T.1 · Analisis real dan topologi

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Pernyataan terkuantifikasi, ketaksamaan, barisan dan fungsi kontinu.

• Terapkan definisi limit barisan dan fungsi
• Bedakan kekompakan, keterhubungan, dan kelengkapan
• Gunakan penalaran ruang metrik dan topologi dasar

compact: Setiap penutup terbuka memiliki subpenutup hingga.

supremum: Batas atas terkecil dari suatu himpunan.

Pernyataan epsilon–delta mengontrol semua input yang cukup dekat. Urutan kuantifikator penting.

Dalam ruang Euclidean riil, himpunan tertutup dan terbatas adalah kompak. Jangan terapkan ekuivalensi ini pada setiap ruang metrik.

Gambar kontinu dari himpunan kompak adalah kompak, sehingga fungsi riil kontinu pada domain kompak mencapai nilai ekstrem.

Keterhubungan menyingkirkan pemisahan menjadi bagian terbuka tak kosong yang saling lepas. Kontinuitas mempertahankan keterhubungan; kelengkapan adalah sifat terpisah.

f(x)=x pada (0,1) adalah kontinu dan terbatas tetapi tidak pernah sama dengan supremumnya 1. Pada [0,1], fungsi yang sama mencapai maksimumnya di 1. Titik akhir yang hilang menjelaskan mengapa teorem domain kompak tidak berlaku untuk kasus pertama.

Kesimpulan sebuah teorem tidak dapat digunakan sebelum hipotesisnya telah diverifikasi.

Buktikan kontinuitas $f(x)=x^2$ di 2 menggunakan pemilihan eksplisit epsilon–delta. Jelaskan secara terpisah mengapa ia mencapai minimum pada $[1,3]$.

Penyelesaian terarah

Diberikan $\epsilon>0$, pilih $\delta=\min(1,\epsilon/5)$. Jika $|x-2|<\delta$, maka $1<x<3$, sehingga $|x+2|<5$.

Pemilihan bergantung pada epsilon, bukan pada input x kemudian. Interval $[1,3]$ tak kosong dan kompak dalam metrik riil biasa. Kontinuitas memberikan nilai ekstrem yang tercapai. Di sini $x^2\ge1$, dengan kesamaan pada 1, sehingga minimumnya adalah 1.

Dalam ruang metrik $X=(0,1)$ dengan jarak biasa, apakah X terbatas? Apakah X tertutup dalam dirinya sendiri? Apakah X kompak atau lengkap? Jelaskan mengapa “tertutup dan terbatas mengimplikasikan kompak” tidak dapat digunakan di sini.

Periksa setelah mencoba

X terbatas dan tertutup relatif terhadap dirinya sendiri, karena komplemennya dalam X kosong. Barisan Cauchy $1/(n+2)$ tidak memiliki limit dalam X, sehingga X tidak lengkap dan karenanya tidak kompak sebagai ruang metrik. Secara langsung, penutup terbuka relatif $\{(1/n,1):n\ge2\}$ menutupi X tetapi tidak memiliki subpenutup hingga. Heine–Borel memerlukan tertutup dan terbatas sebagai subset dari ruang Euclidean, bukan sekadar tertutup dalam ruang sembarang yang dipilih. X tidak tertutup dalam $\mathbb R$. Tidak ada hipotesis teorem yang boleh mengubah ruang lingkungan di tengah argumen.