Kelompok, koset dan pemetaan hasil bagi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| coset/ˈkɒset/ | Koset |
| normal subgroup/ˈnɔːml ˈsʌbɡruːp/ | Subgrup Normal |
Keputusan sebelum jawaban
- Dua belas posisi jam dapat dikelompokkan menjadi tiga kelas tanpa kehilangan aturan penjumlahan jam. Posisi mana yang harus menjadi ekuivalen?
- Tujuan Anda: Verifikasi struktur grup dan hitung urutan elemen serta indeks subgrup.
Bacalah hubungannya
- Sebelum menghitung urutan, periksa ketertutupan, asosiatifitas, identitas, dan invers untuk setiap elemen di bawah operasi yang dinyatakan. Subhimpunan dapat mewarisi asosiatifitas namun gagal ketertutupan atau melewatkan identitas. Dalam grup finite, urutan elemen adalah pangkat positif terkecil yang menghasilkan identitas. Dalam grup aditif Z/nZ, itu adalah kelipatan positif terkecil yang menghasilkan nol; urutan residu a adalah n/gcd(a,n). Teorema Lagrange mengatakan urutan subgrup membagi urutan grup. Kebalikannya bukan teorema keberadaan umum, dan urutan grup bukan urutan dari setiap elemen.
- Gunakan kernel dan gambar untuk mengidentifikasi grup hasil bagi.
What is the order of 8 in the additive group Z/20Z?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The least positive k with 8k divisible by 20 is 5; equivalently 20/gcd(8,20)=5.
Gunakan aturan penentu
- Coset kiri gH adalah translasi dari subgrup H. Coset memiliki ukuran yang sama dan mempartisi grup, sehingga indeksnya adalah |G|/|H| dalam grup finite. Dalam grup aditif tulis g+H. Keanggotaan dalam coset yang sama berarti perbedaannya berada dalam H. Coset biasanya bukan subgrup karena mungkin melewatkan identitas.
- Bedakan subgrup normal dari subgrup sembarang.
A homomorphism from a finite group of order 30 has kernel of order 5. How many elements are in its image?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Fibres are kernel cosets of size 5, so the image has 30/5=6 elements regardless of the codomain size.
Periksa syarat-syaratnya
- Homomorfisme mempertahankan operasi. Kernelnya terdiri dari elemen yang dikirim ke identitas, dan gambarannya terdiri dari nilai yang benar-benar dicapai. Setiap kernel adalah normal. Teorema isomorfisme pertama mengidentifikasi G/ker(phi) dengan im(phi); jangan ganti gambar dengan kodomain utuh kecuali pemetaannya surjektif.
- Klasifikasikan konjugasi permutasi berdasarkan jenis siklus.
Definisikan phi dari Z/12Z ke Z/3Z dengan mengurangi residu modulo 3. Pemetaan ini surjektif dan mempertahankan penjumlahan. Kernel H-nya adalah {0,3,6,9}, jadi |H|=4 dan indeksnya adalah 12/4=3. Coset lainnya adalah {1,4,7,10} dan {2,5,8,11}. Dengan demikian (Z/12Z)/H isomorfik terhadap Z/3Z. Elemen 3 dalam grup asli memiliki urutan 12/gcd(3,12)=4, bukan 3.
The permutation (1 2 3)(4 5) has order ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Disjoint cycles require a multiple of both 3 and 2 steps; lcm(3,2)=6.
Terapkan format tugas
- Perkalian kuosien hanya terdefinisi dengan baik jika H normal. Semua subgrup dari grup abelian adalah normal. Dalam grup nonabelian, uji gHg^−1=H; subgrup yang berindeks dua adalah normal. Untuk permutasi, komposisikan sesuai konvensi yang ditentukan, di sini yang paling kanan dilakukan terlebih dahulu. Panjang siklus yang saling lepas menentukan urutan permutasi melalui kelipatan persekutuan terkecilnya. Konjugasi hσh⁻¹ memberi label ulang elemen-elemen dalam siklus σ, sehingga mempertahankan panjang siklus; sebaliknya, permutasi dengan panjang siklus yang sama dapat dihubungkan melalui label ulang. Oleh karena itu, kelas-kelas konjugasi di S_n berkorespondensi dengan partisi-partisi n, termasuk siklus titik tetap. Di S4, jenis-jenisnya adalah 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1, dan 4: lima kelas, bukan satu kelas untuk setiap kemungkinan urutan elemen. Jenis 2+1+1 dan 2+2 keduanya berurutan dua tetapi tidak konjugat.
- Klasifikasikan konjugasi permutasi berdasarkan jenis siklus.
Suatu hasil bagi memiliki satu elemen per koset, bukan satu per elemen dari kernel-nya. Sebuah homomorfisme tidak harus surjektif ke kodomain yang dinyatakan.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Memverifikasi struktur grup dan menghitung ordo elemen serta indeks subgrup
Every subgroup of a nonabelian group is normal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
In S3, conjugating the subgroup {identity,(1 2)} by (1 2 3) gives {identity,(2 3)}, a different subgroup.
Jaga pembedaan
- koset — Translati dari subgrup yang membentuk salah satu bagian dari partisi koset.
- subgrup normal — Subgrup yang invarian terhadap konjugasi oleh setiap elemen grup.
- Verifikasi struktur grup dan hitung orde elemen serta indeks subgrup.
- Gunakan kernel dan gambar untuk mengidentifikasi grup hasil bagi.
- Bedakan subgrup normal dari subgrup sembarang.
- Klasifikasikan konjugasi permutasi berdasarkan jenis siklus.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.