C.3 · Persamaan diferensial dan kondisi awal

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Diferensiasi, integrasi, eksponensial, dan persamaan kuadrat.

• Selesaikan persamaan orde pertama yang terpisah
• Selesaikan persamaan orde dua dengan koefisien konstan
• Gunakan kondisi awal dan kondisi keunikan

kondisi awal: Nilai solusi atau turunan yang ditentukan pada titik awal.

akar karakteristik: Akar dari polinomial yang mengatur solusi eksponensial.

Untuk y′=ky, pemisahan dan integrasi menghasilkan y=Ce^(kt); kembalikan solusi nol jika pembagian dengan y dilakukan. Nilai awal menentukan C.

Persamaan orde dua linear dengan koefisien konstan menggunakan polinomial karakteristik. Akar yang berbeda menghasilkan eksponensial; akar kembar memerlukan (C1+C2t)e^(rt).

Akar kompleks α±iβ menghasilkan e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). Gerak real mencakup informasi amplitudo dan fase.

Keberadaan dan keunian bergantung pada hipotesis di sekitar titik awal. Koefisien singular atau kegagalan perilaku Lipschitz lokal dapat membantah kesimpulan keunian yang umum.

Selesaikan y″+4y=0 dengan y(0)=3 dan y′(0)=4. Akar karakteristiknya adalah ±2i, sehingga y=A cos2t+B sin2t. Syarat pertama memberikan A=3; diferensiasi menghasilkan y′(0)=2B=4, sehingga B=2.

Akar karakteristik berulang memerlukan faktor t; dua salinan eksponensial yang sama bukanlah solusi yang independen.

Selesaikan $y''-4y'+4y=0$ dengan $y(0)=1$, $y'(0)=0$. Periksa kedua kondisi awal dan persamaan tersebut.

Penyelesaian terarah

Polinomial karakteristik adalah $(r-2)^2$. Solusi independen adalah $e^{2t}$ dan $te^{2t}$, sehingga $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$. Nilai awal memberikan $C_1=1$; turunan pada nol memberikan $2C_1+C_2=0$, sehingga $C_2=-2$.

Substitusi menghasilkan $y''-4y'+4y=0$, dan dua nilai awal terpenuhi. Dua salinan dari $e^{2t}$ tidak akan merentangkan ruang solusi.

Tunjukkan bahwa masalah nilai-awal $y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ memiliki lebih dari satu solusi untuk $t\ge0$. Identifikasi hipotesis keunian standar yang hilang.

Periksa setelah mencoba

Salah satu solusinya identik dengan nol. Untuk setiap $a\ge0$, tetapkan $y_a(t)=0$ untuk $0\le t\le a$ dan $y_a(t)=(t-a)^2$ untuk $t>a$. Turunannya nol pada interval pertama dan $2(t-a)$ pada interval kedua; kedua ruas memiliki turunan nol pada a. Oleh karena itu $y_a$ terdiferensiasi dan memenuhi persamaan serta nilai awal. Ruas kanan kontinu tetapi tidak bersifat Lipschitz lokal dalam y pada nol: $|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$ tak terbatas. Keberadaan tidak menyiratkan keunian, dan pembagian dengan $\sqrt y$ akan menghilangkan solusi waktu tunggu.