A.2 · Aljabar abstrak dan teori bilangan

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Aritmatika bilangan bulat, himpunan, fungsi, dan pembuktian dengan contoh penyangkal.

• Menggunakan grup, subgrup, homomorfisme, dan struktur hasil bagi
• Membedakan cincin, domain integral, dan bidang
• Menerapkan keterbagian, kongruensi, dan teori bilangan elementer

homomorfisme: Pemetaan yang mempertahankan operasi yang relevan.

bidang: Cincin komutatif di mana setiap elemen bukan nol memiliki invers.

Sebuah grup memerlukan tutup (closure), asosiativitas, identitas, dan invers. Komutativitas adalah kondisi tambahan.

Homomorfisme mempertahankan operasi. Kernel-nya adalah subgrup normal dan mengidentifikasi elemen-elemen yang memetakan ke identitas.

Sebuah bidang memungkinkan pembagian oleh setiap elemen bukan nol. Bilangan bulat membentuk cincin tetapi bukan bidang.

Bekerja dengan kongruensi modulo n. Sebuah residu a memiliki invers perkalian tepat ketika gcd(a,n)=1.

Modulo 8, 3 memiliki invers 3 karena 3·3=9≡1. Namun 2 tidak memiliki invers karena gcd(2,8)=2. Modulo prima, setiap residu nonzero memiliki invers; hal ini menghasilkan bidang finite.

Jangan mencoret faktor dalam persamaan modular tanpa memeriksa apakah faktor tersebut invertible.

Bandingkan grup aditif dan struktur perkalian dari $\mathbb Z/5\mathbb Z$ dan $\mathbb Z/6\mathbb Z$. Daftarkan semua unit perkalian dalam masing-masing. Jelaskan mengapa menghilangkan nol tidak selalu meninggalkan grup perkalian.

Penyelesaian terarah

Kedua himpunan residu penuh merupakan grup aditif: tutup, asosiativitas, dan identitas berasal dari penjumlahan bilangan bulat, dan $-a$ adalah invers aditif. Residu perkalian adalah unit tepat ketika faktor persekutuan terbesarnya dengan modulus adalah satu. Unit-unit modulo lima adalah $1,2,3,4$; modulo enam mereka adalah $1,5$. Modulo enam, $2\cdot3=0$ meskipun kedua faktornya bukan nol. Himpunan bukan nol bahkan tidak tertutup terhadap perkalian. Modulo lima, setiap residu bukan nol memiliki invers; cincin ini adalah bidang. Cincin, grup aditifnya, dan grup unitnya adalah struktur-struktur yang berbeda.

Peta reduksi $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ diberikan oleh $\phi(n)=[n]$. Tentukan kernel, gambar, dan hasil baginya. Selesaikan $2x\equiv2\pmod6$ sepenuhnya dan jelaskan mengapa mencoret 2 modulo 6 gagal.

Periksa setelah mencoba

Peta ini mempertahankan penjumlahan dan perkalian. Kernel-nya adalah $6\mathbb Z$ dan gambarnya mencakup semua enam residu. Hasil baginya mengidentifikasi bilangan bulat dengan sisa yang sama, sehingga $\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. Kongruensi ini berarti $6\mid2(x-1)$, ekuivalen dengan $3\mid x-1$. Oleh karena itu $x\equiv1\pmod3$, menghasilkan residu $1$ dan $4$ modulo enam. Keduanya mensubstitusikan dengan benar. Mencoret 2 sementara tetap mempertahankan modulus enam akan membuang 4; 2 tidak memiliki invers perkalian di sana.