T.3 · Analisis kompleks dan residu

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Aritmatika kompleks, turunan parsial, deret, dan kontur terorientasi.

• Uji diferensiasi kompleks
• Gunakan integral kontur dan residu
• Evaluasi integral kontur dengan residu kutub sederhana danorde lebih tinggi

analitik: Diferensiasi kompleks di seluruh lingkungan.

sisa: Koefisien dari (z−a)^−1 dalam deret Laurent.

Tulis f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Diferensiasi kompleks mengharuskan u_x=v_y dan u_y=−v_x; dengan turunan parsial pertama yang kontinu secara lokal, persamaan Cauchy–Riemann menetapkan keanalitikannya di sana. Ini berbeda dengan diferensiasi real dari pemetaan dua koordinat. Fungsi konjugat x−iy gagal memenuhi persamaan ini pada setiap lingkungan terbuka, meskipun turunan parsial real ada. Nyatakan daerah yang akan diperiksa, bukan hanya titik yang nyaman.

Fungsi analitik memiliki diferensiasi kompleks di seluruh lingkungan dan memiliki deret pangkat yang konvergen secara lokal. Singularitas yang dapat dihilangkan dapat diisi secara analitik ketika fungsi tersebut terbatas di sekitar titik yang hilang. Kutub memiliki bagian utama yang terbatas dalam deret Laurent-nya; singularitas esensial memiliki tak hingga suku bermuatan negatif. Sisa adalah koefisien dari (z−a)⁻¹, tidak harus suku bermuatan negatif terbesar atau terdepan.

Untuk kutub terisolasi berorde m, tulis f(z)=g(z)/(z−a)^m dengan g analitik di a. Sisa adalah g^(m−1)(a)/(m−1)!. Kutub sederhana menggunakan g(a); kutub ganda menggunakan g′(a). Hal ini mengikuti dari ekspansi g menjadi deret Taylor-nya. Dengan demikian e^z/(z−a)² memiliki sisa e^a, sedangkan pembilang konstan atas kutub ganda murni memiliki sisa nol. Orde kutub saja tidak menentukan integral kontur.

Untuk kontur berorientasi positif yang melingkupi singularitas terisolasi, teorema sisa memberikan ∮f(z)dz=2πi dikalikan jumlah sisa yang terlindungi, asalkan fungsi tersebut analitik pada kontur dan di tempat lain di dalam yang diperlukan. Membalik orientasi akan mengubah tanda. Rumus turunan Cauchy adalah ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! di bawah hipotesis domain analitiknya. Singularitas pada kontur mencegah penerapan langsung; singularitas di luar berkontribusi apa-apa pada kontur ini.

Untuk f(z)=konjugat(z), u=x dan v=−y. Maka u_x=1 tetapi v_y=−1, sehingga f tidak terdiferensiasi kompleks. Untuk 1/(z−2), lingkaran berorientasi positif |z−2|=1 membungkus kutub sederhana dengan residu 1, sehingga integralnya adalah 2πi.

Kontinuitas atau terdiferensiasi real semata-mata tidak mengimplikasikan keanalitikan kompleks.

Gunakan persamaan Cauchy–Riemann untuk membandingkan $z^2$ dan $\overline z$. Temukan sisa dari $e^z/z^2$ di nol dan integralnya di sekitar lingkaran satuan berlawanan arah jarum jam.

Penyelesaian terarah

Untuk $z^2$, $u=x^2-y^2$ dan $v=2xy$: $u_x=2x=v_y$ dan $u_y=-2y=-v_x$. Turunan parsialnya kontinu di mana-mana, sehingga fungsi tersebut analitik di mana-mana. Untuk $\overline z$, $u=x,v=-y$ dan $u_x=1\ne-1=v_y$; ia tidak pernah didiferensiasikan secara kompleks. Karena $e^z=1+z+z^2/2+\cdots$, koefisien dari $z^{-1}$ dalam $e^z/z^2$ adalah 1. Oleh karena itu sisanya adalah 1 dan integralnya adalah $2\pi i$. Kutub ganda tidak memaksa sisa menjadi nol.

Integrasikan $1/[z(z-2)]$ di sekitar $|z|=1$, pertama-tama berlawanan arah jarum jam dan kemudian searah jarum jam. Dapatkah argumen teorema sisa yang sama digunakan pada $|z|=2$?

Periksa setelah mencoba

Hanya nol yang berada di dalam lingkaran satuan. Residunya adalah $\lim_{z\to0}1/(z-2)=-1/2$. Dengan demikian integral berlawanan arah jarum jam adalah $-\pi i$ dan integral searah jarum jam adalah $\pi i$. Kutub di 2 berada di luar dan tidak berkontribusi apa pun. Lingkaran $|z|=2$ melewati sebuah kutub. Integral kontur biasa tidak didefinisikan oleh rumus ini; teorema memerlukan keanalitikan pada kontur. Indentasi atau peresmian nilai utama akan menjadi masalah yang berbeda, yang ditentukan secara eksplisit.