A.3 · Grup, koset, dan pemetaan hasil bagi

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Aksiom grup, fungsi, pembagi bilangan bulat, dan permutasi.

• Verifikasi struktur grup dan hitung ordo elemen serta indeks subgrup
• Gunakan kernel dan gambar untuk mengidentifikasi grup hasil bagi
• Bedakan subgrup normal dari subgrup sembarang
• Klasifikasikan konjugasi permutasi berdasarkan tipe siklus

coset: Translasi dari sebuah subgrup yang membentuk salah satu bagian dari partisi coset.

subgrup normal: Subgrup yang invarian terhadap konjugasi oleh setiap elemen grup.

Sebelum menghitung ordenya, periksa penutupan, asosiativitas, identitas, dan invers untuk setiap elemen di bawah operasi yang dinyatakan. Sebuah himpunan bagian dapat mewarisi asosiativitas namun gagal menutup atau melewatkan identitas. Dalam grup berhingga, ordenya elemen adalah pangkat positif terkecil yang menghasilkan identitas. Dalam grup aditif Z/nZ, ordenya adalah kelipatan positif terkecil yang menghasilkan nol; ordena residu a adalah n/gcd(a,n). Teorema Lagrange menyatakan bahwa ordenya subgrup membagi ordonya grup. Kebalikannya bukan teorema keberadaan umum, dan ordonya grup bukan ordonya setiap elemen.

Coset kiri gH adalah translasi dari subgrup H. Coset memiliki ukuran yang sama dan mempartisi grup, sehingga indeksnya adalah |G|/|H| dalam grup berhingga. Dalam grup aditif tulis g+H. Keanggotaan dalam coset yang sama berarti selisihnya terletak di H. Coset biasanya bukan subgrup itu sendiri karena mungkin melewatkan identitas.

Homomorfisme mengawetkan operasi. Kernelnya terdiri dari elemen yang dipetakan ke identitas, dan gambarnya terdiri dari nilai yang benar-benar dicapai. Setiap kernel adalah normal. Teorema isomorfisme pertama mengidentifikasi G/ker(phi) dengan im(phi); jangan ganti gambar dengan seluruh domain kodomain kecuali pemetaannya surjektif.

Perkalian hasil bagi hanya terdefinisi dengan baik ketika H normal. Semua subgrup dari grup abelian adalah normal. Dalam grup nonabelian uji gHg^−1=H; subgrup berindeks dua adalah normal. Untuk permutasi komposisikan sesuai konvensi yang dinyatakan, di sini paling kanan terlebih dahulu. Panjang siklus yang saling lepas menghasilkan ordenya permutasi melalui kelipatan persekutuan terkecil mereka. Konjugasi hσh⁻¹ melabeli ulang elemen dalam siklus σ, sehingga mempertahankan panjang siklus; sebaliknya, permutasi dengan panjang siklus yang sama dapat dikaitkan melalui pelabelan ulang. Dengan demikian, kelas konjugasi di S_n berkorespondensi dengan partisi n, termasuk siklus titik tetap. Di S4, tipenya adalah 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 dan 4: lima kelas, bukan satu kelas untuk setiap kemungkinan ordenya elemen. Tipenya 2+1+1 dan 2+2 keduanya berorde dua tetapi tidak terkonjugasi.

Definisikan phi dari Z/12Z ke Z/3Z dengan mengurangi residu modulo 3. Pemetaan ini surjektif dan mempertahankan penjumlahan. Kernel H-nya adalah {0,3,6,9}, jadi |H|=4 dan indeksnya adalah 12/4=3. Coset lainnya adalah {1,4,7,10} dan {2,5,8,11}. Dengan demikian (Z/12Z)/H isomorfik terhadap Z/3Z. Elemen 3 dalam grup asli memiliki urutan 12/gcd(3,12)=4, bukan 3.

Suatu hasil bagi memiliki satu elemen per koset, bukan satu per elemen dari kernel-nya. Sebuah homomorfisme tidak harus surjektif ke kodomain yang dinyatakan.

Dalam grup aditif $\mathbb Z/18\mathbb Z$, misalkan $H=\langle6\rangle$. Tuliskan H dan koset-kosetnya. Tentukan orde dari 6 dan identifikasikan hasil baginya.

Penyelesaian terarah

$H=\{0,6,12\}$ memiliki ukuran tiga. Enam koset tersebut adalah $r+H=\{r,r+6,r+12\}$ untuk $r=0,1,2,3,4,5$. Mereka mempartisi semua residu 18. Elemen 6 memiliki ordenya tiga, sedangkan hasil baginya memiliki ordenya enam. Reduksi modulo enam bersifat surjektif dengan kernel H, sehingga $(\mathbb Z/18\mathbb Z)/H\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. Normalitas terpenuhi karena grup aslinya komutatif.

Dalam $S_3$, misalkan $H=\{e,(12)\}$. Periksa apakah $H$ normal, dan tentukan apakah perkalian koset mendefinisikan grup hasil bagi. Secara terpisah, temukan ordenya dari $(123)(45)$ dalam $S_5$.

Periksa setelah mencoba

Konjugasi oleh $(123)$ mengirim $(12)$ ke $(23)$, yang berada di luar H. Dengan demikian H tidak normal. Koset kiri tetap mempartisi $S_3$, namun perkalian koset-koset tersebut tidak terdefinisi dengan baik secara independen terhadap perwakilan. Siklus tak berpotongan dalam $(123)(45)$ memiliki panjang tiga dan dua, sehingga ordernya adalah $\operatorname{lcm}(3,2)=6$. Orde elemen dan indeks subgrup adalah besaran yang berbeda.