A.1 · Aljabar linear

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Persamaan linear, perkalian matriks, polinomial, dan akar kompleks.

• Hubungkan rank, nullitas, dan solusi sistem linear
• Analisis ruang vektor dan transformasi linear
• Hitung nilai eigen, determinan, dan syarat diagonalisasi

rank: Dimensi citra (image) pemetaan linear.

nilai eigen: Skalar yang memenuhi Av=λv untuk v tak nol.

Ruang vektor real tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar yang ditentukan serta memenuhi aksioma ruang vektor. Basis adalah daftar penyebutan bebas linier: setiap vektor memiliki representasi koordinat unik dalam daftar tersebut. Untuk menguji kebebasan kolom matriks, selesaikan sistem homogen Ac=0; hanya vektor koefisien nol berarti kebebasan. himpunan penyebutan dapat memuat vektor redundan, sehingga penyebutan saja tidak menjadikan basis.

Reduksi baris mengekspos pivot dan variabel bebas tanpa mengubah himpunan solusi sistem linear. Rank adalah dimensi citra kolom, ekuivalen dengan jumlah pivot. Nullitas adalah dimensi kernel: untuk pemetaan dari domain berdimensi n, rank+nullity=n. Dalam sistem nonhomogen, baris koefisien nol dengan sisi kanan nonzero menunjukkan inkonsistensi; variabel bebas memberikan solusi tak hingga hanya setelah konsistensi ditetapkan. Dimensi kodomain tidak harus sama dengan rank.

Matriks persegi invertible jika dan hanya jika determinannya nonzero, kernelnya nol, dan rank-nya sama dengan ukurannya. Pernyataan ini tidak mensyaratkan setiap entri nonzero. Determinan segitiga adalah hasil kali entri diagonal, sehingga matriks yang bergantung pada variabel kompleks dapat singular pada akar kompleks yang tidak muncul dalam perhitungan real-only. Pertukaran baris membalik tanda determinan; menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain tidak mengubahnya. Periksa singularitas sebelum menerapkan rumus invers.

Vektor eigen nonzero dan memenuhi Av=λv, sehingga nilai eigen adalah akar dari det(A−λI). Diagonalisasi memerlukan basis vektor eigen bebas penuh atas bidang yang dipilih. Nilai eigen berbeda memberikan vektor eigen bebas, sementara nilai eigen ganda mungkin memiliki subruang eigen terlalu kecil. Matriks simetris real memiliki basis eigen ortonormal real. Matriks real berdimensi ganjil memiliki setidaknya satu nilai eigen real karena polinomial karakteristik realnya berderajat ganjil; hal itu sendiri tidak menyiratkan diagonalisasi atau semua nilai eigen real.

A=[[1,1],[0,1]] memiliki polinomial karakteristik (1−λ)². Vektor eigen memenuhi y=0, sehingga ruang eigennya berdimensi satu. Dibutuhkan dua vektor eigen independen untuk mendagonalisasi matriks 2×2; A tidak dapat didiagonalisasi.

Multiplisitas aljabar dari suatu nilai eigen tidak otomatis sama dengan dimensi ruang eigennya.

Untuk $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ dengan $T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$, temukan basis kernel dan image. Selesaikan $T(v)=(3,6)$ dan $T(v)=(3,7)$.

Penyelesaian terarah

Baris kedua adalah dua kali baris pertama, sehingga rank adalah satu. Persamaan homogen menghasilkan $x=-2y-z$.

Dua vektor yang ditampilkan bebas. Setiap output adalah $(s,2s)$, dan $(1,2)$ terjadi; ini adalah basis image. Rank ditambah nullitas adalah $1+2=3$, dimensi domain. Untuk $(3,6)$, semua solusi adalah $(3-2a-b,a,b)$, dengan $a,b\in\mathbb R$. Untuk $(3,7)$ tidak ada solusi, karena $7\ne2\cdot3$.

Misalkan $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$. Tentukan nilai eigen, determinan, dan diagonalisasinya atas $\mathbb R$ dan $\mathbb C$. Temukan $A^n$ untuk bilangan bulat $n\ge1$ tanpa perkalian berulang.

Periksa setelah mencoba

Polinomial karakteristiknya adalah $(2-\lambda)^2$ dan $\det A=4$. Menyelesaikan $(A-2I)v=0$ menghasilkan $v_2=0$, sehingga ruang eigen memiliki dimensi satu di kedua bidang. Diperlukan dua vektor eigen yang bebas; matriks ini dapat dibalik (invertible) tetapi tidak dapat didiagonalisasikan di kedua bidang. Tulis $A=2I+N$ di mana $N^2=0$. Ekspansi binomial komutatif menyisakan hanya dua suku:

Mengalikan ekspresi ini dengan $A$ memberikan rumus pada $n+1$, sebagai pemeriksaan independen terhadap koefisiennya.