Analisis kompleks dan residu
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| residue/ˈresɪdjuː/ | Residu |
| analytic/ˌænəˈlɪtɪk/ | Analitik |
Keputusan sebelum jawaban
- Sebuah fungsi yang halus dalam dua koordinat real masih bisa gagal terdiferensiasi kompleks.
- Tujuan Anda: Uji terdiferensiasi kompleks.
Bacalah hubungannya
- Tulis f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Diferensiasi kompleks membataskan u_x=v_y dan u_y=−v_x; dengan turunan parsial pertama yang kontinu secara lokal, persamaan Cauchy–Riemann menetapkan analitikitas di sana. Ini berbeda dari diferensiasi real dari peta dua koordinat. Fungsi konjugat x−iy gagal memenuhi persamaan-persamaan ini di setiap lingkungan terbuka, meskipun turunan parsial real ada. Nyatakan wilayah yang diperiksa, bukan hanya titik yang nyaman.
- Gunakan integral kontur dan residu.
The residue of 3/(z−1) at z=1 is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient of the simple-pole term is 3.
Gunakan aturan penentu
- Fungsi analitik dapat didiferensiasikan secara kompleks di seluruh lingkungan dan memiliki deret pangkat yang konvergen secara lokal. Singularitas yang dapat dihapus dapat diisi secara analitik ketika fungsi terbatas di sekitar titik yang hilang. Kutub memiliki bagian utama yang terbatas dalam deret Laurent-nya; singularitas esensial memiliki tak hingga banyak suku berdaya negatif. Residu adalah koefisien dari (z−a)⁻¹, tidak selalu suku berdaya negatif terata atau terbesar.
- Hitung integral kontur dengan residu kutub sederhana dan orde tinggi.
A positively oriented circle enclosing only that pole gives integral:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Multiply residue 3 by 2πi.
Periksa syarat-syaratnya
- Untuk kutub terisolasi berorde m, tulis f(z)=g(z)/(z−a)^m dengan g analitik pada a. Residu adalah g^(m−1)(a)/(m−1)!. Kutub sederhana menggunakan g(a); kutub ganda menggunakan g′(a). Ini mengikuti dengan memperluas g ke deret Taylor-nya. Dengan demikian e^z/(z−a)² memiliki residu e^a, sedangkan pembilang konstan di atas kutub ganda murni memiliki residu nol. Orde kutub saja tidak menentukan integral kontur.
- Hitung integral kontur dengan residu kutub sederhana dan orde tinggi.
Untuk f(z)=konjugat(z), u=x dan v=−y. Maka u_x=1 tetapi v_y=−1, sehingga f tidak terdiferensiasi kompleks. Untuk 1/(z−2), lingkaran berorientasi positif |z−2|=1 membungkus kutub sederhana dengan residu 1, sehingga integralnya adalah 2πi.
The residue of 5/z at zero is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The Laurent coefficient of z^-1 is 5.
Terapkan format tugas
- Untuk kontur berorientasi positif yang membungkus singularitas terisolasi, teorema residu memberikan ∮f(z)dz=2πi dikali jumlah residu yang dibungkus, asalkan fungsi tersebut analitik pada kontur dan di tempat lain di dalam interior yang diperlukan. Membalik orientasi mengubah tanda. Rumus turunan Cauchy adalah ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! di bawah hipotesis domain analitiknya. Singularitas pada kontur mencegah penerapan langsung; singularitas di luar tidak berkontribusi pada kontur ini.
- Hitung integral kontur dengan residu kutub sederhana dan orde tinggi.
Kontinuitas atau terdiferensiasi real semata-mata tidak mengimplikasikan keanalitikan kompleks.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Uji diferensibilitas kompleks
Every continuous complex function is analytic.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Complex differentiability imposes Cauchy–Riemann conditions.
What is the residue of e^(2z)/(z−1)³ at z=1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
For a triple pole use g″(1)/2! with g(z)=e^(2z). Its second derivative is 4e^(2z), so the residue is 2e².
Jaga pembedaan
- analitik — Terdiferensiasi kompleks di seluruh lingkungan.
- residu — Koefisien (z−a)^−1 dalam deret Laurent.
- Uji terdiferensiasi kompleks.
- Gunakan integral kontur dan residu.
- Hitung integral kontur dengan residu kutub sederhana dan orde tinggi.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.