C.1 · Kalkulus satu variabel dan aplikasinya

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Aljabar eksak, trigonometri dalam radian, fungsi, dan ketaksamaan.

• Gunakan limit, kontinuitas, dan keterdiferensialan
• Terapkan turunan, integral, dan teorema fundamental
• Kenali jumlah Riemann dan bedakan dari deret tak hingga

kontinuitas: Kesesuaian nilai fungsi dengan limitnya.

konvergensi: Pendekatan ke nilai batas finite.

Sebuah limit menggambarkan nilai dekat suatu titik, tanpa mensyaratkan fungsi terdefinisi di sana. Kontinuitas menambahkan persyaratan bahwa nilai fungsi ada dan sesuai dengan limit. Pembatalan aljabar valid hanya menjauhi nol yang dibatalkan, namun dapat mengungkapkan limit yang dapat dihapuskan. Limit satu sisi harus sepakat untuk limit dua sisi. Untuk limit hasil bagi, periksa penyebut dan hipotesis sebelum menerapkan aturan; 0/0 adalah bentuk tak tentu, bukan jawaban.

Sebuah turunan adalah limit dari hasil bagi selisih dan menyiratkan kontinuitas; sebaliknya gagal, seperti |x| di nol menunjukkan. Aturan perkalian, pembagian, dan rantai menggambarkan struktur berbeda: turunan f(g(x)) adalah f′(g(x))g′(x), bukan perkalian nilai tak terkait. Mendiferensiasikan komposisi kedua kali umumnya menghasilkan dua suku. Periksa domain, penyebut tak nol, dan asumsi keterdiferensialan sebelum menggunakan ekspresi simbolik sebagai turunan.

Teorema fundamental menyatakan bahwa turunan dari ∫ dari a ke x dari fungsi integrand kontinu f(t) adalah f(x). Dengan batas atas variabel h(x), kalikan dengan h′(x); dengan dua batas variabel, kurangkan kontribusi batas bawah yang sesuai. Integral tentu juga muncul sebagai limit dari jumlah Riemann. Tulis ulang jumlah sebagai (1/n)Σf(k/n) sebelum mengidentifikasi integral pada [0,1], alih-alih memperlakukan suku-suku yang bergantung pada n sebagai konstanta.

Sebagai contoh Σ dari k=1 sampai n dari n/(n²+k²) sama dengan (1/n)Σ1/(1+(k/n)²), menuju ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. Limit ini menggunakan kontinuitas dan lebar partisi 1/n. Deret atas jumlah suku tak terbatas adalah limit berbeda: suku yang mendekati nol tidak sendirian menjamin konvergensi. Untuk Σ1/k, jumlah parsial menyimpang; bandingkan, estimasi, atau terapkan uji deret yang valid alih-alih menggunakan kondisi suku yang diperlukan sebagai cukup.

Untuk F(x)=integral dari 0 hingga x² dari e^t dt, teorema fundamental dan aturan rantai memberikan F′(x)=e^(x²)·2x. Pada x=1, F′(1)=2e. Batas atasnya adalah x², jadi melewatkan 2x akan melewatkan laju perubahannya.

Kalkulus A-level adalah materi prasyarat yang berguna tetapi tidak mencakup analisis dan aplikasi tingkat sarjana yang diujikan di sini.

Misalkan $F(x)=\int_x^{x^2}(1+t^2)\,dt$. Temukan $F'(x)$ dan $F'(2)$. Nyatakan mengapa teorema berlaku.

Penyelesaian terarah

Fungsi integrand kontinu pada garis bilangan real. Teorema dasar dan aturan rantai berlaku pada kedua batas:

Secara independen, antiturunan adalah $t+t^3/3$. Oleh karena itu $F=x^2+x^6/3-x-x^3/3$, dengan turunan yang sama.

Temukan $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k/(n^2+k^2)$. Jelaskan mengapa ini merupakan limit jumlah Riemann. Kemudian tentukan apakah $\sum_{k=1}^{\infty}1/k$ konvergen.

Periksa setelah mencoba

Tulis ulang setiap suku sebagai $\frac1n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$. Fungsi kontinu $f(t)=t/(1+t^2)$ pada $[0,1]$ dan mesh $1/n$ menghasilkan

Deret harmonik divergen: blok dari $2^{j-1}+1$ hingga $2^j$ berisi setidaknya $2^{j-1}$ suku yang masing-masing ≥ $1/2^j$, sehingga setiap blok menambahkan setidaknya $1/2$. Suku-suku yang mendekati nol adalah syarat perlu tetapi tidak cukup. Integrand jumlah terbatas di sini bergantung pada indeks berskala; ini bukan deret harmonik.