14\text{u}} = 4.1 \times 10^{7}$となり、$p = \dfrac{4.1 \times 10^{7} \times 14 \times 1.66 \times 10^{-27}}{1.60 \times 10^{-19}} = 5.96 \approx 6$となる。陽子6個、核子14個なので、Xは炭素-14、$^{14}_{6}\text{C}$である。最終的な四捨五入を行うまで、すべての桁の値を保持し、最後に最も近い整数の陽子数に丸める。

不安定な原子核は再配置され、3種類の放射線のいずれかを出射する。これを放射性崩壊という。各種類には独自の性質がある。

α線

• 構成: ヘリウム-4の原子核、$^{4}_{2}\alpha$（陽子2個＋中性子2個）。
• 質量: $\approx 4\ \text{u}$。
• 電荷: $+2e$。
• 空気中での飛程：数cm。紙一枚で遮断される。
• イオン化能: 強い — イオン化に非常に優れている。
• エネルギー分布: 離散的（1回の崩壊でα粒子は1つまたは数個の鋭いエネルギーを持つ）。

雲室では軌道が可視化される：各α粒子は空気をイオン化しながら、短い直線的で太い微小な液滴の軌跡を残す。短い等しい長さは、α粒子がすべてほぼ同じエネルギーを持っていることを示している。

β線

2種類のベータ粒子βがある：

• $\beta^{-}$: 中性子が陽子に変換される際に出される高速電子。
• $\beta^{+}$: 陽子-richな原子核内の陽子が中性子に変換される際に出されるポジトロン（電子の反粒子）。

両方の種類の性質：

• 質量：$\approx 1/1836\ \text{u}$ （α粒子よりずっと小さい）。
• 電荷: $\beta^{-}$に対して$-e$、$\beta^{+}$に対して$+e$。
• 空気中の飛程: およそ$1\ \text{m}$。アルミ箔数mmで遮断される。
• エネルギー分布: 最大値まで連続的（以下参照）。

γ線

• 構成: 高エネルギーの光子 — 電磁波スペクトルの一部。
• 質量: ゼロ（静止質量）。
• 電荷: ゼロ。
• Range in air: large (follows the inverse-square law). Strongly attenuated by several cm of lead or about a metre of concrete.
• イオン化能: 最も弱い。
• エネルギー分布: 離散的（ガンマ線γは、原子核が2つの核エネルギー準位間で遷移する際に出される）。

原子核は、α崩壊またはβ崩壊後に娘核が励起状態になる際、「片付け」のステップとしてγ光子を出 Often出すことが多い。

質量と電荷、横並び — 表形式の問題で、単位$\text{u}$および$e$でこれらの値を正確に求めることを要求する：

** worked example.** α粒子と$\beta^{+}$粒子の質量および電荷について比較せよ（3点）。

Both are positively charged, but the α-particle's charge ($+2e$) is twice that of the $\beta^{+}$ ($+e$). The α-particle's mass ($4\ \text{u}$) is about $7300$ times the mass of the $\beta^{+}$ ($5.5 \times 10^{-4}\ \text{u}$). Give a ratio, not just "heavier": twice the charge and about 7000 times the mass are the marking points.

電荷を持つため、α粒子およびβ粒子は電気場および磁場によって偏折する — 符号が異なれば逆向き、軽量なβは重たいαよりもはるかに大きく — 一方、電荷を持たないγ線はそのまま直進する。

反粒子、ニュートリノおよび反ニュートリノ

すべての粒子には、同じ質量だが反対の電荷を持つ反粒子が存在する。ポジトロンは電子の反粒子である。

β崩壊において、第3の粒子も必ず出される：

• $\beta^{-}$崩壊：反ニュートリノ $\bar{\nu}_{\text{e}}$。
• $\beta^{+}$崩壊: ニュートリノ $\nu_{\text{e}}$。

ニュートリノおよび反ニュートリノは電荷ゼロ、極めて小さい質量を持ち、ほとんど相互作用しない — 検出は非常に困難だが、β崩壊におけるエネルギー、運動量および他の保存量のバランスを保つためにこれらが存在することは必須である。

なぜβは連続スペクトルを持ち、αは持たないのか

α崩壊において、放出されるエネルギーは2つの粒子（娘核とα粒子）の間にのみ分けられます。運動量保存則およびエネルギー保存則により、α粒子のエネルギーは単一の値に固定されます（離散的）。

β崩壊では、エネルギーが3つの粒子（娘核、β粒子、および(反)ニュートリノ）の間に分けられます。β粒子はゼロから最大値までの任意の割合でエネルギーを受け取れるため、そのエネルギースペクトルは連続的となります。

** worked example.** $\beta^{-}$粒子のエネルギースペクトルが源からゼロから最大値まで連続的である理由を説明しなさい（3点）。

各崩壊は決まった量のエネルギーを放出します。そのエネルギーは$\beta^{-}$粒子、反ニュートリノ、および反跳する娘核の間に分けられます。反ニュートリノは任意の割合を受け取れるため、$\beta^{-}$粒子にはゼロから最大値までの任意のエネルギーが残ります — 最大値とは反ニュートリノがほとんどエネルギーを持たない場合です。（α粒子の場合、物体が2つだけなので運動量保存則が割合を固定し、エネルギーは離散的になります。）

崩壊方程式の書き方

一般的なα崩壊：

（確認：$A = (A-4) + 4$, $Z = (Z-2) + 2$。）

一般的な$\beta^{-}$崩壊：

一般的な$\beta^{+}$崩壊：

** worked example.** ウラン-238、$^{238}_{92}\text{U}$、はα放射によって崩壊し、炭素-14、$^{14}_{6}\text{C}$、は$\beta^{-}$放射によって崩壊します。それぞれの娘核種を求めなさい。

α崩壊は$A$を4だけ下げ、$Z$を2だけ下げます；$\beta^{-}$崩壊では$A$は変化せず、$Z$は1だけ上がります：

数値的に変化を決定せよ。 α放射：$A$は4だけ減少、$Z$は2だけ減少。$\beta^{-}$放射：$A$は変化せず、$Z$は1だけ増加。$\beta^{+}$放射：$A$は変化せず、$Z$は1だけ減少。γ放射：どちらも変化なし。最終的に既知の核種に至る崩壊連鎖はこれらを用いて解く：α崩壊の回数は$(A_{\text{start}} - A_{\text{end}})/4$であり、その後$\beta^{-}$崩壊の回数を調整することで$Z$が整合する。

** worked example.** トリウム-230、$^{230}_{90}\text{Th}$ が段階的にα崩壊と$\beta^{-}$崩壊を経て、鉛-206、$^{206}_{82}\text{Pb}$ に変化します。それぞれの崩壊の個数を求めよ。

α崩壊：$(230 - 206)/4 = 6$。6回のα崩壊だけでは$Z$は12だけ下がり78になりますが、最終的な$Z$は82なので、$82 - 78 = 4$回の$\beta^{-}$崩壊があります。

静止している原子核は反動する。 静止した原子核がα粒子を放出する場合、運動量は保存され、娘核とα粒子は互いに逆向きに等しい大きさの運動量を持って飛び出します。$p = mv$であるより軽いα粒子ははるかに速く移動し、$E_{\text{k}} = p^{2}/2m$であるため運動エネルギーの大部分も受け取ります — 分配比は質量の逆比例になります。

** worked example.** 質量$243\ \text{u}$の静止した原子核Pが、速度$1.5 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$で質量$4\ \text{u}$のα粒子を放出しました。娘核Qの速度およびα粒子の運動エネルギー対Qの運動エネルギーの比を求めなさい。

Qの質量は$243 - 4 = 239\ \text{u}$です。運動量：$239 v_{\text{Q}} = 4 \times 1.5 \times 10^{7}$、したがって$v_{\text{Q}} = 2.5 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$、α粒子とは逆向き。運動エネルギー：$\dfrac{E_{\alpha}}{E_{\text{Q}}} = \dfrac{p^{2}/2m_{\alpha}}{p^{2}/2m_{\text{Q}}} = \dfrac{m_{\text{Q}}}{m_{\alpha}} = \dfrac{239}{4} \approx 60$。α粒子は放出されたエネルギーの約98%を受け取ります。

一部の粒子は基本粒子（点状であり、私たちが知る限りそれより小さな構成要素を持たない）であり、他は基本粒子から構成されています。

1点定義：基本粒子とは、より小さな粒子に分解できない粒子である（内部構造を持たない）。電子、ニュートリノ、クォークは基本粒子ですが、陽子や中性子はそうではありません。

クォーク

クォークは素粒子です。6種類のフレーバーがあります：

• アップ (u)、電荷$+\tfrac{2}{3}e$、
• ダウン (d)、電荷$-\tfrac{1}{3}e$、
• チャーム (c)、電荷$+\tfrac{2}{3}e$、
• ストレンジ (s)、電荷$-\tfrac{1}{3}e$、
• トップ (t)、電荷$+\tfrac{2}{3}e$、
• ボトム (b)、電荷$-\tfrac{1}{3}e$。

各クォークには同じ大きさの電荷を持つが符号が逆のアンチクォークが存在します：$\bar{u}$（電荷$-\tfrac{2}{3}e$）、$\bar{d}$（電荷$+\tfrac{1}{3}e$）。他のクォークの性質は試験されません。

問題文で埋めさせる表として以下のように書かれます：

計算例。 クォークの構成を参照して、陽子の電荷が $+1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$ であることを示せ。

陽子は uud：電荷 $= \tfrac{2}{3}e + \tfrac{2}{3}e - \tfrac{1}{3}e = +e = +1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$。3つの分数とその和を書け——採点基準は計算であり、答えではない。

ハドロン：バリオンとメソン

クォークから構成される粒子をハドロンという。2種類ある：

• バリオン — 3つのクォーク。例：陽子（u u d）、中性子（u d d）。電荷確認：陽子は $\tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} = +1$；中性子は $\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} = 0$。
• メソン — 1つのクォークと1つの反クォーク（例えば $\pi^{+}$ は u$\bar{\text{d}}$）。

陽子と中性子は基本粒子ではない——它们是クォークからなるバリオンである。

"バリオンとメソンの構成粒子について比較せよ"（2点）：どちらもクォークからなるハドロンである；バリオンは3つのクォーク（または反バリオンの場合、3つの反クォーク）、メソンは1つのクォークと1つの反クォークである。与えられた電荷はすべてクォークの電荷の和として導かれる必要がある：

計算例。 (a) メソンの電荷が $-1e$ である。可能なクォークの構成を示せ。(b) メソン Q の電荷が 0 である。可能な構成を示せ。(c) バリオンは異なるフレーバーの3つのクォーク u, d, s で構成されている。その電荷を求めよ。(d) 反中性子のクォーク構成と電荷を示せ。

(a) d$\bar{\text{u}}$: $-\tfrac{1}{3} - \tfrac{2}{3} = -1$ (s$\bar{\text{u}}$ も正解)。 (b) u$\bar{\text{u}}$: $+\tfrac{2}{3} - \tfrac{2}{3} = 0$ (または d$\bar{\text{d}}$)。 (c) uds: $\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} = 0$。 (d) 反中性子は udd の反粒子なので、$\bar{\text{u}}\bar{\text{d}}\bar{\text{d}}$ : $-\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} = 0$ —— 中性子と同じ質量と電荷を持つ（両方とも電荷がゼロだからである）。

β崩壊におけるクォークの変化

$\beta^{-}$ 崩壊では中性子が陽子に変化し、クォークの観点では1つのダウンスクォークがアップスクォークに変化する：

$\beta^{+}$ 崩壊では陽子が中性子に変化し、1つのアップスクォークがダウンスクォークに変化する：

"$\beta^{+}$ 崩壊に関与する基本粒子について説明せよ"（2点）：陽子内のアップスクォークがダウンスクォークに変化するため、陽子は中性子となり、陽電子と電子ニュートリノが放出される—— $\text{u} \to \text{d} + \beta^{+} + \nu_{\text{e}}$。$\beta^{-}$ 崩壊については役割を逆転させる：ダウンスクォークがアップスクォークになり、電子と電子反ニュートリノを放出する。（反）ニュートリノの名前を述べよ：これは問題で求められている「もう一つのレプトン」であり、βエネルギーが連続的になる要因である。

レプトン

レプトンはクォークから構成されない基本粒子である。必要なレプトンは電子と電子ニュートリノであり、その反粒子は陽電子と電子反ニュートリノである。（重いレプトン——ミューオンとタウ——は存在するが、試験範囲外である。）「2種類の異なるレプトン」を求められたら、電子 と ニュートリノ を答えること。

粒子の分類

"Which are fundamental?" に答えるには：クォークとレプトン（電子、陽電子、ニュートリノ、反ニュートリノ）は基本粒子であり、陽子、中性子、バリオン、メソン、ハドロンは基本粒子ではない——它们是由クォークから構成される。

計算例。 次のリスト——反ニュートリノ、$\beta^{+}$ 粒子、中性子、陽電子、陽子——において、ハドロンに下線を引け。

中性子と陽子（それぞれ3つのクォークからなる）。反ニュートリノと陽電子はレプトンであり、$\beta^{+}$ 粒子は陽電子そのものである。「Which are not fundamental?」として同じリストが問われた場合も、同じ答えとなる：中性子と陽子。

反物質。 各粒子には同じ質量を持ち、反対の電荷を持つ反粒子が存在する；陽電子と電子は質量（および電荷の絶対値）が等しく、電荷の符号だけが異なる。アンチ水素原子は、陽子（電荷 $-e$、$\bar{\text{u}}\bar{\text{u}}\bar{\text{d}}$ から構成）に陽電子が軌道を描いているもの。

運動する原子核の崩壊

運動量保存則を各軸ごとに別々に適用する。親の初期速度方向に $x$ を取るため、初期の横方向運動量はゼロである。生成物が $x$ の反対側に移動する場合、その横方向運動量は打ち消し合う: $m_\alpha v_\alpha\sin\theta=m_dv_d\sin\phi$。 $x$ 方向では、運動量の和は親の初期運動量に等しい。

** worked example（解例）.** 生成物の運動量は $2.0\times10^{-20}$ と $1.0\times10^{-20}$ kg m/s である。娘核は $x$ に対して 30° 下方へ動く。横方向の保存則より $\sin\theta=p_d\sin\phi/p_\alpha=(1.0\times10^{-20}\sin30^\circ)/(2.0\times10^{-20})=0.25$ となるため、アルファ粒子は $x$ に対して 14.5° 上方へ進む。初期の全運動量はゼロではないが、その横方向成分のみがゼロである。

原子核全体のクォーク数を数える

原子核 $^{A}_{Z}X$ は、$Z$ 個のプロトン(uud) と $A-Z$ 個のニュートロン(udd) を持つ。したがって $N_u=2Z+(A-Z)=A+Z$ および $N_d=Z+2(A-Z)=2A-Z$ となる。$N_u+N_d=3A$ と $q=(2N_u-N_d)e/3=Ze$ を確認せよ。

** worked example（解例）.** カルシウム-14 は6個のプロトンと8個のニュートロンを持つ: $N_u=A+Z=14+6=20$ および $N_d=2A-Z=28-6=22$ 。ベータマイナス崩壊において、1つのダウンクォークがアップクォークに変換されるため、娘核には 21 個のアップクォークと 21 個のダウンクォークが含まれる。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• アルファ散乱の実験証拠を用いて核モデル（小さく高密度な正電荷の原子核を持つ）を記述せよ——各観測結果に対応する結論をペアで答えること。
• Compare $\alpha$, $\beta$ and $\gamma$ by charge, mass, ionising power and penetration; when asked to compare two particles, give the ratio ("twice the charge", "about 7000 times the mass").
• クォークの組成（陽子 $uud$、中性子 $udd$）を用い、記述するすべての方程式において電荷と核種数が釣り合っているか確認すること。
• $\beta^-$崩壊では、ニュートロンが陽子、電子、反ニュートリノになります。$\beta^{+}$崩壊では、陽子がニュートロン、陽電子、ニュートリノになります。毎回(反)ニュートリノの名前を明記してください。
• 静止した原子核が崩壊すると、生成される2つの粒子は等しく逆方向の運動量を持つため、質量の小さい方が速く動いて、運動エネルギーの大部分を担う。
• 崩壊連鎖については、まず$A$の変化からα崩壊の回数を数え、次に$\beta$-崩壊で$Z$を調整する。

一般的なミス

• 「直進」の結果から「原子核は正電荷を持つ」と結論づけること。この結果は真空を示しており、大角度散乱が集中した正電荷を示している。
• 「質量が異なる」だけで同位体を定義すること。得点にはプロトン数が同じで、中性子数が異なることが必要。
• $^{0}_{-1}\beta$を$\beta^{+}$崩壊に対して書く。ポジトロンは$^{0}_{+1}\beta$であり、$Z$は1つ下がる。
• β崩壊の方程式から(反)ニュートリノを忘れるか、ニュートリノを$\beta^{-}$に混在させること。$\beta^{-}$は反ニュートリノと対になり、$\beta^{+}$はニュートリノと対になる。
• 陽子や中性子が基本粒子であると答えること。基本粒子はクォークとレプトンだけである。
• メソンを「2つのクォーク」と答えること。それはクォークと反クォークの組み合わせである。
• 反クォークの電荷をクォークと同じ符号を持つとみなすこと。$\bar{\text{u}}$は$-\tfrac{2}{3}e$、$\bar{\text{d}}$は$+\tfrac{1}{3}e$である。