Turunan parsial mengubah satu koordinat sementara menyisakan yang lain tetap. Untuk f=x²+3xy, f_x=2x+3y dan f_y=3x. Gradien mengumpulkan turunan-turunan ini; jika f diferensiabel, turunan arah sepanjang vektor satuan v adalah grad f·v. Normalisasikan arah sebelum mengambil perkalian titik ini. Vektor arah dengan panjang dua akan menggandakan jawaban jika digunakan tanpa normalisasi.
Diferensiabilitas berarti pendekatan linear yang valid, bukan sekadar keberadaan beberapa turunan parsial di satu titik. Turunan parsial pertama yang kontinu di sekitar titik tersebut adalah kondisi yang cukup. Untuk komposisi f(x(t),y(t)), aturan rantai memberikan f_x x′+f_y y′. Turunan kedua dapat memperkenalkan istilah langsung dan campuran; turunan campuran nol saja tidak membatasi turunan murni kedua.
Integral ganda menjumlahkan kontribusi atas daerah tertentu. Deskripsikan daerahnya sebelum memilih batas iterasi; batas nonpersegi panjang mungkin berubah ketika urutan berubah. Dalam koordinat polar, luasnya adalah r dr dtheta, bukan hanya dr dtheta. Perubahan koordinat umum menggunakan determinan Jacobian mutlak. Tanda milik besaran vektor berorientasi, sedangkan skala luas dan volume menggunakan faktor nonnegatif.
Jika kedua turunan parsial pertama dari fungsi yang terdefinisi global pada R² konstan, f_x=a dan f_y=b, mengintegralkan secara berurutan menghasilkan f=ax+by+c, sebuah bidang. Hal ini tidak dapat disimpulkan hanya dari himpunan tingkat garis sejajar: e^x memiliki garis tingkat vertikal sejajar tetapi grafik melengkung. f_xy=f_yx=0 juga tidak memaksa menjadi bidang: x²+y² adalah contoh penyangkal. Bedakan kekonstanan turunan pertama dari ketiadaan ketergantungan campuran dan dari bentuk himpunan tingkat yang dipilih.
